高二数学必修2课件 空间几何体的表面积和体积ppt.ppt

1 3简单几何体的表面积和体积 1 3 1柱体 锥体 台体的表面积与体积 1 表面积 几何体表面的面积 2 体积 几何体所占空间的大小 回忆复习有关概念 1 直棱柱 2 正棱柱 3 正棱锥 4 正棱台 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 底面是正多边形 顶点在底面的射影是底面中心的棱锥 正棱锥被平行于底面的平面所截 截面和底面之间的部分叫正棱台 作直三棱柱 正三棱锥 正三棱台各一个 找出斜高 斜高的概念 棱柱 棱锥 棱台都是由多个平面图形围成的几何体 棱柱 棱锥 棱台的表面积 它们的侧面展开图还是平面图形 计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和 棱柱的侧面展开图是什么 如何计算它的表面积 h 正棱柱的侧面展开图 2 棱柱 棱锥 棱台的展开图及表面积求法 把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开 得到什么图形 侧面积怎么求 棱锥的侧面展开图是什么 如何计算它的表面积 正三棱锥的侧面展开图 棱锥的展开图 把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开 得到什么图形 侧面积怎么求 正五棱锥的侧面展开图 棱锥的展开图 例1已知棱长为a 各面均为等边三角形的四面体S ABC 求它的表面积 典型例题 分析 四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成 因为BC a 所以 因此 四面体S ABC的表面积 交BC于点D 解 先求的面积 过点作 把正三棱台侧面沿一条侧棱展开 得到什么图形 侧面积怎么求 类比梯形的面积 正四棱台的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么 如何计算它的表面积 棱台的展开图 例2 1 一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形 侧棱长为4 则其侧面积为 2 正四棱锥底面边长为6 高是4 中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台 求棱台的侧面积 例3 一个正三棱台的上 下底面边长分别是3cm和6cm 高是3 2cm 求三棱台的侧面积 分析 关键是求出斜高 注意图中的直角梯形 O1 O D D1 E 答 60 思考 把圆柱 圆锥 圆台的侧面分别沿着一条母线展开 分别得到什么图形 展开的图形与原图有什么关系 宽 长方形 圆柱的侧面展开图是矩形 3 圆柱 圆锥 圆台的展开图及表面积求法 圆柱 思考 把圆柱 圆锥 圆台的侧面分别沿着一条母线展开 分别得到什么图形 展开的图形与原图有什么关系 扇形 圆锥的侧面展开图是扇形 圆锥 思考 把圆柱 圆锥 圆台的侧面分别沿着一条母线展开 分别得到什么图形 展开的图形与原图有什么关系 扇环 侧 圆台侧面积公式的推导 圆柱 圆锥 圆台三者的表面积公式之间有什么关系 例4如图 一个圆台形花盆盆口直径20cm 盆底直径为15cm 底部渗水圆孔直径为1 5cm 盆壁长15cm 那么花盆的表面积约是多少平方厘米 取3 14 结果精确到1 典型例题 解 由圆台的表面积公式得花盆的表面积 答 花盆的表面积约是999 例5圆台的上 下底面半径分别为2和4 高为 求其侧面展开图扇环所对的圆心角 例6 圆台的上 下底半径分别是10cm和20cm 它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800 那么圆台的侧面积是多少 结果中保留 答 1800 小结 1 弄清楚柱 锥 台的侧面展开图的形状是关键 2 对应的面积公式 柱体 锥体 台体的表面积 知识小结 圆台 圆柱 圆锥 几何体占有空间部分的大小叫做它的体积 一 体积的概念与公理 公理1 长方体的体积等于它的长 宽 高的积 V长方体 abc 推论1 长方体的体积等于它的底面积s和高h的积 V长方体 sh 推论2 正方体的体积等于它的棱长a的立方 V正方体 a3 定理1 柱体 棱柱 圆柱 的体积等于它的底面积s和高h的积 V柱体 sh 二 柱体的体积 三 锥体体积 例2 如图 三棱柱AD1C1 BDC 底面积为S 高为h 答 可分成棱锥A D1DC 棱锥A D1C1C 棱锥A BCD 问 1 从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥 3 1 锥体 棱锥 圆锥 的体积 底面积S 高h 注意 三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换 四面体的每一个面都可以作为底面 可以用来求点到面的距离 问题 锥体 棱锥 圆锥 的体积 定理 如果一个锥体 棱锥 圆锥 的底面积是 高是 那么它的体积是 推论 如果圆锥的底面半径是 高是 那么它的体积是 锥体 圆锥 h x 四 台体的体积 V台体 上下底面积分别是s s 高是h 则 推论 如果圆台的上 下底面半径是r1 r2 高是 那么它的体积是 圆台 h 五 柱体 锥体 台体的体积公式之间有什么关系 S为底面面积 h为柱体高 S分别为上 下底面面积 h为台体高 S为底面面积 h为锥体高 例7有一堆规格相同的铁制 铁的密度是 六角螺帽共重5 8kg 已知底面是正六边形 边长为12mm 内孔直径为10mm 高为10mm 问这堆螺帽大约有多少个 取3 14 典型例题 答 这堆螺帽大约有252个 解 六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差 即 例8从一个正方体中 如图那样截去4个三棱锥后 得到一个正三棱锥A BCD 求它的体积是正方体体积的几分之几 1球的概念和性质 2球的体积 3球的表面积 4例题讲解 5课堂练习 6课堂小结 7课堂作业 球 球的概念和性质 球的概念 A B O R C 一 如图所示 半圆以它的直径为旋转轴 旋转所成的曲面叫做球面 球面所围成的几何体叫做球体 简称球 半圆的圆心叫球心 图中点O 连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径 图中线段R 连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 图中线段AB 球的概念和性质 球的概念 一 Q P O 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 如图中红色部分 被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆 如图中绿色部分 球面上两点之间最短连线的长度 就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度 这个弧长叫做两点的球面距离 如图中的长度就是P Q两点之间的球面距离 球的概念和性质 球的性质 二 d o1 o2 R r 用一个平面 如图中平面 去截一个球 截面是圆面 球的截面有下面的性质 球心和截面圆心的连线垂直于截面 如图直线o1o2垂直于平面 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系 球的表面积和体积 球的表面积 例题讲解 例9 如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证 1 球的表面积等于圆柱的侧面积 2 球的表面积等于圆柱全面积的2 3 O R O R 例题讲解 2 证明 1 设球的半径为R 则圆柱的底面半径为R 高为2R 得 例3 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 它的各个顶点都在球O的球面上 问球O的表面积 分析 正方体内接于球 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体对角线与球的直径相等 略解 变题1 如果球O和这个正方体的六个面都相切 则有S 变题2 如果球O和这个正方体的各条棱都相切 则有S 关键 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系 例10已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 解 如图 设球O半径为R 截面 O 的半径为r 例11 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 作轴截面 柱 锥 台和球的侧面积和体积 2 rl Sh r2h rl r1 r2 l 习题课 Ch Sh 4 R2 1 教材习题改编 一个正方体的体积是8 则这个正方体的内切球的表面积是 A 8 B 6 C 4 D 答案 C 解析 设正方体的棱长为a 则a3 8 a 2 而此正方体的内切球直径为2 S表 4 r2 4 答案 A 4 教材习题改编 在 ABC中 AB 2 BC 3 ABC 120 若使 ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为 答案 3 答案 C 5 如图所示 某几何体的正视图 侧视图均为等腰三角形 俯视图是正方形 则该几何体的外接球的体积是 1 求体积时应注意的几点 1 求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决 2 与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性 2 求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理 题型一几何体的展开与折叠有一根长为3 cm 底面半径为1cm的圆柱形铁管 用一段铁丝在铁管上缠绕2圈 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端 则铁丝的最短长度为多少 把圆柱沿这条母线展开 将问题转化为平面上两点间的最短距离 题型分类深度剖析 解把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开 在平面上得到矩形ABCD 如图所示 由题意知BC 3 cm AB 4 cm 点A与点C分别是铁丝的起 止位置 故线段AC的长度即为铁丝的最短长度 故铁丝的最短长度为5 cm 题型二旋转体的表面积及其体积如图所示 半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴 旋转一周得到一几何体 求该几何体的表面积 其中 BAC 30 及其体积 先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状 再求表面积 解如图所示 过C作CO1 AB于O1 在半圆中可得 BCA 90 BAC 30 AB 2R AC BC R S球 4 R2 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状 再将图形进行合理的分割 然后利用有关公式进行计算 知能迁移2已知球的半径为R 在球内作一个内接圆柱 这个圆柱底面半径与高为何值时 它的侧面积最大 侧面积的最大值是多少 知能迁移2解如图为轴截面 设圆柱的高为h 底面半径为r 侧面积为S 则 题型三多面体的表面积及其体积一个正三棱锥的底面边长为6 侧棱长为 求这个三棱锥的体积 本题为求棱锥的体积问题 已知底面边长和侧棱长 可先求出三棱锥的底面面积和高 再根据体积公式求出其体积 连接AH并延长交BC于E 则E为BC的中点 且AH BC ABC是边长为6的正三角形 解如图所示 正三棱锥S ABC 设H为正 ABC的中心 连接SH 则SH的长即为该正三棱锥的高 答案 C 巧练模拟 答案 A 2 如图所示是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 解析 此几何体的上部为球 球的直径为2 下部为一圆柱 圆柱的高为3 底面圆的直径为2 所以S表 4 2 3 12 答案 12 小结 1 在求多面体的侧面积时 应对每一侧面分别求解后再相加 对于组合体的表面积应注意重合部分的处理 2 以三视图为载体考查几何体的表面积 关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析 从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系 3 圆柱 圆锥 圆台的侧面是曲面 计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 答案 B 若本例的三视图变为如图所示 求该几何体的体积 解 该几何体下部是一个正方体 棱长为4 上部为圆柱 底面半径为1 高为4 则V 4 4 4 12 4 64 4 答案 D 小结 1 计算柱 锥 台体的体积 关键是根据条件找出相应的底面面积和高 应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面 将空间问题转化为平面问题求解 2 注意求体积的一些特殊方法 分割法 补体法 转化法等 它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法 应熟练掌握 3 等积变换法 利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面 求体积时 可选择容易计算的方式来计算 利用 等积法 可求 点到面的距离 精析考题 例3 如图 在 ABC中 ABC 45 BAC 90 AD是BC上的高 沿AD把 ABD折起 使 BDC 90 1 证明 平面ADB 平面BDC 2 若BD 1 求三棱锥D ABC的表面积 自主解答 1 折起前AD是BC边上的高 当 ABD折起后 AD DC AD DB 又DB DC D AD 平面BDC 又AD 平面ABD 平面ABD 平面BDC 巧练模拟 6 如图所示 已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成 则该多面体的体积是 答案 C 小结 解决折叠问题时要注意1 对于翻折前后 线线 线面的位置关系 所成角及距离加以比较 观察并判断变化情况 2 一般地 分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系发生变化 位于同一个半平面的元素 其相对位置和数量关系不变 3 对于某些翻折不易看清的元素 可结合原图形去分析 计算 即将空间问题转化为平面问题 数学思想函数与方程思想在空间几何体中的应用 考题范例 如图 半径为R的球O中有一内接圆柱 当圆柱的侧面积最大时 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 巧妙运用 法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为 则圆柱高为2Rcos 圆柱底面半径为Rsin S圆柱侧 2 Rsin 2Rcos 2 R2sin2 当sin2 1时 S圆柱侧最大为2 R2 此时 S球表 S圆柱侧 4 R2 2 R2 2 R2 答案 2 R2 柱体 锥体 台体的体积 锥体 台体 柱体 知识小结 柱体 锥体 台体的表面积 知识小结 圆台 圆柱 圆锥 规律方法总结 1 直棱柱的侧面展开图是一些矩形 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形 2 斜棱柱的侧面积等于它的直截面 垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面 的周长与侧棱长的乘积 3 如果直棱柱的底面周长是c 高是h 那么它的侧面积是S直棱柱侧 ch 4 应注意各个公式的推导过程 不要死记硬背公式本身 要熟悉柱体中的矩形 锥体中的直角三角形 台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用 规律方法总结 5 如果不是正棱柱 正棱锥 正棱台 在求其侧面积或全面积时 应对每一个侧面的面积分别求解后再相加 6 求球的体积和表面积的关键是求出球的半径 反之 若已知球的表面积或体积 那么就可以得出其半径的大小 7 计算组合体的体积时 首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成 然后再通过轴截面分析和解决问题 8 计算圆柱 圆锥 圆台的体积时 关键是根据条件找出相应的底面面积和高 应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面 将空间问题转化为平面问题求解 方法与技巧1 对于基本概念