七圆形镜对称共焦腔PPT课件.ppt

7 2圆形镜对称共焦腔 圆形镜对称共焦腔两反射镜孔径为圆形 设半径为a 镜面处坐标以极坐标为宜 它的积分方程可由方形镜积分方程 7 1 6 式出发 令x rcos y rsin x r cos y r sin 从而得到 分离变量可将u r 写成如下形式 7 2 2 1 可以证明 当腔菲涅耳数F 时 圆形镜共焦腔积分方程的本征函数的近似解析解可表示为拉盖尔一高斯函数 其中Rmn所满足的积分方程可证明为 2 式中cmn为与模式有关的归一化常数 0s仍是镜面上的基模光斑半径 计算方法同方形镜共焦腔 Lnm 称为缔合拉盖尔多项式 现写出几个多项式如下 7 2 4 3 拉盖尔多项式 指 0 上关于权函数的正交多项式 设 0 x 称 0 上关于权函数w x 的正交多项式系为拉盖尔多项式系 而称为n阶拉盖尔多项式 它有表达式 是n次代数多项式 4 本征值的近似解为 7 2 6 一 自再现模的特征 一 镜面光场分布1 振幅分布 7 2 4 式为实函数 故它实际上就是镜面上光场振幅的分布函数 我们写出基模及若干高阶模的场振幅分布如下 5 高阶模的振幅分布出现节线或节圆 基模的振幅分布与方形镜共焦腔完全一样 6 TEMmn模沿幅角方向的节线数为m 沿径向r的节圆数为n 各节圆沿r方向不是等距分布 如TEM01模的节圆半径为 TEM02模的两个节圆半径分别为 高阶模的光斑半径比基模大 阶次越高 光斑半径越大 并且光斑随n的增大比m更快些 对圆形镜共焦腔来说 高阶模的光斑半径可定义为振幅降至最外边的极大值的1 e处到镜面中心的距离 它无解析表达式 7 7 2 4 式为实函数 故圆形镜共焦腔的镜面本身就是等相位面 2 相位分布 二 单程衍射损耗 由 mn的近似解也将得出 mn 0 需用精确解 8 随F的增大而急剧减小 基模的 最小 模阶次越高 越大 9 四 谐振频率 由 5 4 18 式可得出圆形镜共焦腔的谐振频率为 7 2 9 同一横模 两个相邻纵模的频率间隔仍为 q c 2L 而同一纵模两个相邻的横模之间的频率间隔则为 m 1 2 q n q 也就是说 m n与 q同属于一个数量级 同时它对频率也是高度简并的 10 二 行波场的特征 圆形镜共焦腔的行波场为 7 2 10 7 2 11 横向振幅分布因子 位相因子 11 7 3一般稳定球面腔 共焦腔模式理论可以推广到整个稳定球面腔系统 这一推广是谐振腔理论中的一个重大进展 共焦腔在腔轴上z坐标处的等相位面曲率半径 7 1 29 如果在共焦场的任意两处放置两个与该处等相位面大小形状完全相同的球面反射镜 则从每个反射镜反射出去的场将准确地沿原入射方向返回 整个共焦场不受任何扰动 12 这样一来 我们使得到了一个新的谐振腔 该腔产生的行波场与原共焦场完全一致 我们说此球面腔与激发原来共焦场的共焦腔等价 由于任何一个共焦腔所激发的共焦场有无穷多个等相位面 即任一个共焦腔可与无穷多个球面腔等价 而且可以证明 这些球面腔都是稳定腔 13 等价球面腔反射镜曲率半径 z1 z2 7 3 1 用L表示等价球面腔的腔长 则 7 3 2 14 2019 12 31 15 为证明由 R1 R2 L 组成的等价球面腔为稳定的 可计算 7 3 3 不难证明0 g1g2 1 即等价球面腔是稳定的 16 任意一个满足稳定性条件的球面腔只可唯一地与一个共焦腔等价 给定稳定球面腔以双凹腔为例 两镜面M1与M2的曲率半径分别为R1和R2 腔长为L 等价共焦腔 7 3 1 式和 7 3 2 式相同的三个方程 将此三个方程联立 可唯一地解出一组zl z2与f2的数值 即 17 稳定球面腔光腰半径 7 3 4 如果R1 R2 L满足00 这说明给定稳定球面腔可唯一确定一个等价共焦腔 18 一 镜面的基模光斑半径 一般稳定球面腔镜面上的光斑半径等于它的等价共焦腔在球面腔镜面处的光斑半径 共焦腔中基模的光斑尺寸为 7 1 15 镜面的基模光斑半径 7 3 5 19 二 谐振频率 由 7 1 28 式可写出方形镜一般稳定球面腔的两上反射镜面顶点处的位相因子分别为 7 3 6 按谐振条件 20 将 7 3 4 式代入 7 3 7 式 并利用三角变换可得一般稳定球面腔谐振频率为 可得谐振频率为 7 3 7 同理 圆形镜一般稳定球面腔的谐振频率为 7 3 10 7 3 11 21 三 单程衍射损耗 由共焦腔模式理论可知 每种横模的单程衍射损耗单位地由腔的菲涅耳数决定 由菲涅耳数定义F a2 L 与共焦腔镜面上基模光斑半径公式 7 1 17 可将共焦腔的菲涅耳数表示为 7 3 12 由于一般稳定球面腔与它的等价共焦腔所激发的行波场结构完全一样 定义稳定球面腔的等效菲涅耳数 7 3 13 22 对非对称腔来说 两个镜的参数不一定相等 故下标i 1 2可取两个值 将 7 3 5 式代入 7 3 13 式 可分别得到两个反射镜的等效菲涅耳数 7 3 14 23 四 模体积 按共焦腔模体积相同的考虑方法 一般稳定球面腔的基模模体积可以定义为 7 3 15 7 3 16 求出两个等效菲涅耳数后 按共焦腔衍射损耗曲线查出球面腔两镜面处的损耗值 1mn与 2mn 则平均单程损耗为 24 五 基模运场发散角 全角 25 今有一球面谐振腔 R1 1m R2 2m L 0 5m