向量在平面几何中解题的应用PPT课件.ppt

向量在平面几何中解题的应用 1 一 向量有关知识复习 1 向量共线的充要条件 与共线 2 向量垂直的充要条件 3 两向量相等充要条件 且方向相同 2 二 应用向量知识证明平面几何有关定理 例一 证明直径所对的圆周角是直角 分析 要证 ACB 90 只须证向量 即 解 设则 由此可得 即 ACB 90 思考 能否用向量坐标形式证明 3 二 应用向量知识证明平面几何有关定理 例二 证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知 平行四边形ABCD 求证 解 设 则 分析 因为平行四边形对边平行且相等 故设其它线段对应向量用它们表示 4 三 应用向量知识证明三线共点 三点共线 例一 已知 如图AD BE CF是 ABC三条高求证 AD BE CF交于一点 H 只须证 由此可设 如何证 利用AD BC BE CA 对应向量垂直 5 解 设AD与BE交于H 即高CF与CH重合 CF过点H AD BE CF交于一点 6 三 应用向量知识证明三线共点 三点共线 例一 已知 如图AD BE CF是 ABC三条高求证 AD BE CF交于一点 分析 如图建立坐标系 设A 0 a B b 0 C c 0 只要求出点H F的坐标 就可求出 的坐标进而确定两向量共线 即三点共线 再设H 0 m F x y 由A B F共线 CF AB对应向量共线及垂直解得 可得 可得 即而CF CH有公共点C 所以C H F共线 即AD BE CF交于一点 7 三 应用向量知识证明三线共点 三点共线 例二 如图已知 ABC两边AB AC的中点分别为M N 在BN延长线上取点P 使NP BN 在CM延长线上取点Q 使MQ CM 求证 P A Q三点共线 解 设 则 由此可得 即故有 且它们有公共点A 所以P A Q三点共线 8 四 应用向量知识证明等式 求值 例一 如图ABCD是正方形M是BC的中点 将正方形折起 使点A与M重合 设折痕为EF 若正方形面积为64 求 AEM的面积 9 四 应用向量知识证明等式 求值 例一 如图ABCD是正方形M是BC的中点 将正方形折起 使点A与M重合 设折痕为EF 若正方形面积为64 求 AEM的面积 解 如图建立坐标系 设E e 0 由正方形面积为64 可得边长为8由题意可得M 8 4 N是AM的中点 故N 4 2 4 2 e 0 4 e 1 解得 e 5即AE 5 10 四 应用向量知识证明等式 求值 例二 PQ过 OAB的重心G 且OP mOA OQ nOB求证 分析 由题意OP mOA OQ nOB 联想线段的定比分点 利用向量坐标知识进行求解 由PO mOA QO nOB可知 O分的比为 O分的比为 由此可设由向量定比分点公式 可求P Q的坐标 而G为重心 其坐标也可求出 进而由向量 得到mn的关系 m n 12 四 应用向量知识证明等式 求值 例二 PQ过 OAB的重心G 且OP mOA OQ nOB求证 证 如图建立坐标系 设 所以重心G的坐标为 求得 由向量可得 化简得 13 例3如图 ABCD中 点E F分别是AD DC边的中点 BE BF分别与AC交于R T两点 你能发现AR RT TC之间的关系吗 猜想 AR RT TC 14 解 设则 由于与共线 故设 又因为共线 所以设 因为所以 15 线 故AT RT TC 16 你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 3 把运算结果 翻译 成几何元素 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 简述 形到向量向量的运算向量和数到形 17 18 19 五 巩固练习 1 证明对角线互