高三数学一轮复习 2.13导数的应用（2）课件.ppt

备考方向要明了 归纳知识整合 1 生活中的优化问题生活中常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等一些实际问题 这些问题通常称为优化问题 2 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 探究 1 求实际问题中的最大 最小值 与求一般函数的最值有什么区别 提示 在实际问题中要注意函数的定义域应使实际问题有意义 另外 在求实际问题的最值时 如果区间内只有一个极值点 就是最值点 2 如何求实际问题中的最值问题 提示 有关函数最大值 最小值的实际问题 一般指的是单峰函数 也就是说在实际问题中 如果遇到函数在区间内只有一个极值点 那么不与区间端点比较 就可以知道这个极值点就是最大 小 值点 自测牛刀小试 答案 9 2 教材习题改编 从边长为10cm 16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形 作成一个无盖的盒子 则盒子容积的最大值为 cm3 答案 144 3 教材习题改编 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是0 8 r2分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm 则瓶子半径为 时 每瓶饮料的利润最大 瓶子半径为 时 每瓶饮料的利润最小 令f r 0 8 r2 2r 0 则r 2 当r 0 2 时 f r 0 则f r 的最大值为f 6 最小值为f 2 答案 62 4 函数f x ax3 x恰有三个单调区间 则a的取值范围是 解析 f x ax3 x恰有三个单调区间 即函数f x 恰有两个极值点 即f x 0有两个不等实根 f x ax3 x f x 3ax2 1 要使f x 0有两个不等实根 则a 0 答案 0 5 函数f x 的定义域为r f 1 1 对任意x r f x 3 则f x 3x 4的解集是 解析 构造函数f x f x 3x 则f x f x 3 0 所以f x 在r上是增函数 又f 1 f 1 3 4 所以由f x f 1 得x 1 即f x 3x 4的解集是 1 答案 1 利用导数研究函数的零点或方程的根 导数研究方程的根的方法研究方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 根据题目要求 画出函数图象的走势规律 标明函数极 最 值的位置 通过数形结合的思想去分析问题 可以使得问题的求解有一个清晰 直观的整体展现 利用导数解决恒成立及参数求解问题 例2 已知函数f x ex ax 其中a 0 1 若对一切x r f x 1恒成立 求a的取值集合 2 在函数f x 的图象上取定两点a x1 f x1 b x2 f x2 x1 x2 记直线ab的斜率为k 证明 存在x0 x1 x2 使f x0 k成立 自主解答 1 f x ex a 令f x 0得x lna 当xlna时 f x 0 f x 单调递增 故当x lna时 f x 取最小值f lna a alna 于是对一切x r f x 1恒成立 当且仅当a alna 1 令g t t tlnt 则g t lnt 当00 g t 单调递增 当t 1时 g t 0 g t 单调递减 若将函数 f x ex ax a 0 改为 f x eax x a 0 试解决问题 1 利用导数解决恒成立和参数问题的方法 1 由不等式恒成立求解参数取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值 即要使a g x 恒成立 只需a g x max 要使a g x 恒成立 只需a g x min 另外 当参数不宜进行分离时 还可直接求最值建立关于参数的不等式求解 例如 要使不等式f x 0恒成立 可求得f x 的最小值h a 令h a 0即可求出a的取值范围 2 参数范围必须依靠不等式才能求出 求解参数范围的关键就是找到这样的不等式 利用导数解决生活中的优化问题 例3 随着生活水平的不断提高 人们越来越关注身体健康 而电视广告在商品市场中占有非常重要的地位 某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额 拟在2013年通过电视广告进行一系列促销活动 经过市场调查和测算 保健品的年销量x 单位 百万件 与年促销费t 单位 百万元 之间满足 3 x与t 2成反比例 如果不搞促销活动 保健品的年销量只能是1百万件 2013年生产该保健品的固定费用为5百万元 每生产1百万件 保健品需再投入40百万元的生产费用 若将每件保健品的售价定为 其生产成本的150 与 平均每件促销费的m倍 0 m 1 2 之和 则当年生产的保健品恰能销完 假设2013年该企业的保健品恰能销完 且该企业的年产量最大为2 6百万件 1 将2013年的利润y 单位 百万元 表示为促销费t的函数 2 该企业2013年的促销费投入多少百万元时 企业的年利润最大 注 利润 销售收入 生产成本 促销费 生产成本 固定费用 生产费用 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 根据实际意义确定定义域 2 求函数y f x 的导数f x 解方程f x 0得出定义域内的实根 确定极值点 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 获得所求的最大 小 值 4 还原到原实际问题中作答 1 写出2013年第x月的需求量f x 单位 件 与x的函数关系式 2 该商品每件的售价为185元 若不计其他费用且每月都能满足市场需求 试问商场2013年第几月销售该商品的月利润最大 最大月利润为多少元 1 利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题 要注意分类讨论和数形结合思想的应用 2 将不等式的证明 方程根的个数的判定转化为函数的单调性 极值问题处理 1 既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示 还要注意确定函数关系式中自变量的取值范围 2 一定要注意求得函数结果的实际意义 不符合实际的值应舍去 3 如果目标函数在定义区间内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点就是最值点 数学思想 转化与化归思想在证明不等式中的应用 对不等式的证明而言 我们可以从所证不等式的结构和特点出发 结合已有的知识利用转化与化归思想 构造一个新的函数 再借助导数确定函数的单调性 利用单调性实现问题的转化 从而使不等式得到证明 其一般步骤是 构造可导函数 研究单调性或最值 得出不等关系 整理得出结论 1 本题中证明x 0时 g x 1 e 2 即证明函数g x 在 0 上的最大值小于1 e 2 从而将问题转化为求函数g x 在 0 上的最大值问题 使问题得以顺利解决 2 一般地 证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 如果f x 0 则f x 在 a b 上是减函数 同时若f a 0 由减函数的定义可知 x a b 时 有f x 0 即证明了f x g x 证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 如果f x 0 则f x 在 a b 上是增函数 同时若f a 0 由增函数的定义可知 x a b 时 有f x 0 即证明了f x g x 解 1 函数f x 的定义域为 f x x ex ex xex x 1 ex 若x0 所以f x 0 则1 ex 0 所以f x 0 f x 在 上