周期函数课件.ppt

1 4 2正 余弦函数的图像和性质 1 正弦 余弦函数的图象和性质 y sinx x R y cosx x R 定义域 值域 周期性 x R y 1 1 T 2 2 周期函数的定义 一般地 对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x T f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 对于一个周期函数f x 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 可知 函数y sinx和y cosx都是周期函数 2k k Z且k 0 都是它的周期 最小正周期是2 由sin x 2k sinx cos x 2k cosx k Z 注意 1 周期T为非零常数 2 等式f x T f x 对于定义域M内任意一个x都成立 3 周期函数f x 的定义域必为无界数集 至少一端是无界的 4 周期函数不一定有最小正周期 举例 f x 1 x R 任一非零实数都是函数f x 1的周期 但在正实数中无最小值 故不存在最小正周期 的最小正周期 例1求下列函数的周期 1 y 3cosx x R 2 y sin2x x R 3 例题讲解 例1 已知定义在R上的函数f x 满足f x 2 f x 0 试判断f x 是否为周期函数 4 周期函数应用 结论 定义在R上的函数f x 满足f x a f x 0或f x a f x 则f x 是周期为2a的周期函数 例2 已知定义在R上的函数f x 满足f x 1 f x 1 且当x 0 2 时 f x x 4 求f 10 的值 结论 定义在R上的函数f x 满足f x a f x b 0或f x a f x b 则f x 是周期为a b的周期函数 奇偶性 一般的 如果对于一个定义域关于原点对称的函数f x 的定义域内的任意一个x 都有f x f x 则称f x 为这一定义域内的奇函数 奇函数的图像关于原点对称 一般的 如果对于一个定义域关于原点对称的函数f x 的定义域内的任意一个x 都有f x f x 则称f x 为这一定义域内的偶函数 偶函数的图像关于y轴对称 1 正弦 余弦函数的奇偶性 单调性 sin x sinx x R y sinx x R 是奇函数 cos x cosx x R y cosx x R 是偶函数 定义域关于原点对称 正弦 余弦函数的奇偶性 正弦函数的单调性 y sinx x R 1 0 1 0 1 余弦函数的单调性 y cosx x R 1 0 1 0 1 单调性 y cosx在每一个闭区间 2k 1 2k k Z 上都是增函数 其值从 1增大到1 在每一个闭区间 2k 2k 1 k Z 上都是减函数 其值从1减小到 1 y sinx在每一个闭区间 2k 2k k Z 上都是增函数 其值从 1增大到1 在每一个闭区间 2k 2k k Z 上都是减函数 其值从1减小到 1 例4比较下列各组数的大小 例5求函数 x 2 2 的单调递增区间 当cosx 1即x 2k k Z 时 y取到最大值3 解 由cosx 0得 2k x 2k k Z 函数定义域为 2k 2k 由0 cosx 1 1 2 1 3 函数值域为 1 3 练 求函数y 2 1的定义域 值域 并求当x为何值时 y取到最大值 最大值为多少 正弦 余弦函数的奇偶性 单调性 奇函数 偶函数 2k 2k k Z 单调递增 2k 2k k Z 单调递减 函数 求函数的单调区间 1 直接利用相关性质 2 复合函数的单调性 3 利用图象寻找单调区间 奇偶性 单调性 单调区间 正弦 余弦函数的奇偶性 单调性 例2求下列函数的单调区间 1 y 2sin x 解 y 2sin x 2sinx 2 y 3sin 2x 单调增区间为 所以 解 单调减区间为 正弦