《直线的方程》课件（1）.ppt

直线的方程 飞逝的流星形成一条美丽的弧线 这条弧线可近似看做是什么图形呢 若在平面直角坐标系中 能否确定出它的位置呢 如何确定呢 平面几何中两点确定唯一的一条直线 在平面直角坐标系内若确定一条直线 应知道哪些条件 你有几种确定方法 1 一般地 如果一条直线l上 且 我们就把这个方程称为直线l的方程 2 如果直线l经过点p0 x0 y0 且斜率为k 设点p x y 是直线l上的任意一点 据斜率公式 可以得到 当x x0时 k 即 1 我们称 1 式的方程叫做直线的点斜式方程 简称点斜式 1 任一点的坐标 x y 都满足一个方程满足该方程的每一个实数对 x y 所确定的点都在直线l上2 y y0 k x x0 3 直线的点斜式方程只适用于斜率存在的直线 不能表示 当直线的倾斜角为0 时 由y y0 0得 当直线的倾斜角为90 时 此时直线的斜率不存在 直线与y轴平行或重合 其方程不能用点斜式表示 因为直线上每一点的横坐标都等于x0 所以它的方程是 4 经过点p x0 y0 的直线有 条 它们可分为两类 1 斜率存在的直线 方程为 2 斜率不存在的直线 方程为 3 垂直于x轴的直线y y0 x x0 0或x x04 无数y y0 k x x0 x x0 5 如果直线l的斜率为k 且与y轴的交点为 0 b 则该直线的点斜式方程为 将该方程化简得 即为直线l的斜截式方程 6 我们把直线l y kx b与y轴的交点 0 b 的纵坐标b叫做 7 若一条直线l的方程能写成点斜式或斜截式 则直线l必满足条件 直线l不与x轴垂直 即直线l的斜率存在 这就是说 5 y b k x 0 y kx b6 直线l在y轴上的截距7 直线的点斜式方程和斜截式方程都是在斜率存在的前提下才能使用 8 已知直线过两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 其中 x1 x2 y1 y2 由点斜式可得直线的方程为 当y1 y2时 方程可以写成 我们称其为直线的两点式方程 简称两点式 9 若直线l与x轴的交点a a 0 与y轴的交点b 0 b 其中a 0 b 0 称 为直线的截距式方程 其中l与x轴 y轴的截距分别为 10 如果直线l经过两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 1 若x1 x2 则直线l与x轴垂直 此时直线l的方程为 2 若y1 y2 则直线l与y轴垂直 此时直线l的方程为 3 若x1 x2 y1 y2 则直线l方程为 11 1 当 时 直线方程不能用两点式 2 直线的截距式方程 1中 a 0 b 0 因此直线l的截距式方程不能表示 的直线 也不能表示平行于坐标轴的直线 12 关于x和y的一次方程 表示一条直线 我们把方程ax by c 0 其中a b不全为0 叫做直线方程的一般式 若a 0 则 若b 0 则 若a b全不为0 13 1 一般式化斜截式的步骤 移项by 当b 0时 得y 2 一般式化截距式的步骤 把常数项移到方程右边ax by 当c 0时 方程两边同除以 c 得 即 1 14 1 直线方程的一般式可以表示 2 点斜式 斜截式 两点式 截距式都可化为 但是直线方程的点斜式 斜截式 两点式 截距式都不能完全表示 3 一般式 都能化为点斜式 斜截式 两点式或截距式 1 任何一条直线 2 一般式任一条直线 3 不一定 直线的点斜式方程 若直线l经过点p0 x0 y0 且斜率为k 则直线的点斜式方程为y y0 k x x0 同学们在学习中要注意以下三点 点斜式方程y y0 k x x0 是由k 变形而得到的 但二者是有区别的 其区别是前者包括点 x0 y0 而后者不包括点 x0 y0 即后者的轨迹上比前者的轨迹上多了一个点 该直线方程不能够表示经过点p0 x0 y0 且垂直于x轴的直线x x0 因此 使用点斜式方程求直线方程时必须以直线的斜率存在为前提 这一点同学们一定要谨记 直线方程的斜截式y kx b表示斜率为k 且与y轴的交点为 0 b 的直线 该方程是由点斜式方程y y0 k x x0 变形得到的 是点斜式方程的一种特殊情形 它与一次函数是统一的 斜截式方程y kx b的几何意义是 k是直线的斜率 b是直线在y轴上的截距 直线的两点式方程 直线方程的一般式 直线方程的一般式为 ax by c 0 其中a b不全为0 直线方程的一般式是由前面所学习的四种直线方程的形式概括形成的 它克服以点斜式 斜截式 两点式 截距式四种 特殊式 的局限性 由于直线方程的一般式ax by c 0 其中a b不全为0 是关于x y的二元一次方程 因此平面上的直线与二元一次方程ax by c 0 其中a b不全为零 是一一对应的 由于直线方程的一般式可以表示任何一条直线 故点斜式 斜截式 两点式 截距式都可化为一般式 但是由于直线方程的点斜式 斜截式 两点式 截距式都不能表示任一条直线 故一般式不一定能化为点斜式 斜截式 两点式 截距式 直线方程的点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式各有特点 分别适用于不同条件下的直线 直线的点斜式方程 根据条件写出下列直线的方程 1 经过点b 1 4 倾斜角为135 2 经过点c 4 2 倾斜角为90 3 经过坐标原点 倾斜角为60 4 在y轴上的截距为 5 倾斜角为120 解析 根据倾斜角求出直线的斜率 再根据点斜式求出直线的方程 答案 1 由题意知 直线的斜率为 1 所以直线方程为y 4 x 1 2 由题意知 直线垂直于x轴 所以直线的方程为x 4 3 由题意知 直线的斜率为 所以直线的方程为y x 4 由题意知 直线的斜率为tan120 tan60 所以直线的方程为y x 5 规律总结 利用点斜式求直线方程的步骤是 判断斜率k是否存在 并求出存在时的斜率 在直线上找一点 并求出其坐标 代入公式 变式训练 1 已知直线l过点 1 0 且与直线y x 1 的夹角为30 求直线l的方程 直线两点式方程的应用 已知三角形的三个顶点a 2 2 b 3 2 c 3 0 求这个三角形的三边所在的直线方程以及ac边上的高线所在的直线方程 分析 已知两点坐标 故可根据两点式直接求得方程 要注意斜率为0和斜率不存在的情况 整理可得2x 5y 6 0 这就是所求直线ac的方程 直线ab经过a 2 2 b 3 2 由于其纵坐标相等 可知其方程为y 2 直线bc经过b 3 2 c 3 0 由于其横坐标相等 可知其方程为x 3 由于a 2 2 c 3 0 规律总结 已知直线上两点坐标 应检验两点的横坐标不相等 纵坐标也不相等后 再用两点式方程 本题也可用点斜式方程或斜截式方程求解 变式训练 2 三角形的顶点a 5 0 b 3 3 c 0 2 求这个三角形三边所在直线的方程 解析 利用两点式求解 但要注意隐含条件 答案 直线ab过点a 5 0 b 3 3 化简整理得3x 2y 15 0 这就是直线ab的方程 同理可得直线bc的方程x 3y 6 0 直线ac的方程为2x 5y 10 0 已知直线经过点 3 2 且在两坐标轴上的截距相等 求直线l的方程 直线截距式方程的应用 解析 直线在两坐标轴的截距相等分截距为0和不为0两种情况 答案 设直线l在两坐标轴上的截距均为a 1 若a 0 则直线l过原点 此时l的方程为 2x 3y 0 规律总结 对于该题 容易产生如下的错误解法 错解一 由于直线l的截距相等 故直线l的斜率为 1 若k 1 则直线方程为 y 2 x 3 即为x y 5 0 若k 1 则直线方程为 y 2 x 3 即为x y 1 0 错解二 由题意 直线在两坐标轴上的截距相等 可设直线的方程为 由于直线过点 3 2 则有所以a 1 即所求的方程为x y 1 0 在上述两种错解中 错解一忽视了截距的意义 截距不是距离 它可正可负 也可以为0 当k 1时 直线x y 5 0在两轴上的截距分别为5和 5 它们是不相等的 另外 这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形 错解二中 没有注意到截距式方程的适用范围 同样也产生了漏解 变式训练 3 过点p 1 3 的直线分别与两坐标轴交于a b两点 若p为ab的中点 求直线的方程 解析 求直线的一般式方程 根据下列条件求解直线的一般式方程 1 直线的斜率为2 且经过点a 1 3 2 斜率为 且在y轴上的截距为4 3 经过两点a 2 3 b 1 5 4 在x y轴上的截距分别为2 4 规律总结 利用直线的点斜式 斜截式 两点式 截距式求解直线的方程时 一定要注意每种方程的适用范围 要注意对斜率是否存在 截距是否为0进行分类讨论 将最后的方程形式转化为一般式 变式训练 4 根据下列条件分别写出直线的方程 并化为一般式方程 1 斜率是 且经过点a 5 3 2 过点b 3 0 且垂直于x轴 3 斜率为4 在y轴上的截距为 2 4 在y轴上的截距为3 且平行于x轴 5 经过a 1 5 b 2 1 两点 6 在x y轴上的截距分别是 3 1 直线方程各种形式的灵活运用 已知定直线l y 4x和定点p 6 4 点q为第一象限内的点且在直线l上 直线pq交x轴正半轴于m 求当 omq的面积最小时q点的坐标 分析 因为点在直线上 所以设点的坐标 把面积表示成关于某未知量的函数关系式 解析 如图 因为q点在y 4x上 故可设q点坐标为 t 4t 设直线l的方程为 a 1 x y 2 a 0 a r 1 若l在两坐标轴上截距相等 求l的方程 2 若l不经过第二象限 求实数a的取值范围 规律总结 由于截距可以为零 原点不属于任何象限 所以本例求解时 一定要进行讨论 否则将出现漏解的错误 注意第 2 问中对直线过原点的情况也要讨论 变式训练 5 若直线 2m2 m 3 x m