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对数函数的性质应用 对数函数y logax a 0 a 1 4 01时 y 0 4 00 x 1时 y 0 3 过点 1 0 即x 1时 y 0 1 定义域 0 2 值域 r x y o 1 0 x y o 1 0 5 在 0 上是减函数 5 在 0 上是增函数 对数函数的图象和性质 例1比较下列各组数中两个值的大小 1 log23 4 log28 5 log0 31 8 log0 32 7 loga5 1 loga5 9 a 0 a 1 解 考察对数函数y log2x 因为它的底数2 1 所以它在 0 上是增函数 于是log23 4 log28 5 考察对数函数y log0 3x 因为它的底数0 3 即0 0 3 1 所以它在 0 上是减函数 于是log0 31 8 log0 32 7 探求之一 底数相同的两个对数比较 解 当a 1时 函数y logax在 0 上是增函数 于是loga5 1 loga5 9当0 a 1时 函数y logax在 0 上是减函数 于是loga5 1 loga5 9 loga5 1 loga5 9 a 0 a 1 分析 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1 而已知条件中并未指出底数a与1哪个大 因此需要对底数a进行讨论 小结 怎样比较同底的两个对数的大小 1 确定函数的底数是否大于1 2 判断对数函数的增减 3 确定两数的大小 练习1 比较下列各题中两个值的大小 log106log108 log0 56log0 54 log0 10 5log0 10 6 log1 51 6log1 51 4 例2比较下列各组中两个值的大小 1 log3 log20 8 2 log67 log76 解 1 log3 log31 0log20 8 log21 0 log3 log20 8 分析 3 1 33 3 0 20 8 0 探求之二 不同底的两个对数比较 解 log67 log66 1log76 log77 1 log67 log76 2 log67 log76 分析 log67 1log76 1 小结 若底数不同 真数也不同的两个对数比较大小时 先作相对应的函数图进行估值 再采用插入中间变量 0 或 1 来确定两对数值得大小 练习2 1 0 30 7 2 12 9 解 0 30 7 0 30 3 1 2 12 9 2 12 1 1 0 30 7 2 12 9 探求之三 底数不同但真数相同 例3 1 10 7 1 20 7解 由图可知 1 10 7 1 20 7 小结 底数不同但真数相同的题目中 一般采用作图法 练习3 1 1 12 3 1 22 2 解 1 12 3 1 12 2 1 12 2 1 22 2 1 12 3 1 22 2 小结 比较两个对数值的大小 1 若底数为同一常数 则可由对数函数的单调性直接进行判断 2 若底数为同一字母 则按对数函数的单调性对底数
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