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上海应用技术学院 20102011学年第二学期复变函数与积分变换期（末）复习卷答案一填空题（每空2分，共36分）1. 若，则=2. 复数的指数形式是，幅角主值= 。3. 复数= ，= （计算过程可见第三题）。4. 设 解析，则， = 。5. 设C为自原点到的直线段，则积分=（用牛顿-莱布尼兹公式）。6. 级数是 条件收敛 （填发散、条件收敛或绝对收敛）。7. =。（请分别用柯西积分公式或留数定理计算）8. 设.，则 是可去奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点）， = 0 。9. 函数的奇点是（都是一级极点）10. 是 的 本性奇点 （选：可去奇点、极点或本性奇点），= 1 。11. 函数的幂级数展开式是。12. 拉普拉斯变换的定义是。13. 若, 则 。二计算（前2题各4分，第3题6分）（1）说明函数在一点连续、可导、解析的关系。 讨论的连续、可导、解析性。答：函数在一点连续、可导、解析的关系是：解析可导连续，反之不成立。 对，设，则，即 。 由于都是连续函数，故在复平面上处处连续。由于。显然可微，但只在处满足柯西-黎曼方程。因此只在处可导，但在复平面上处处不解析。（2）分别求 和 的模、幅角、实部、虚部。解：所以模为 ，幅角4 + 2 k (主值为4 -)，实部、虚部。所以模为 ，幅角 + 2 k (主值为 )，实部 、虚部 。 （3） 验证 是调和函数，并求，使函数为解析函数。解：，因此u是调和函数。下面用偏积分法求v：由，得到；再由，得，所以当时，为解析函数。三. 求 ,解：。其中k = 0时可得相应主值。四. 求在内的罗朗展开。在内的罗朗展开。将函数 展成 z 的罗朗级数，并指出收敛范围。解：1. 对，因为在内有 ，故在 内有 2. 对，在内时3. 五计算1.，其中C是从0到的直线段。解：由于z e z 是解析函数，用分部积分法可得 2.其中C是从0到的直线段解：由于被积函数不解析，本题只能沿曲线来计算积分。直线段的参数方程为 z =(2 + i)t ( t从0到1),d z =(2 + i)d t。所以得到3.设，求（6分）解：所以 进而得 4.（6分）。求积分,为不通过的闭曲线.解：当a不在C内时，由柯西-古萨基本定理，得 当a在C内时，由高阶导数公式，得 。5.解：的一级极点有z = 0.5+k，其中在C内。且由法则可求得在各极点处的留数为。故由留数定理得六. 求拉氏变换，。 求下列函数的拉氏逆变换 1. 2. 解：七 叙
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