空间解析几何与向量代数.doc

第七章 空间解析几何与向量代数一、知识考点精要向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，向量的混合积，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量、方向数与方向余弦。曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面，平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离，球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图莆，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。（一）向量代数1. 向量的概念具有大小和方向的量称为向量（失量），我们只研究与起点无关的自由向量。只有大小，没有方向的量叫做标量（数量）向量a的大小（或长度）称为它的模，记做|a|。模为零的向量称为零向量，记做0。模为1的向量称为单位向量，向量a的单位向量记做，显然。设向量a与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为，则，称为向量a的方向余弦，它们满足等式=1把向量a与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为把向量a的起点与空间直角坐标系原点相重合，则其终点的坐标（ax，ay，az），于是有0=0，0，0，设，为空间两点，以M1为始点，M2为终点的向量，其模为，其模为（即为点M1到M2的距离）。于是2向量的运算（1）加法。把向量b的起点移到向量a的终点，则以a的起点为起点，b的终点的向量称为向量a与b的和，记做c=a+b。用坐表示，若，则a+b=(2) 数乘。实数l与向量a=数乘是一个向量，记做al，当l0时，向量la与a同向，当l0时，la与a反向，且|la|=|l|a|，用坐标表示有l a=。加法与数乘有以下性质 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a+0=a（4）a+(-a)=0 l(ma)=m(la) (l+m)a=la+ma l( a+b)=l a+l b(3) 点乘（数量积或内积）。向量与b=的点乘是一个数| a |b|(其中表示之间的夹角)记做ab，即ab=| a |b|。用坐标表示为ab=。点乘的性质ab=ba (la)b=l(ab) (a+b)c=ac+bc ab的充要条件是ab=0，简记 abab=0这里ab表示a与b垂直（或正交），常把aa记做a2=|a|2。（4）叉乘（向量积或外积）。两个向量与叉乘是一个向量，记做ab，它的模为|ab|=|a|b|sin，方向垂直于a, b, 且使a,b , a b成右手系。若向量a或b为零向量时，则定义ab=0，用坐标表示为 叉乘的性质：ab的充要条件是,简记ab,其中记录“”有示两向量平行。（5）混合积：称为向量的混合积，其几何意义是以向量a,b,c 为相邻的三条棱的平行六面体的有向体积。用坐标表示为混合积的性质：混合积中相邻的两个向量位置互换一次，则混合积变号，即三个向量a,b,c共面的充要条件是。3向量在有向轴上的投影已知空间一点A以及一有向轴u，通过点A作轴u的垂直平面，那么平面与轴u的交点称为点A在轴u上的投影。u是与轴u同方向的单位向量，若向量u,那么称为轴u上的有向线段，并称为有向线段的值。空间一向量的起点和终点在轴u上的投影记为和，则有向线段的值称为向量在轴u上的投影，记做。向量b在向量上的投影为，其中（二）空间解析几何1直线、平面和曲面平面方程点法式方程其中为平面上一定点，n=A,B,C为平面的法向量一般式方程n=A,B,C为平面的法向量截距式方程其中a,b c依次为平面在x,y,z轴上的截距三点式方程平面过空间三点直线方程点向（对称）式方程其中为直线上一定点，s=l,m,n为直线的方向向量参数式方程直线过点，它的方向向量s=l,m,n交线式方程其中为两个平面的法向量，曲面方程椭球面方程当或b=c或c=a时为旋转椭球面双曲面方程单叶双曲面双叶双曲面（二次）锥面方程抛物面方程其中pq0柱面方程F(y,z)=0,母线平行于x轴F(x,z)=0,母线平行于y轴F(x,y)=0，母线平行于z轴旋转曲面方程母线2.点、直线、平面之间的关系（1）两个平面之间的关系平面，其中为平面的法向量，平面，其中为平面的法向量。两平面相交？即不成立两平面垂直两平面平行两平面重合设与之间的夹角？满足（2）两条直线之间的关系设直线，其中为的方向向量，为经过的一点。直线，其中为的方向向量，为经过的一点。两直线不共面，即混合积，这里两直线不共面但相互重直，但两直线垂直相交，且两直线平行,即两直线重合直线与直线之间的夹角满足（3）平面与直线关系设平面，直线，这里为平面的法向量，为直线方向向量平面与直线L相交不成立，即平面与直线L垂直ns，即平面与直线L平行，即直线L在平面上且，这里为直线L上的一点。直线L与平面的夹角满足（4）空间一点到平面的距离（5）空间点到直线的距离为为L上的点（6）直线与不平行，则与的距离为（7）过直线的平面束方程为或x+B1y+C1z+D1+l()=0，其中l，m为参数（两个线性方程的系数不成比例）。3母线平行坐标轴的柱面方程及空间曲线在坐标平面上的投影设空间，消去联立方程组中的变量中的变量后得方程为，该方程表示一个以C为准线，母线平行z轴的柱面，称为空间曲线C关于xOy坐标面的交线：，称为空间曲线C在xOy面上的投影曲线。三教材习题同步解析习题7-18在yOz面上，求与三点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。解 设所求的点的坐标为D(0,y,z)，则|DA|=|DB|=|DC|，即，解得y=1,z=-2，故所求的点为(0,1,-2)。9试证明以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形。证明 显然。故以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形。习题7-22如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。 图7-2P269证明 依题意，。，故ABCD是平行四边形。3把ABC的BC边五等份，设分点依次为，再把各分点与点A连接。试以表示向量和。解 图7-3P270习题7-32一向量的终点在点B(2,-1,7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7。求这个向量的起点A的坐标。解 设点A(x,y,z)，依题意，2-x=4,-1-y=-4,7-z=7，从而x=-2,y=3,z=0。故点A的坐标为（-2，3，0）。4设已知两点和。计算向量的模、方向余弦和方向角。解 。7设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k。求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量。解 a=4m+3n-p=13i+7j+15k。从而向量a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j。+8求平行于向量a=6,7,-6的单位向量。解习题7-42设a,b,c为单位向量，且满足a+b+c=0求。解 =)故。3已知和。求与同时垂直的单位向量。解 。图7-4P2714设质量为100kg的物体从点沿直线移动到点，计算重力所作的功（长度单位为m，重力方向为z轴负方向。）解 。5在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为的点处，有一与成角的力作用着，在O的另一侧与点O的距离为的点处，有一与成角的力作用着（图7-4）。问符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解 要使杠杆保持平衡，必须保证力矩为零，即6求向量在向量上的投影。解7设a=3,5,-2,b=2,1,4,问与有怎样的关系，能使得与z轴垂直？解 ,要使与z轴垂直，只要，即，从而。8试用向量证明直径所对的圆周角是直角。证明图7-5P272故。9已知向量和，计算：（1）（2）（3）。解 （1）=(2)(3)10已知，求OAB的面积。解。11已知，（1）试利用行列式的性质证明（2）试利用混合积的几何意义证明三向量a,b,c共面的充分必要条件是：证明（1）同理故故 （ab）c=(bc)a=(ca)b(2) a, b, c共面以a, b, c为棱的平行六面体的体积V=0，V=|abc|= V=0=012. 试用向量不等式证明不等式，其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数。并指出等号成立的条件。证明 设a=, b=，则=故。当 |=1，即a/ b，亦即时，等号成立。习题7-53. 方程表示什么曲面？解 由，得，因此方程表示以为球心，以为半径的球面。4求与坐标原点O及点(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面。解 设为曲面上任一点，则为球心，以为半径的球面。5将xOz坐标面上的抛物线绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。解，即。7将xOy坐标面上的双曲线分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。解 绕x轴旋转一周生成的旋转曲面方程为：。绕y旋转一周所生成的旋转曲面方程为习题7-63分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线的柱面方程。解 从方程组中消掉x得即为通过曲线而母线平行于x轴的柱面方程。从方程组中消掉y得即为通过曲线而母线平行于y轴的柱面方程。4求球面与平面x+z=1的交线在xOy面上的投影的方程。解 由x+z=1得z=1-x，代入得。从而所求的投影曲线方程为 。5将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）（2）解（1）将y=x代入得令，则z=3sint，故所求的参数方程为（2）将z=0代入得，令，则,故所求的参数方程为6求解旋线，在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。解 由得，从而在xOy面上的投影曲线方程为由得代入得，故螺旋线在yOz面上的投影曲线方程为将，从而螺旋线在xOz面上的投影曲线方程为。7求上半球与圆柱体的公共部分在xOy和xOz面上的投影。 解 由，知在xOy面上的投影曲线方程为，从而立体在xOy面上的投影为。由，知在xOz面上的投影曲线方程为，从而立体在xOz面上的投影为。8求旋转抛物面在三个坐标面上的投影。解由得，从而抛物面在xOy面上的投影为。由得，从而抛物面在yOz面上的投影为同理抛物面在xOz面上的投影为。习题7-73求过A(1,1,-1)、B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点的平面方程。解 ，故所示方程为，即5求平面与各坐标面的夹角的余弦。解 设平面与yOz面，xOz面及xOy面的夹角分别为，且记n=2,-2,1则。6一平面过点（1,0,-1）且平行于向量a=2,1,1和b=1,-1,0,试求这平面方程。解 。所求平面方程为x-1+y-3(z+1)=0，即x+y-3z-4=0。7求三平面的交点。解 解方程组得所以（1,-1,3）即为交点坐标。8分别按下列条件平面方程：（1）平行于xOz面且经过点（2,-5,3）。解取n=j=0,1,0，则y+5=0即为所求。（2）通过z轴和点（-3，1，-2）。解 设所求平面方程为Ax+By=0，又点(-3,1,-2)在平面Ax+By=0上，所以-3A+B=0，于是Ax+3Ay=0，故所求平面方程为x+3y=0。（3）平行于x轴且经过两点(4,0,-2)和（5，1，7）。解 设所求平面方程为By+Cz+D=0，又(4,0,-2)和（5，1，7）在By+Cz+D=0上，所以从而，故-9Cy+Cz+2C=0,9y-z-2=0即为所求。9求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0的距离。解 。习题7-8 3用对称式方程及参数方程表示直线。解 令x=1，则，得从而得直线上的一点（1，1，1）。又可取直线的方向向量为于是对称式方程为，参数式方程为4求过点（2，0，-3）且与直线垂直的平面方程。解 取，则所求平面方程为，即。5求直线与直线的夹角的余弦。解6证明直线与直线，平行。证明 ,显然，即两直线平行。7求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程。解 取，则所求直线方程为8求过点A(3,1,-2)且通过直线的平面方程。解 显然点B(4,-3,0)也在所求平面上，取则所求平面方程为，即9求直线与平面x-y-z+1=0的夹角。解，所以。注意到n=1,-1,-1。10试确定下列各组中的直线和平面间的关系：（1）和。解s=-2,-7,3,n=4,-2,-2,显然sn=0，且直线上的点(-3,-4,0)不在乎平面上，因此直线与平面平行。（2）和。解 s=3,-2,7,n=3,-2,7，显然sn，因此直线与平面垂直。（3）和x+y+z=3。解 s=3,1,-4,n=1,1,1 ,显然sn=0，又直线上的点(2,-2,3)在平面x+y+z=3上，所以直线在平面上。11求过点（1，2，1）而与两直线和平行平面方程。解从而所求平面方程为，即x-y+z=012求点(-2,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。解 过点（-1，2，0）而垂直于平面x+2y-z+1=0的直线方程为，解得，则即为所求的投影。13求点P(3,-1,2)到直线的距离。解 一般地设直线L的方程为，为直线L上的点。设P(a,b,c)为直线L外一点，则其中s=m,n,p为L的方向向量，是与s同方向的单位向量。这里，取z=0，由，得，进而得，于是，故 15求直线在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。解 过直线的平面束方程为，即在平面束中找与4x-y+z=1垂直的平面，即，得，于是与4x-y+z=1垂直的平面方程为故投影直线为。习题7-92求曲线，xOy面上的投影曲线方程，并指出原曲线是什么曲线。解由得，从而在xOy面上的投影曲线方程是，原曲线是位于平面z=3上，以平行于x轴的直线为对称轴的抛物线。总习题七1在y轴上求与点A(1,-3,7)和点B(5,7,-5)等距离的点。解 设所求的点为M(0,y,0)，则|AM|=|BM|，即,从而y=2，所所求的点为（0，2，0）。2已知ABC的顶点为A(3,2,-1)、B(5,-4,7)和C(-1,1,2)求从顶点C所引中线的长度。解A与B中的点为，即M(4,-1,3)，从而从顶点C所引中线的长度为。图7-7P2823设ABC的三边，三边中点依次为D、E，F，试有向量a,b,c表示，并证明：。解 从而图7-8P2824试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半。证明 设E、F分别为AB和AC的中点。=图7-9P282故EFBC，且。5在边长为1的立方体中，OM为对角线，OA为棱，求上的投影及上的投影。解 。显然或6设|a+b|=|a-b|,a=3,-5,8,b=-1,1z,求z。解由|a+b|=|a-b|有(a+b)(a+b)=(a-b)（a-b），从而，故z=1。7设，求向量a+b与a-b的夹角。解记a+b与a-b的夹角为，则8设a+3b7a-5b,a-4b7a-2b,求(a,b)。解 由。即从而，故。9设a=2,-1,-2,b=1,1,z，问z为何值时（a,b）最小，并求出此最小值。解 令，得z=-4，且当z-4时，所以当z=-4时，取得极小值，即为最小值，此时。10设|a|=4,|b|=3,求以a+2b和a-3b为边的平行四边形的面积。解11设a=2,-3,1,b=1,-2,3,c=2,1,2，向量r满足。求r。解 设r=m,n,p，由，解方程组得m=14.n=10,p=2.故r=14,10,2。或由知，rab，令又所以k=-2,从而r=14,10,2。12设a=-1,3,2,b=2,-3,-4,c=-3,12,6，证明三向量a,b,c共面，并用a和b表示c。证明 由abc=知a,b,c共面。令，即得。13已知动点M（x,y,z）到xOy平面的距离与点M到点（1，-1，2）的距离相等，求点M的轨迹的方程。解 依题意，整理得14指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴：（1）解母线为旋转轴为z轴。（2）解母线为或旋转轴为y轴。（3）解母线为，旋转轴为z轴。（4）。解母线为或旋转轴为x轴。15求通过点A(3,0,0)和B(0,0,1)且与xOy面成角的平面的方程。解法一 过A，B两点的直线方程为即，过直线AB的平面束方程为记n=1,，3，则。即，于是。故所求平面方程为解法二 设所求平面的法向量为n=m,n,p，则得于是mx+ny+p(z-1)=0即故16设一平面垂直于平面z=0，并通过从点（1，-1，1）到直线的垂线，求此平面的方程。解 设所求平面的法向量为n=A,B,C，则，从而C=0，于是可设平面方程为Ax+By+D=0。过点(1,-1,1)垂直于直线L的平面方程为n:y+z=0。直线L与平面n的交点（垂足）。于是点（1，-1，1）和点均在Ax+By+D=0上，即从而故所求平面方程为x+2y+1=0。17求过点（-1，0，4）且平行于平面3x-4y+z-10=0,又与直线相交的直线的方程。解过点（-1，0，4）且平行于3x-4y+z-10=0的平面方程为的平面方程3x-4y+z-1=0令代入（1）得t=16，从而交点为(15,19,32)，从而所求直线方程为18已知点A（1，0，0）及点B（0，2，1），试在z轴上求一点C，使ABC的面积最小。解 设C（0，0，z），则令，得，且当时，当时，所以当时，达到极小值即为最小值，故所求的点。19求曲线，在三个坐标面上的投影曲线的方程。解 消掉z得，从而在xOy面上的投影为同理分别消掉y和x可得在xOz面和yOz面上的投影分别为20求锥面与柱面所围立体在三个坐标面上的投影。解 由消掉z得，从而立体在xOy面上的投影为同理可得立体在y