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第一章实数集与函数第一章实数集与函数 1 1 实数实数 授课章节 授课章节 第一章实数集与函数 1 实数 教学目的教学目的 使学生掌握实数的基本性质 教学重点教学重点 1 理解并熟练运用实数的有序性 稠密性和封闭性 2 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等 式 它们是分析论证的重要工具 教学难点教学难点 实数集的概念及其应用 教学方法教学方法 讲授 部分内容自学 教学程序教学程序 引引 言言 上节课中 我们与大家共同探讨了 数学分析 这门课程的研 究对象 主要内容等话题 从本节课开始 我们就基本按照教材顺 序给大家介绍这门课程的主要内容 首先 从大家都较为熟悉的实 数和函数开始 问题问题 为什么从 实数 开始 答 数学分析 研究的基本对象是函数 但这里的 函数 是定义在 实数集 上的 后继课 复变函数 研究的是定义在复 数集上的函数 为此 我们要先了解一下实数的有关性质 一 实数及其性质一 实数及其性质 1 1 实数 实数 q p q p 有理数 任何有理数都可以用分数形式为整数且q0 表示 也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示 无理数 用无限十进不循环小数表示 Rx x 一一一 一一一一一一一 问题问题 有理数与无理数的表示不统一 这对统一讨论实数是不利 的 为以下讨论的需要 我们把 有限小数 包括整数 也表 示为 无限小数 为此作如下规定 对于正有限小数其中 012 n xa a aa 记 0 09 1 2 0 in ain aa 为非负整数 011 1 9999 nn xa aaa 对于正整数则记 对于负有限小数 包括 0 xa 0 1 9999xa 负整数 则先将表示为无限小数 现在所得的小数之前加yy 负号 0 表示为 0 0 0000 例 2 0012 0009999 利用上述规定 任何实数都可用一个确定的无限小数来表 示 在此规定下 如何比较实数的大小 2 2 两实数大小的比较 两实数大小的比较 1 定义定义 1 1 给定两个非负实数 其 01 n xa aa 01 n yb bb 中为非负整数 为整数 若有 00 a b kk a b 1 2 k 09 09 kk ab 32 9999 2 0012 009999 32 9999 则称 与相等 记为 若或存在非负 0 1 2 kk abk xyxy 00 ab 整数 使得 而 则称 大于或小于l 0 1 2 kk abkl 11ll ab xyy 分别记为或 对于负实数 若按上述规定分别有xxy yx xy 或 则分别称为与 或 xy xy xy xy yx 规定规定 任何非负实数大于任何负实数 2 实数比较大小的等价条件 通过有限小数来比较 定义定义 2 2 不足近似与过剩近似不足近似与过剩近似 为非负实数 称 01 n xa aa 有理数为实数 的 位不足近似位不足近似 称为实数 01 nn xa aa xn 1 10 nn n xx 的 位过剩近似位过剩近似 xn0 1 2 n 对于负实数 其 位不足近似 01 n xa aa n 01 1 10 nn n xa aa 位过剩近似 n 01 nn xa aa 注 实数 的不足近似当 增大时不减 即有 x n xn 012 xxx 过剩近似当 n 增大时不增 即有 n x 012 xxx 命题命题 记 为两个实数 则的等 01 n xa aa 01 n yb bb xy 价条件是 存在非负整数 n 使 其中为 的 位不足近似 nn xy n xxn 为的 位过剩近似 n yyn 命题应用命题应用 例例 1 1 设为实数 证明存在有理数 满 x yxy r 足 xry 证明 由 知 存在非负整数 n 使得 令xy nn xy 则 r 为有理数 且 1 2 nn rxy 即 nn xxryy xry 3 3 实数常用性质 实数常用性质 详见附录 289302 PP 1 1 封闭性 封闭性 实数集对 四则运算是封闭的 即任意两R 个实数的和 差 积 商 除数不为 0 仍是实数 2 2 有序性 有序性 关系 三者必居其一 也 a bR ab ab ab 只居其一 3 3 传递性 传递性 abcR ab bcac 若 则 4 4 阿基米德性 阿基米德性 使得 0a bR banN nab 5 5 稠密性 稠密性 两个不等的实数之间总有另一个实数 6 6 一一对应关系 一一对应关系 实数集与数轴上的点有着一一对应关系 R 例例 2 2 设 证明 若对任何正数 有 a bR ab 则 ab 提示 反证法 利用 有序性 取 ab 二 绝对值与不等式二 绝对值与不等式 1 1 绝对值的定义 绝对值的定义 实数 的绝对值的定义为 a 0 0 aa a aa 2 2 几何意义 几何意义 从数轴看 数 的绝对值就是点 到原点的距离 表示a aa xa 就是数轴上点 与 之间的距离 xa 3 3 性质 性质 1 非负性 0 00aaaa 2 aaa 3 ahhah 0 ahhah h 4 对任何有 三角不等式 a bR ababab 5 abab 6 aa bb 0b 三 几个重要不等式三 几个重要不等式 1 1 2 22 abba 1 sin x sin xx 2 2 均值不等式 对记 21 R n aaa 算术平均值 1 1 21 n i i n i a nn aaa aM 几何平均值 1 1 21 n n i i n ni aaaaaG 调和平均值 111 1 111 1121 n i i n i i n i a n anaaa n aH 有平均值不等式 即 iii aMaGaH 12 12 12 111 n n n n aaan a aa n aaa 等号当且仅当时成立 n aaa 21 3 3 Bernoulli 不等式 在中学已用数学归纳法证明过 有不等式 1 x 1 1 n xnxn N 当且 且时 有严格不等式1 x0 xN n2 n 1 1 nxx n 证 由且01 x 111 1 1 1 01 nn xnxx 1 1 xnxn n n 1 1 nxx n 4 4 利用二项展开式得到的不等式 对由二项展开式 0 h 3 2 1 2 1 1 1 32nn hh nnn h nn nhh 有 上式右端任何一项 n h 1 练习练习 P4 5 课堂小结课堂小结 实数 一 实数及其性质 二 绝对值与不等式 作业作业 P4 1 1 2 2 3 3 2 2 数集和确界原理数集和确界原理 授课章节 授课章节 第一章实数集与函数 2 数集和确界原理 教学目的教学目的 使学生掌握确界原理 建立起实数确界的清晰概念 教学要求 教学要求 1 掌握邻域的概念 2 理解实数确界的定义及确界原理 并在有关命题的证明中正 确地加以运用 教学重点教学重点 确界的概念及其有关性质 确界原理 教学难点教学难点 确界的定义及其应用 教学方法教学方法 讲授为主 教学程序教学程序 先通过练习形式复习上节课的内容 以检验学习效果 此后导入新课 引引 言言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论 此后 又让大家自学了第一章 1 实数的相关内容 下面 我们先来检验一 下自学的效果如何 1 证明 对任何有 1 2 xR 1 2 1xx 1 2 3 2xxx 111 2 12 121xxxxx 2121 231 232 xxxxxx 三式相加化简即可 2 证明 xyxy 3 设 证明 若对任何正数 有 则 a bR ab ab 4 设 证明 存在有理数 满足 x yR xy ryrx 引申引申 由题 1 可联想到什么样的结论呢 这样思考是做科 研时的经常的思路之一 而不要做完就完了 而要多想想 能否具体 问题引出一般的结论 一般的方法 由上述几个小题可以体会出 大学数学 习题与中学的不同 理论性强 概念性强 推理有理 有据 而非凭空想象 课后未布置作业的习题要尽可能多做 以 加深理解 语言应用 提请注意这种差别 尽快掌握本门课程的术语 和工具 本节主要内容本节主要内容 1 先定义实数集 R 中的两类主要的数集 区间与邻域 2 讨论有界集与无界集 3 由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理 确界原理 一一 区间与邻域 区间与邻域 1 区间 用来表示变量的变化范围 设且 其中 a bR ab 有限区间 区间 无限区间 xR axba b xR axba b xR axba b xR axba b 开区间 闭区间 有限区间 闭开区间 半开半闭区间 开闭区间 xR xaa xR xaa xR xaa xR xaa xRxR 无限区间 2 邻域 联想 邻居 字面意思 邻近的区域 与 邻近的 区a 域 很多 到底哪一类是我们所要讲的 邻域 呢 就是 关于 的对称区间 如何用数学语言来表达呢 a 1 的的邻域邻域 设 满足不等式的全体实a 0aR xa 数 的集合称为点 的邻域 记作 或简记为 即xa U a U a U ax xaaa 其中a 称为该邻域的中心 称为该邻域的半径 2 点点 的空心的空心邻域邻域a 0 oo Uaxxaaaa aUa 3 的的右邻域和点右邻域和点 的空心的空心右邻域右邻域a a 00 Uaa aUax axa Uaa aUax axa 4 点点 的的左邻域和点左邻域和点 的空心的空心左邻域左邻域a a 00 UaaaUax axa UaaaUax axa 5 邻域 邻域 邻域 邻域 邻域邻域 其中 M 为充分大的正数 Ux xM Ux xM Ux xM 二二 有界集与无界集 有界集与无界集 1 1 定义定义 1 1 上 下界上 下界 设为中的一个数集 若存在数SR 使得一切都有 则称 S 为有上 下 界 M LxS xM xL 的数集 数称为 S 的上界 下界 若数集 S 既有上界 又 M L 有下界 则称 S 为有界集 闭区间 开区间为有限数 邻域等都是有界数集 a bbaba 集合 也是有界数集 sin xxyyE 若数集 S 不是有界集 则称 S 为无界集 等都是无界数集 0 0 集合 也是无界数集 1 0 1 x x yyE 注注 1 上 下 界若存在 不唯一 2 上 下 界与 S 的关系如何 看下例 例例 1 1 讨论数集的有界性 Nn n 为正整数 解 任取 显然有 所以有下界 1 0 nN 0 1n N 但无上界 因为假设有上界 M 则 M 0 按定义 对任意N N 都有 这是不可能的 如取 0 nN 0 nM 则 且 0 1nMMM 符号表示不超过的最大整数 0 nN 0 nM 综上所述知 是有下界无上界的数集 因而是无界集 N 例例 2 2 证明 1 任何有限区间都是有界集 2 无限区间都 是无界集 3 由有限个数组成的数集是有界集 问题问题 若数集 S 有上界 上界是唯一的吗 对下界呢 答 不唯一 有无穷多个 三三 确界与确界原理 确界与确界原理 1 定义 定义定义 2 2 上确界 上确界 设 S 是 R 中的一个数集 若数 满足 1 对一切有 即 是 S 的上界 2 对任何 存在 xS x 使得 即 是 S 的上界中最小的一个 则称数 为数集 0 xS 0 x S 的上确界上确界 记作sup S 从定义中可以得出 上确界就是上界中的最小者上确界就是上界中的最小者 命题命题 1 1 充要条件supME 1 xE xM 2 00 oxSxM 使得 证明 证明 必要性 用反证法 设 2 不成立 则 与M是上界中最小的一个矛盾 0 0 o xExM 使得均有 充分性 用反证法 设M不是E的上确界 即是上界 但 0 M 令 由 2 使得 与 0 MM 0 0MM 0 xE 00 xMM 是E的上界矛盾 0 M 定义定义 3 3 下确界 下确界 设 S 是 R 中的一个数集 若数 满足 1 对一切有 即 是 S 的下界 2 对任何 存在 xS x 使得 即 是 S 的下界中最大的一个 则称数 为数集 0 xS 0 x S 的下确界下确界 记作 inf S 从定义中可以得出 下确界就是下界中的最大者下确界就是下界中的最大者 命题命题 2 2 的充要条件 inf S 1 xE x 2 0 00 xSx 有 上确界与下确界统称为确界确界 例例 3 3 1 则 1 0 1 1 n S n supS inf S 2 则 1 0 0 sin xxyyEsupS inf S 注 注 非空有界数集的上 或下 确界是唯一的 命题命题 3 3 设数集设数集有上 下 确界 则这上 下 确界必是唯一有上 下 确界 则这上 下 确界必是唯一A 的的 证明 证明 设 且 则不妨设sup A sup A Asup Ax 有 x 对 使 矛盾 sup A 0 xA 0 x 例 例 sup0R sup1 1 n Z n n 1 inf 12 n Z n n 则有 5 0 3 9 11E inf5E 开区间与闭区间有相同的上确界 与下确界 a b a bba 例例 4 4 设和是非空数集 且有则有SA AS infinf supsupASAS 例例 5 5 设和是非空数集 若对和都有则有ABAx By yx infsupBA 证明 证明 是的上界 是的下界 By yA sup yA Asup B infsup BA 例例 6 6和为非空数集 试证明 AB BAS inf inf mininfBAS 证明 证明 有或由和分别是和的下界 Sx Ax Bx AinfBinfAB 有 或Axinf inf inf min infBAxBx 即是数集的下界 inf inf minBAS 又的下界就是的下界 inf inf mininf BAS SAS A 是的下界 是的下界 同理有SinfSSinf A infinf AS infinfBS 于是有 inf inf mininfBAS 综上 有 inf inf mininfBAS 1 1 数集与确界的关系数集与确界的关系 确界不一定属于原集合 以例 3 为例做 解释 2 2 确界与最值的关系确界与最值的关系 设 为数集 E 1 的最值必属于 但确界未必 确界是一种临界点 EE 2 非空有界数集必有确界 见下面的确界原理 但未必有最 值 3 若存在 必有对下确界有类似的结论 Emax supmaxEE 4 4 确界原理确界原理 Th1 1Th1 1 确界原理 设非空的数集 若有上界 则必有上确SSS 界 若有下界 则必有下确界 SS 这里我们给一个可以接受的说明 非空 Ex 我们可 ER E 以找到一个整数 使得p不是E上界 而是E的上界 然后我 p 1p 们遍查 9 2 1 ppp 和 1 p 我们可以找到一个 0 q 90 0 q 使 得 0 qp 不是E上界 1 0 qp 是E上界 如果再找第二位小数1 q 如此下去 最后得到 210 qqqp 它是一个实数 即为E的上确界 证明 证明 书上对上确界的情况给出证明 下面讲对下确界的证明 不妨设S中的元素都为非负数 则存在非负整数n 使得 1 Sx 有nx 2 存在 Sx 1 有1 nx 把区间 1 nn 10 等分 分点为n 1 2 9 存在1 n 使 得 1 S 有 1 nnx 2 存在 Sx 2 使得10 1 12 nnx 再对开区间10 等分 同理存在2 n 使得 11 1 10 nn nn 1 对任何Sx 有21 nnnx 2 存在2 x 使 2 10 1 212 nnnx 继续重复此步骤 知对任何 2 1 k 存在 k n 使得 1 对任何Sx k k nnnnx 10 1 21 2 存在 Sxk kk nnnnx 21 因此得到 k nnnn 21 以下证明 Sinf 对任意Sx x 对任何 存在Sx 使 x 作业 作业 P9 1 1 2 2 4 2 4 3 3 函数概念函数概念 授课章节授课章节 第一章实数集与函数 3 函数概念 教学目的教学目的 使学生深刻理解函数概念 教学要求教学要求 深刻理解函数的定义以及复合函数 反函数和初等函数 的定义 熟悉函数的各种表示法 牢记基本初等函数的定义 性质及其图象 会求初等函数 的存在域 会分析初等函数的复合关系 教学重点教学重点 函数的概念 教学难点教学难点 初等函数复合关系的分析 教学方法教学方法 课堂讲授 辅以提问 练习 部分内容可自学 教学程序教学程序 引引 言言 关于函数概念 在中学数学中已有了初步的了解 为便于今后的 学习 本节将对此作进一步讨论 一 函数的定义一 函数的定义 定义 定义 设 如果存在对应法则 使对 D MR fxD 存在唯一的一个数与之对应 则称是定义在数集上的函数 yM fD 记作 fDM xy 数集称为函数的定义域 所对应的 称为在点 的函Dfxyfx 数值 记为 全体函数值的集合称为函数的值域 记作 f xf f D 即 f Dy yf x xD 几点说明几点说明 1 函数定义的记号中 表示按法则建立到 fDM fD 的函数关系 表示这两个数集中元素之间的对应关系 也记M xy 作 习惯上称 自变量 为因变量 xf x xy 2 函数有三个要素 即定义域 对应法则和值域 当对应法 则和定义域确定后 值域便自然确定下来 因此 函数的基本要素为 两个 定义域和对应法则 所以函数也常表示为 yf x xD 由此 我们说两个函数相同 是指它们有相同的定义域和对应 法则 例如 1 不相同 对应法则相 1 f xxR 1 0 g xxR 同 定义域不同 2 相同 只是对应法则 xxxR 2 xxxR 的表达形式不同 3 函数用公式法 解析法 表示时 函数的定义域常取使该 运算式子有意义的自变量的全体 通常称为存在域 自然定义域 此时 函数的记号中的定义域可省略不写 而只用对应法则来表f 示一个函数 即 函数 或 函数 yf x f 4 映射 的观点来看 函数本质上是映射 对于 faD 称为映射下 的象 称为的原象 f afaa f a 5 函数定义中 只能有唯一的一个值与它对应 xD y 这样定义的函数称为 单值函数 若对同一个 值 可以对应多于x 一个值 则称这种函数为多值函数 本书中只讨论单值函数 简称y 函数 二二 函数的表示方法 函数的表示方法 1 主要方法 解析法 公式法 列表法 表格法 和图象法 图示法 2 可用 特殊方法 来表示的函数 1 1 分段函数 分段函数 在定义域的不同部分用不同的公式来表示 例如 符号函数 1 0 sgn0 0 1 0 x xx x 借助于 sgnx 可表示即 f xx sgnf xxxx 2 2 用语言叙述的函数 用语言叙述的函数 注意 以下函数不是分 段函数 例 取整函数 yx 比如 3 5 3 3 3 3 5 4 常有 即 1xxx 01xx 与此有关一个的函数 非负小数函 yxxx 数 图形是一条大锯 画出图看一看 狄利克雷 Dirichlet 函数 1 0 x D x x 当为有理数 当为无理数 这是一个病态函数 很有用处 却无法画出它的图形 它是周期 函数 但却没有最小周期 事实上任一有理数都是它的周期 黎曼 Riemman 函数 1 0 0 1 0 1 pp xp qN qqqR x x 当为既约分数 当和内的无理数 三三 函数的四则运算函数的四则运算 给定两个函数 记 并设 定义 12 f xD g xD 12 DDD D 与在上的和 差 积运算如下 fgD F xf xg x xD G xf xg x xD H xf x g x xD 若在中除去使的值 即令 D 0g x 2 0 DDx g xxD 可在上定义与的商运算如下 D fg f x L xxD g x 注 若 则与不能进行四则运算 12 DDD fg 为叙述方便 函数与的和 差 积 商常分别写为 fg f fgfgfg g 四 复合运算四 复合运算 引言 引言 在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才 建立起它们之间的对应关系 例 质量为 m 的物体自由下落 速度为 v 则功率为E 2 2 2 1 1 2 2 Emv Emg t vgt 抽去该问题的实际意义 我们得到两个函数 2 1 2 f vmv vgt 把代入 即得 v tf 2 2 1 2 f v tmg t 这样得到函数的过程称为 函数复合 所得到的函数称为 复合函 数 问题问题 任给两个函数都可以复合吗 考虑下例 2 arcsin 1 1 2 yf uu uDug xxxER 就不能复合 结合上例可见 复合的前提条件是 内函数 的值域 与 外函数 的定义域的交集不空 从而引出下面定义 2 2 定义 复合函数 定义 复合函数 设有两个函数 若 则对每一 yf u uD ug x xE Ex f xDE E 个 通过对应内唯一一个值 而 又通过对应唯一一个xE gDuuf 值 这就确定了一个定义在上的函数 它以 为自变量 因变yE xy 量 记作或 简记为 称为函数 yf g xxE yfgx xE fg 和的复合函数 并称为外函数 为内函数 为中间变量 fgfgu 3 3 例子例子 例例 求 并求定 1 2 xxguuufy xgfxgf 义域 例例 1 1 2 xfxxxf 则 11 2 2 x x x xf xf A A B B C C D D 2 x 1 2 x 2 2 x 2 2 x 例 讨论函数与函数 0 yf uu u 能否进行复合 求复合函数 2 1 ug xxxR 4 4 说明说明 复合函数可由多个函数相继复合而成 每次复合 都要验证 能否进行 在哪个数集上进行 复合函数的最终定义域是什么 例如 复合成 2 sin 1yu uv vx 2 sin 1 1 1 yxx 不仅要会复合 更要会分解 把一个函数分解成若干个简单 函数 在分解时也要注意定义域的变化 22 log1 0 1 log 1 aa yxxyu uz zx 22 arcsin1arcsin 1 yxyu uv vx 2 sin2 22 sin xu yyuv vx 五 反函数五 反函数 引言引言 在函数中把 叫做自变量 叫做因变量 但需要指出的 yf x xy 是 自变量与因变量的地位并不是绝对的 而是相对的 例如 那么 对于来讲是自变量 但对 来讲 是因变 2 1 f uu ut uftu 量 习惯上说函数中 是自变量 是因变量 是基于随 yf x xyy 的变化现时变化 但有时我们不仅要研究随 的变化状况 也要研xyx 究 随的变化的状况 对此 我们引入反函数的概念 xy 反函数概念反函数概念 定义定义设 Xf R R 是一函数 如果 1 x Xx 2 由 2121 xfxfxx 或由2121 xxxfxf 则称 f 在X上是 1 1 的 若 YXf XfY 称 f 为满的 若 YXf 是满的 1 1 的 则称 f 为 1 1 对应 Xf R R 是 1 1 的意味着 xfy 对固定y至多有 一个解x YXf 是 1 1 的意味着对 Yy xfy 有且仅有一个解x 定义定义 设 YXf 是 1 1 对应 Yy 由 xfy 唯一确定一个Xx 由这种对应法则所确定的 函数称为 xfy 的反函数 记为 1 yfx 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 YXf XYf 1 显然有 XXIff 1 恒等变换 YYIff 1 恒等变换 YXff 11 从方程角度看 函数和反函数没什么区别 作为函 数 习惯上我们还是把反函数记为 1 xfy 这样它 的图形与 xfy 的图形是关于对角线 xy 对称的 严格单调函数是 1 1 对应的 所以严格单调函数有反函数 但 1 1 对应的函数 有反函数 不一定是严格单调的 看下 面例子 21 3 10 xx xx xf 它的反函数即为它自己 实际求反函数问题可分为二步进行 实际求反函数问题可分为二步进行 1 1 确定 YXf 的定义域X和值域Y 考虑 1 1 对应条件 固 定 Yy 解方程 yxf 得出 1 yfx 2 2 按习惯 自变量x 因变量y互换 得 1 xfy 0 x y 例例 求 2 xx ee xshy R R R R 的反函数 解解 固定y 为解 2 xx ee y 令 zex 方程变为 12 2 zzy 012 2 zyz 1 2 yyz 舍去 1 2 yy 得 1ln 2 yyx 即 1ln 12 xshxxy 称为反双曲正弦反双曲正弦 定理定理 给定函数 xfy 其定义域和值域分别记为X和Y 若在Y上存在函数 yg 使得 xxfg 则有 1 yfyg 分析分析 要证两层结论 一是 xfy 的反函数存在 我们只要证 它是 1 1 对应就行了 二是要证 1 g yfy 证证 要证 xfy 的反函数存在 只要证 xf 是X到Y的 1 1 对应 1 x Xx 2 若 21 xfxf 则由定理条件 我们有 11 xxfg 22 xxfg 21 xx 即 YXf 是 1 1 对应 再证 Yy Xx 使得 xfy 1 g yfy 由反函数定义 1 yfx 再由定理条件 g yg f xx 1 g yfy 例例 若 xff 存在唯一 不动点 则 xf 也 不动 fRR 点 证证 存在性 设 xffx xfffxf 即 xf 是 ff 的不动点 由唯一性 xxf 即存在 xf 的不动点 x 唯一性 设 xfx xffxfx 说明 x是 ff 的不动点 由唯一性 x x 从映射的观点看函数 设函数 满足 对于值域中的每一个值 yf x xD f Dy 中有且只有一个值 使得 则按此对应法则得到一x f xy 个定 义在 f D 上的 0 y f x y f 1 x 0 y f x 函数 称这个函数为的反函数 记作f 或 1 ff DDyx 1 xfyyf D 注释 注释 a 并不是任何函数都有反函数 从映射的观点看 函数有f 反函数 意味着是 与之间的一个一一映射 称为映f f D 1 f 射的逆映射 它把 f f DD b 函数与互为反函数 并有 f 1 f 1 ff xx xD 1 f fxy yf D c 在反函数的表示中 是以为自变量 为 1 xfyyf D yx 因变量 若按习惯做法用 做为自变量的记号 作为因变量的xy 记号 则函数的反函数可以改写为f 1 f 1 yfx xf D 应该注意 尽管这样做了 但它们的表示同一个函数 因为其 定义域和对应法则相同 仅是所用变量的记号不同而已 但它们的图 形在同一坐标系中画出时有所差别 六六 初等函数 初等函数 1 基本初等函数 类 常量函数 为常数 yC 幂函数 yxR 指数函数 0 1 x yaaa 对数函数 log 0 1 a yx aa 三角函数 sin cos cyx yx ytgx ytgx 反三角函数 arcsin arccos yx yx yarctgx yarcctgx 注注 幂函数和指数函数都涉及乘幂 yxR 0 1 x yaaa 而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义 下面我们借助 于确界来定义无理指数幂 便它与有理指数幂一起构成实指数乘 幂 并保持有理批数幂的基本性质 定义 定义 给定实数 设 为无理数 我们规定 0 1aa x sup 1 01 r xr x r ara a ara r0 Xx 有 fXR f xM 即 取Mm MM 即可 Mf xM 反之如果 M m使得 令 xX mf xM 0 max1 MMm 则 即 使得对有 即 0 f xM 0 0M xX 0 f xM 有界 fXR 例例 2 2 证明 为上的无上界函数 1 f x x 0 1 例例 3 3 设为 D 上的有界函数 证明 1 f g inf inf inf x Dx Dx D f xg xf xg x 2 sup sup sup x Dx Dx D f xg xf xg x 例例 4 4 验证函数 在内有界 32 5 2 x x xfR 解法一解法一 由当时 有 62322 3 2 32 222 xxxx 0 x 3 62 5 62 5 32 5 32 5 22 x x x x x x xf 30 0 f 对 总有 即在内有界 R x 3 xf xfR 解法二解法二 令 关于 的二次方程 32 5 2 x x yx 有实数根 0352 2 yxyx 22 245 y 2 4 24 25 0 2 yy 解法三解法三 令 对应 于是 2 2 2 3 ttgtx x tt t ttg tgt tgt tgt x x xf 2222 sec 1 cos sin 6 5 12 3 3 5 3 2 3 2 2 3 5 32 5 62 5 2sin 62 5 2sin 62 5 txft 二 单调函数单调函数 定义定义 3 3 设为定义在 D 上的函数 1 若f 1212 x xD xx 则称为 D 上的增函数 若 则称为 D 上 12 f xf x f 12 f xf x f 的严格增函数 2 若 则称为 D 上的减函数 若 12 f xf x f 则称为 D 上的严格减函数 12 f xf x f 例例 5 5 证明 在上是严格增函数 3 yx 证明 证明 设 21 xx 2 221 2 121 3 2 3 1 xxxxxxxx 如 0 21 xx 则 3 2 3 112 0 xxxx 如 12 0 x x 则 2233 112212 0 xx xxxx 故 0 3 2 3 1 xx 即得证 例例 6 6 讨论函数在上的单调性 yx R 当时 有 但此函数在上的不是严 12 x xR 12 xx 12 xx R 格增函数 注注 1 单调性与所讨论的区间有关 在定义域的某些部分 可能单调 也可能不单调 所以要会求出给定函数的单调区间 f 2 严格单调函数的几何意义 其图象无自交点或无平行于 轴的部分 更准确地讲 严格单调函数的图象与任一平行于 轴的xx 直线至多有一个交点 这一特征保证了它必有反函数 总结得下面的结论 定理定理 1 1 设为严格增 减 函数 则必有反函数 yf x xD f 且在其定义域上也是严格增 减 函数 1 f 1 f f D 证明 设在上严格增函数 对 下fD yf DxDf xy 一一 面证明这样的 只有一个 事实上 对于内任一由于在上xD 1 xx fD 严格增函数 当时 当时 总之 1 xx 1 f xy 1 xx 1 f xy 1 f xy 即 从而 yf DxDf xy 一一一一一一一一一一 例例 7 7 讨论函数在上反函数的存在性 如果 2 yx 在上不存在反函数 在的子区间上存在反函数 2 yx 否 结论结论 函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关 例例 8 8 证明 当时在 上严格增 当时在上严 x ya 1a 01a R 格递减 三 奇函数和偶函数三 奇函数和偶函数 定义定义 4 4 设 D 为对称于原点的数集 为定义在 D 上的函数 若f 对每一个有 1 则称为 D 上的奇函数 2 xD fxf x f 则称为 D 上的偶函数 fxf x f 注注 1 从函数图形上看 奇函数的图象关于原点对称 中心 对称 偶函数的图象关于轴对称 y 2 奇偶性的前提是定义域对称 因此没有必 0 1 f xx x 要讨论奇偶性 3 从奇偶性角度对函数分类 奇函数 y si nx 偶函数 y sgnx 非奇非偶函数 y si nx cosx 既奇又偶函数 y0 4 由于奇偶函数对称性的特点 研究奇偶函数性质时 只须 讨论原点的左边或右边即可四 周期函数四 周期函数 1 定义 设为定义在数集 D 上的函数 若存在 使得对一切f0 有 则称为周期函数 称为的一个周期 xD f xf x f f 2 几点说明 1 若是的周期 则也是的周期 所以周期若 f nnN f 存在 则不唯一 如 因此有如下 基本周期 的sin 2 4 yx 说法 即若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期 则称此f 最小周期为的 基本周期 简称 周期 如 周期为 fsinyx 2 2 任给一个函数不一定存在周期 既使存在周期也不一定有 基本周期 如 1 不是周期函数 2 为常数 1yx yC 任何正数都是它的周期 第二章数列极限第二章数列极限 引引 言言 为了掌握变量的变化规律 往往需要从它的变化过程来判断它 的变化趋势 例如有这么一个变量 它开始是 1 然后为 如此 一直无尽地变下去 虽然无尽止 但它的变化 1 1 11 2 3 4n 有一个趋势 这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零 我们 就说 这个变量的极限为 0 在高等数学中 有很多重要的概念和方法都和极限有关 如导数 微分 积分 级数等 并且在实际问题中极限也占有重要的地位 例如求圆的面积和圆周长 已知 但这两个公式从 2 2Srlr 何而来 要知道 获得这些结果并不容易 人们最初只知道求多边形的面 积和求直线段的长度 然而 要定义这种从多边形到圆的过渡就要求 人们在观念上 在思考方法上来一个突破 问题的困难何在 多边形的面积其所以为好求 是因为它的周界 是一些直线段 我们可以把它分解为许多三角形 而圆呢 周界处处 是弯曲的 困难就在这个 曲 字上面 在这里我们面临着 曲 与 直 这样一对矛盾 辩证唯物主义认为 在一定条件下 曲与直的矛盾可以相互转化 整 个圆周是曲的 每一小段圆弧却可以近似看成是直的 就是说 在 很小的一段上可以近似地 以直代曲 即以弦代替圆弧 按照这种辩证思想 我们把圆周分成许多的小段 比方说 分成 个等长的小段 代替圆而先考虑其内接正 边形 易知 正 边形周nnn 长为 2sin n lnR n 显然 这个不会等于 然而 从几何直观上可以看出 只要正 n ll 边形的边数不断增加 这些正多边形的周长将随着边数的增加而不n 断地接近于圆周长 越大 近似程度越高 n 但是 不论 多么大 这样算出来的总还只是多边形的周长 无n 论如何它只是周长的近似值 而不是精确值 问题并没有最后解决 为了从近似值过渡到精确值 我们自然让 无限地增大 记为n 直观上很明显 当时 记成 极限思n n n ll lim n n ll 想 即圆周长是其内接正多边形周长的极限 这种方法是我国刘微 张晋 早在第 3 世纪就提出来了 称为 割圆术 其方法就是 无限分割 以直代曲 其思想在于 极限 除之以外 象曲边梯形面积的计算均源于 极限 思想 所以 我们有必要对极限作深入研究 1 1 数列极限的概念数列极限的概念 教学目的教学目的 使学生建立起数列极限的准确概念 会用数列极限的定 义证明数列极限等有关命题 教学要求教学要求 使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念 深N 刻理解数列发散 单调 有界和无穷小数列等有关概念 会应用数列极限的定义证明数列的有关命题 并能N 运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈N 述 教学重点教学重点 数列极限的概念 教学难点教学难点 数列极限的定义及其应用 N 教学方法教学方法 讲授为主 教学程序教学程序 一 什么是数列一 什么是数列 1 数列的定义数列的定义 数列就是 一列数 但这 一列数 并不是任意的一列数 而 是有一定的规律 有一定次序性 具体讲数列可定义如下 若函数的定义域为全体正整数集合 则称为数列 fN fNR 注 1 根据函数的记号 数列也可记为 f n nN 2 记 则数列就可写作为 简记 n f na f n 12 n a aa 为 即 n a n f nnNa 3 不严格的说法 说是一个数列 f n 2 数列的例子数列的例子 1 2 1 11 1 1 23 4 n n 1111 1 2 1 1 1 435n 3 4 2 1 4 9 16 25 n 1 1 1 2 0 2 0 2 n 二 什么是数列极限二 什么是数列极限 1 引言 对于这个问题 先看一个例子 古代哲学家庄周所著的 庄子 天下篇 引用过一句话 一尺之棰 日取其半 万世不竭 把每 天截下的部分的长度列出如下 单位为尺 第 1 天截下 1 2 第 2 天截下 2 1 11 2 22 第 3 天截下 23 111 2 22 第 天截下 n 1 111 2 22 nn 得到一个数列 23 1111 2 222n 不难看出 数列的通项随着 的无限增大而无限地接近 1 2n 1 2n n 于零 一般地说 对于数列 若当 无限增大时 能无限地接近 n an n a 某一个常数 则称此数列为收敛数列 常数 称为它的极限 不具aa 有这种特性的数列就不是收敛的数列 或称为发散数列 据此可以说 数列是收敛数列 0 是它的极限 1 2n 数列都是发散的数列 21 1 1 nn 需要提出的是 上面关于 收敛数列 的说法 并不是严格的定 义 而仅是一种 描述性 的说法 如何用数学语言把它精确地定 义下来 还有待进一步分析 以为例 可观察出该数列具以下特性 1 1 n 随着 的无限增大 无限地接近于 1随着 的无限增大 n 1 1 n a n n 与 1 的距离无限减少随着 的无限增大 无限减少 1 1 n n 1 11 n 会任意小 只要 充分大 1 11 n n 如 要使 只要即可 1 11 0 1 n 10n 要使 只要即可 1 11 0 01 n 100n 任给无论多么小的正数 都会存在数列的一项 从该项之 N a 后 即 当时 nN 1 11 n 0 N nN 1 11 n 如何找 如何找 或存在吗 解上面的数学式子即得 N 1 n 取即可 这样当时 1 1N 0 nN 111 11 nnN 综上所述 数列的通项随 的无限增大 无限接 1 1 n 1 1 n n 1 1 n 近于 1 即是对任意给定正数 总存在正整数 当时 有 NnN 此即以 1 为极限的精确定义 记作 1 11 n 1 1 n 或 1 lim 11 n n 1 11n n 2 数列极限的定义 定义定义 1 1 设为数列 为实数 若对任给的正数 总存在正整 n aa 数 使得当时有 则称数列收敛于 实数 称为NnN n aa n aaa 数列的极限 并记作或 n alim n n aa n aa n 读作 当 趋于无穷大时 的极限等于 或趋于 由于 限n n aa n aan 于取正整数 所以在数列极限的记号中把写成 即n n 或 lim n n aa n aa n 若数列没有极限 则称不收敛 或称为发散数列 n a n a n a 问题问题 如何表述没有极限 n a 3 举例说明如何用定义来验证数列极限N 例例 1 1 证明 1 lim0 0 p n p n 证明证明 不妨设 要使 0 N 时 有 0 1 p n 1 p n p P 1 2 1 1 1 例例 2 2 求证 10 0lim qq n n 证明证明 0 不妨设1 要使 nn qq0 只要 lglg qn 注意这里 0lg 0lg q 只要 q n lg lg 取 q N lg lg 则当 Nn 时 就有 0 n q 即 0lim n n q 例例 3 3 求证 0 1lim aa n n 证法证法 1 1 先设1 a 0 要使 11 nn aa 只要 1 n a 只要 1 lglg 1 a n 只要 1lg lg a n 取 1lg lg a N 当 Nn 时 就有 1 n a 即 1lim n n a 对10 a 令 a b 1 则 1 lim 1 lim n n n n b a 证法证法 2 2 令 n n ha 1 则 n n nn n n hnhhnha 1 1 n a hn 0 0 要使 n n ha1 只要 n a 取 a N 只要Nn 就有 1 n a 即 1lim n n a 例例 4 4 证 1 0 lim a n a n n 证明证明 因为 1 21 a a c n a c n a a a n a a a a aaa n a aan 0 要使 0 n a n a nn 只要 n ac 取 ac N 则只要 Nn 就有 0 n a n 即 0 lim n an n 例例 5 5 0 4 lim 2 n n n 证明证明 nnn nnnnn n33 3 2 1 3 2 1 31 31 4 32 3 3 3 2 1 3 n nnn 注意到对任何正整数时有 就有knk2 2 n kn 2 1 27 6 2 1 27 6 4 0 4 22 n n nn n nnn nn 11 27 24 27 46 2 nnn n 于是 对 取 0 1 4 max N 例例 6 6 1 1lim aa n n 证法一证法一 令 有 用 Bernoulli 不等式 有 1 n n a 0 n 或 1 11 1 1 n n n n anna 1 10 1 n a n a a n 证法二证法二 用均值不等式 n n n aa 个1 1110 1 1 1 1 n a n a n na 例例 7 7 1 lim n n n 证一 证一 时 2 n 222 1 22 11 10 2 nn n n nn nnn nnn 证二 证二 2 1 2 1 11 nnnnn n nn nnn 二项式展开 1 2 1 n n n 因此 0 取 1 2 2 N 则当 Nn 时就有 10 n n 即 附 附 此题请注意以下的错误做法 1 1 11 nnn nnnn nn n n n 1 1 1 1 n 1 1 1 1 n 注意 n 1 1 不趋于零 例例 8 8 证明 3 4 3 lim 2 2 n n n 证明 证明 由于 nnn n12 4 12 3 4 3 22 2 3 n 因此 0 只要取 n 12 便有 3 4 3 2 2 n n 由于 式是在 3 n 的条件下成立的 故应取 12 3max N 当 Nn 时就有 3 4 3 2 2 n n 即 3 4 3 lim 2 2 n n n 总结总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式 关 键的追求有两点 一是把隐性表达式变成显性表达式 在重锁迷雾 中看清庐山真面目 二是抓住主要矛盾 舍去次要矛盾 要取舍合 理 不能放大得过份 4 关于数列的极限的定义的几点说明N 1 关于 的任意性 定义 1 中的正数 的作用在于衡量 数列通项与常数 的接近程度 越小 表示接近得越好 而正数 n aa 可以任意小 说明与常数 可以接近到任何程度 的暂时固 n aa 定性 尽管 有其任意性 但一经给出 就暂时地被确定下来 以便 依靠它来求出 的多值性 既是任意小的正数 那么N 等等 同样也是任意小的正数 因此定义 1 中的不等式 2 3 2 中的 可用等来代替 从而 可用 n aa 2 3 2 n aa 代替 正由于 是任意小正数 我们可以限定 小于一 n aa 个确定的正数 2 关于 相应性 一般地 随 的变小而变大 因此NN 常把定作 来强调是依赖于 的 一经给定 就可以找到N N N 一个 多值性 的相应性并不意味着是由 唯一确定的 NNNN 因为对给定的 若时能使得当时 有 则 100N nN n aa 或更大的数时此不等式自然成立 所以不是唯一的 事实上 101N N 在许多场合下 最重要的是的存在性 而不是它的值有多大 基于N 此 在实际使用中的也不必限于自然数 只要是正数即可 而NN 且把 改为 也无妨 nN nN 3 数列极限的几何理解 在定义 1 中 当时有nN 当时有 当时有 n aa nN n aaa nN 所有下标大于的项都落在邻域 n aaaU a N n a 内 而在之外