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第4节无穷小与无穷大无穷小的比较 一 无穷小二 无穷大三 无穷小的比较 1 定义1 12若函数在自变量的某个变化过程中以零为极限 则称在该变化过程中 为无穷小量 简称无穷小 2 4 1无穷小 例如 当时 是无穷小量 当时 是无穷小量当时 是无穷小量 我们经常用希腊字母 来表示无穷小量 注意 1 无穷小是以零为极限的变量 常数中只有零是无穷小 2 无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的 例如 当时 为无穷小 当时 就不是无穷小 定理1 2函数以为极限的充分必要条件是 可以表示为与一个无穷小量之和 即 其中 无穷小的代数性质 性质1无限个无穷小之和仍是无穷小 性质2有界变量与无穷小之积仍是无穷小 推论1常数与无穷小之积是无穷小 推论2有限个无穷小之积是无穷小 定义1 10如果 或 时 相应的函数值的绝对值无限增大 则称当 或 时为无穷大量 简称无穷大 2 4 2无穷大 如果函数当时为无穷大 按通常意义来说 极限是不存在的 但为了便于叙述 我们也说 函数的极限是无穷大 并记为 而且 把正值的无穷大叫做正无穷大 把负值的无穷大叫做负无穷大 分别记为 例如 1 无穷大是个变量 不是常数 2 无穷大总和自变量的变化趋势相关联 注意 时 时 是无穷小 例1 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷小和无穷大 解 时 时 是无穷小 时 时 是无穷大 解 时 时 是无穷大 时 时 是无穷大 解 时 所以时 是无穷小 时 所以时 是正无穷大 练习一 1 下列函数中哪些是无穷小 哪些是是无穷大 是无穷大 是无穷小 是无穷大 是无穷小 是无穷大 是无穷小 是无穷小 是无穷大 解因为 所以是有界变量 例2求 当时 是无穷小量 根据性质1 2 乘积是无穷小量 即 练习 求下列函数的极限 2 4 3无穷小的比较 定义1 14设 是同一变化过程中的两个无穷小量 2 若 是不等于零的常数 则称与是同阶无穷小量 若 则称与是等价无穷小量 1 若 则称是比高阶的无穷小量 也称是比低阶的无穷小量 关于等价无穷小 有下面重要的性质 定理4 4设 且存在 则证明 21 在求极限时 利用定理 分子分母的无穷小因子可用其等价无穷小替换 使计算简化
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