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第四讲曲面及其方程 曲面及其方程 一 曲面方程的概念二 旋转曲面三 柱面四 二次曲面 曲面及其方程 一 曲面方程的概念二 旋转曲面三 柱面四 二次曲面 如果曲面S与方程F x y z 0有下述关系 1 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程 则F x y z 0叫做曲面S的方程 曲面S叫做方程F x y z 0的图形 两个基本问题 1 已知一曲面作为点的几何轨迹时 2 不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 求曲面方程 2 已知方程时 研究它所表示的几何形状 必要时需作图 概念 例1 例2 例3 曲面及其方程 一 曲面方程的概念二 旋转曲面三 柱面四 二次曲面 曲面及其方程 一 曲面方程的概念二 旋转曲面三 柱面四 二次曲面 一条平面曲线绕其平面上 所形成的曲面 旋转曲线 概念 母线 定直线 轴 一条定直线旋转一周 旋转曲面的方程 给定yoz面上曲线C 在曲线C上任取一点M1 0 y1 z1 f y1 z1 0 曲线C绕z轴旋转 M x y z z坐标不变 z z1 点M到z轴的距离不变 当曲线C f y z 0绕y轴旋转 方程为 方程的特点 z不变 y变为 类似地 例4 例5 注 锥面方程特征 齐次方程 绕x轴旋转 绕y轴旋转 旋转双曲面 曲面及其方程 一 曲面方程的概念二 旋转曲面三 柱面四 二次曲面 曲面及其方程 一 曲面方程的概念二 旋转曲面三 柱面四 二次曲面 方程 表示怎样的曲面 在xoy面上 表示圆C 在空间 过M1作 平行z轴的直线l 表示 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足方程 引例 分析 沿曲线C平行z轴的直线形成的曲面 方程 表示怎样的曲面 在xoy面上 表示圆C 在空间 过M1作 平行z轴的直线l 表示 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足方程 引例 分析 沿曲线C平行z轴的直线形成的曲面 平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹 叫做柱面 C叫做准线 l叫做母线 概念 圆柱面 准线 xoy面上的圆 母线 平行于z轴 抛物柱面 母线平行于z轴 准线为xoy面上的抛物线 母线平行于z轴 方程特点 椭圆柱面 方程中缺少坐标 缺少哪个坐标 母线平行哪一坐标轴 准线为xoy面上的椭圆 平面 母线平行于z轴 准线为xoy面上的直线 一般地 在空间 柱面 柱面 平行于x轴 平行于y轴 平行于z轴 准线xoz面上的曲线l3 母线 柱面 准线xoy面上的曲线l1 母线 准线yoz面上的曲线l2 母线 曲面及其方程 一 曲面方程的概念二 旋转曲面三 柱面四 二次曲面 曲面及其方程 一 曲面方程的概念二 旋转曲面三 柱面四 二次曲面 三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法 二次曲面的基本类型 椭球面 抛物面 双曲面 锥面 的图形通常为二次曲面 二次项系数不全为0 截痕法 1 椭圆锥面 椭圆 在平面x 0或y 0上的截痕为过原点的两直线 可以证明 椭圆 上任一点与原点的连线均在曲面上 2 椭球面 1 范围 2 在垂直坐标面的平面上的截痕 椭圆 3 当a b时为旋转椭球面 当a b c时为球面 3 双曲面 1 单叶双曲面 椭圆 时 截痕为 实轴平行于x轴 虚轴平行于z轴 平面 上的截痕情况 双曲线 虚轴平行于x轴 时 截痕为 时 截痕为 实轴平行于z轴 相交直线 双曲线 2 双叶双曲面 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别