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课题引入 国际象棋大师起源于古代印度 相传国王要奖赏国际象棋的发明者 问他要什么 发明者说 请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒 第二个格子里放上2颗麦粒 第三个格子里放上4颗麦粒 以此类推 每个格子里的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍 直到第64个格子 请给我足够的麦粒以实现上述要求 国王觉得这个要求不高 就欣然同意了 假定千颗麦粒的质量为40g 据查 目前世界年度小麦产量为6亿吨 但不能满足发明者要求 这就是指数增长 6 指数函数 幂函数 对数函数增长的比较 一 提出问题 1 在区间 0 上判断y log2x y 2x y x2的单调性 在区间 0 上函数y log2x y 2x y x2均为单调增函数 2 列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像 3 结合函数的图像找出其交点坐标 从图像看出y log2x的图像与另外两函数的图像没有交点 且总在另外两函数图像的下方 y x2的图像与y 2x的图像有两个交点 2 4 和 4 16 4 根据图像 分别写出使不等式log2x 2x x2和log2x x2 2x成立的自变量x的取值范围 使不等式log2x 2x x2的x取值范围是 2 4 使不等式log2x x2 2x的x取值范围是 0 2 4 5 由以上问题你能得出怎样的结论 一般地 对于指数函数y ax a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上 无论n比a大多少 尽管在x的一定变化范围内 ax会小于xn 但由于ax的增长快于xn的增长 因此总存在一个x0 当x x0时 必有ax xn 对于对数函数y logax a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上 随着x的增大 logax增长的越来越慢 图像就像是渐渐地与x轴平行一样 尽管在x的一定变化范围内 logax可能会大于xn 但由于logax的增长慢于xn的增长 因此总存在一个x0 当x x0时 必有logax xn 抽象概括 尽管对数函数y logax a 1 指数函数y ax a 1 与幂函数y xn n 0 在区间 0 上都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 因此总会存在一个x0 当x x0时 必有logax0 增长快于对数函数y logax a 1 增长 但它们与指数增长比起来相差甚远 因此指数增长又称 指
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