2019_2020学年高中数学第2章概率2.5.1离散型随机变量的均值讲义苏教版.docx

2.5.1离散型随机变量的均值学 习 目 标核 心 素 养1.了解取有限值的离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值(重点、难点)2掌握随机变量均值的线性性质及两点分布、超几何分布和二项分布的均值公式(重点)3能运用离散型随机变量的均值来解决一些简单的实际问题(重点)1.经历概念构建，提升逻辑推理素养2借助实际应用，培养数学抽象素养.1离散型随机变量的均值(数学期望)的定义若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2xnPp1p2pn则称x1p1x2p2xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或，即E(X)x1p1x2p2xnpn，其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi0，i1,2，n，p1p2pn1.2超几何分布、二项分布的数学期望(1)超几何分布：若XH(n，M，N)，则E(X).(2)二项分布：若XB(n，p)，则E(X)np.思考1：离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？提示区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化；联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值思考2：随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其值随X的变化而变化吗？提示随机变量的均值是常数，其值不随X的变化而变化1现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为()A1.18B3.55C1.23D2.38A因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，P(X1.2)，P(X1.18)，P(X1.17)，所以X的概率分布列为X1.21.181.17P则E(X)1.21.181.171.18.2已知离散型随机变量X的分布列为：X123P则X的数学期望E(X)_.E(X)123.3若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为_E(X)np4.两点分布、二项分布、超几何分布的期望【例1】(1)老师把4本不同的数学参考书和2本不同的英语参考书发给甲、乙两位同学，每人3本，假设老师拿每本书是随机的，用随机变量X表示同学甲得到的英语书的本数，则X的数学期望为_(2)某运动员投篮命中率为p0.6.求投篮1次时命中次数X的数学期望求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望(1)1这是一个超几何分布问题，实际上是从6本书(其中英语书有2本)中取3本的问题法一：依题意知，X的可能取值为0,1,2，且P(Xk)，k0,1,2，故X的分布列如表所示X012P从而E(X)0121.法二：依其数学模型知，X服从超几何分布，且n3，M2，N6，则E(X)1.(2)解投篮1次，命中次数X的分布列如表：X01p0.40.6则F(X)p0.6.由题意得，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即YB(5,0.6)，则E(Y)np50.63.1(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数的数学期望解重复投篮10次，命中次数服从二项分布，即B(10，0.6)E()100.66.2(变设问)重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量5Y2，求E()解E()E(5Y2)5E(Y)253217.1通过本例可以看出，若随机变量服从超几何分布或二项分布，利用各自的数学期望公式求均值更方便2超几何分布、二项分布的数学期望的求法步骤：(1)判断随机变量是否服从超几何分布或二项分布；(2)找出相应的参数；(3)利用数学期望公式求E(X)定义法求离散型随机变量的数学期望【例2】盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)思路探究(1)利用古典概型求解(2)先写出X的可能取值，计算出概率并列出概率分布，利用数学期望定义求解解(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.X4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X4)；X3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X3)；于是P(X2)1P(X3)P(X4)1.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P因此随机变量X的数学期望E(X)234.1求解本题的关键是明确随机变量X的含义，同时计算P(X2)时采用了间接法2定义法求数学期望的步骤：(1)确定随机变量的取值；(2)求随机变量的概率分布；(3)根据E(X)x1p1x2p2xnpn求数学期望E(X)1盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值解X可取的值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次数X的分布列为X123PE(X)123.离散型随机变量的均值实际应用探究问题1某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？提示随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X0)0.3，P(X1)0.7.2在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？提示每次平均得分为0.8.3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？提示在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为00.310.70.7(分)因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数【例3】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？思路探究 解(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列为：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)依题意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%.1实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计2概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论2甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)解(1)由图乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35.所以P(X乙8)10.20.20.350.25.同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲10)10.20.150.30.35.P(X甲9)0.30.350.65.(2)因为E(X甲)70.280.1590.3100.358.8，E(X乙)70.280.2590.2100.358.7，则有E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高1本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用2要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论(1)E(C)C(C为常数)；(2)E(aX1bX2)aE(X1)bE(X2)；(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1X2)E(X1)E(X2).1随机变量X的分布列为X123P0.20.5m则X的均值是()A2B2.1C2.3D随m的变化而变化B因为0.20.5m1，所以m0.3，所以E(X)10.220.530.32.1.2某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数为X，则E(2X1)等于()A. B.C.3 D.D由题可知，X服从二项分布，即XB，所以E(X)，所以E(2X1)2E(X)121.3某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，则y的值为_0.4依题意得即解得y0.4.4设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3)又X的均值E(X)3，则ab_.P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，E(X)1(ab)2(2ab)3(3ab)