力系的简化.ppt

第一篇 静力学 理论力学 静力学主要研究 力系的简化和力系的平衡条件及其应用 引言 静力学 是研究物体在力系作用下平衡规律的科学 第一章力系的简化 理论力学 1 1静力学基本概念与静力学公理 1 2力的投影 力矩与力偶 1 3力系的简化 1 4约束与约束反力 1 5物体的受力分析 1 6重心与形心 第一章力系的简化 4 力的单位 国际单位制 牛顿 N 千牛顿 kN 静力学 1 1静力学基本概念与静力学公理 一 静力学基本概念 1 定义 力是物体间的相互机械作用 这种作用可以改变物体的运动状态 2 力的效应 运动效应 外效应 变形效应 内效应 3 力的三要素 大小 方向 作用点 1 力的概念 静力学 平衡力系 物体在力系作用下处于平衡 指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态 2 刚体 在力的作用下 大小和形状都不变的物体 3 平衡 力系 是指作用在物体上的一群力 力系的分类 1 按力的作用线的空间位置 平面 空间2 按力的作用线的相对位置 汇交 平行 一般 静力学 二 静力学公理 公理 是人类经过长期实践和经验而得到的结论 它被反复的实践所验证 是无须证明而为人们所公认的结论 公理1二力平衡公理 作用于刚体上的两个力 使刚体平衡的必要与充分条件是 这两个力大小相等 F1 F2 方向相反F1 F2作用线共线 作用于同一个物体上 静力学 说明 对刚体来说 上面的条件是充要的 二力体 只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体 对变形体来说 上面的条件只是必要条件 或多体中 二力杆 静力学 在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系 并不改变原力系对刚体的作用 推论1 力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点 而不改变该力对刚体的效应 因此 对刚体来说 力作用三要素为 大小 方向 作用线 公理2加减平衡力系原理 必须注意 力的可传性只能用于单个刚体 如果将其用于刚体系统 则会改变刚体的受力 静力学 公理3力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力 此合力也作用于该点 合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示 力多边形 静力学 刚体受三力作用而平衡 若其中两力作用线汇交于一点 则另一力的作用线必汇交于同一点 且三力的作用线共面 必共面 在特殊情况下 力在无穷远处汇交 平行力系 推论2 三力平衡汇交定理 静力学 公理4作用力和反作用力定律 等值 反向 共线 异体 且同时存在 例 吊灯 静力学 公理5刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡 如将此变形体变成刚体 刚化为刚体 则平衡状态保持不变 公理5告诉我们 处于平衡状态的变形体 可用刚体静力学的平衡理论 静力学 1 2力的投影 力矩与力偶 静力学 2 一次投影法 直接投影法 由图可知 3 二次投影法 间接投影法 当力与各轴正向夹角不易确定时 可先将F投影到xy面上 然后再投影到x y轴上 即 静力学 4 力沿坐标轴分解 若以表示力沿直角坐标轴的正交分量 则 而 所以 静力学 力在坐标轴上的投影 X Fx F cosa Y Fy F sina F cosb 平面问题 注意 只有在直角坐标系内才有力在坐标轴上的投影与力在坐标轴方向的分量相等 静力学 5 合力投影定理 合力FR作用点仍为A点 且FR F1 F2 F3 Fn 静力学 合力投影定理 合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和 这就是合力投影定理 解 建立坐标系如图所示 三个力在坐标轴上的投影分别为 例1固定在墙内的螺钉上作用有三个力如图 已知F1 3kN F2 4kN F3 5kN 求三个力的合力 合力FR在坐标轴上的投影为 合力FR的大小 合力FR的方向 解 力多边形法 几何法 三力构成平面汇交力系 按比例作出三力首尾相连 连接第一个力矢的首端到第三个力矢的尾端得三个力的合力矢FR 量得合力矢的大小为FR 8 3kN 与水平线偏角 3 5o 课堂练习 铆接薄板在孔心A B C处受三力作用 如图所示 F1 100N 沿铅直方向 F3 50N 沿水平方向 并通过点A F2 50N 力的作用线也通过A点 尺寸如图 求此力系的合力 答案 FR 161 2N FR F1 29 44 静力学 二 力对点的矩 在平面中 力对点的矩是代数量 在空间中 力对点的矩是矢量 例 汽车反镜的球铰链 是代数量 当F 0或d 0时 0 是影响转动的独立因素 2 AOB F d 2倍 形面积 静力学 平面问题中 力对点的矩 说明 F d 转动效应明显 单位N m 工程单位kgf m 静力学 1 力对点的矩的矢量表示 空间问题 即 力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积 静力学 如果r表示A点的矢径 则 力对点之矩矢服从矢量合成法则 力系对刚体产生的绕点的转动效应可用点的一个矩矢度量 2 合力矩定理 表明 合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和 这就是合力矩定理 即 例2 图中A点作用三个与坐标轴方位一致的分力 试求其合力对原点O点的力矩 答案 例3 求图所示力F对A点之矩 解 将力F分解两垂直的力Fx Fy 由合力矩定理可得 用合力矩定理求力对点的矩 静力学 课堂练习试计算下列各图中力P对点O的矩 静力学 3 力对轴的矩 结论 力对 它的轴的矩为零 即力F与轴共面时 力对轴之矩为零 证 静力学 力对 它的轴的矩为零 即力F与轴共面时 力对轴之矩为零 静力学 即 4 力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 证 通过O点作任一轴Z 则 由几何关系 所以 静力学 定理 力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩 又由于 所以力对点O的矩为 静力学 例4已知 P 2000N C点在Oxy平面内求 力P对点O的矩 静力学 解 将力向坐标轴方向分解 类似二次投影法 静力学 求力对轴的矩 解 由于力对OD之力臂不是很明了 故先求出力对O点之矩矢 再将其投影到OD上去 MO F OD MOD F MO F 0 4 10i 4ikN m MOD F MO F 4 0 371 1 484kN m 例5试求力F对OD之矩 F 10kN 三 力偶 力偶 由两个大小相等 作用线不重合的反向平行力构成的力系 静力学 1 平面力偶及其性质 性质1 力偶既没有合力 本身又不平衡 是一个基本力学量 性质2 力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩 而与矩心的位置无关 因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量 d 说明 m是代数量 有 F d都不独立 只有力偶矩是独立量 m的值m 2 ABC 单位 N m 静力学 由于O点是任取的 d 静力学 性质3 平面力偶等效定理作用在同一平面内的两个力偶 只要它的力偶矩的大小相等 转向相同 则该两个力偶彼此等效 证 设物体的某一平面上作用一力偶 F F 现沿力偶臂AB方向加一对平衡力 Q Q Q F 合成R 再将Q F合成R 得到新力偶 R R 静力学 只要保持力偶矩大小和转向不变 可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短 而不改变它对刚体的作用效应 可改装 由上述证明可得下列两个推论 比较 F F 和 R R 可得 m F F 2 ABD m R R 2 ABC 力偶可以在其作用面内任意移动 而不影响它对刚体的作用效应 可移动 力偶不能与一个力等效 力偶不能与一个力平衡 静力学 力偶的转向为右手螺旋定则 从力偶矢末端看去 逆时针转动为正 空间力偶是一个自由矢量 2 空间力偶 证 作II cd ab 作一对平衡力R R 在E点 且使 R R 由反向平行力合成得 F1与R合成得F2 作用在d点F1 与R 合成得F2 作用在c点且R F1 F2 R F1 F2 在I内的力偶 F1 F1 等效变成II内的 F2 F2 静力学 2 空间力偶的等效定理作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶 若它们的转向相同 力偶矩的大小相等 则两个力偶等效 静力学 由此可得出 空间力偶矩是自由矢量 它有三个要素 力偶矩的大小 力偶矩的方向 与力偶作用面法线方向相同 转向 遵循右手螺旋规则 静力学 3 空间力偶的性质 性质1 力偶中的两力对任意点的力矩之和等于力偶矩矢 MO F MO rA F rB rA F rB rA rB F rBA F M 性质2只要保持力偶矩的大小和转向不变 力偶可以在其作用面内改变力的作用点 方向 并调节力和力偶臂的大小 性质3只要力偶矩的大小和转向不变 力偶可从一个平面移至刚体内另一个平行的平面内 工程实际问题中 物体受到各种不同的力作用 在这些力所组成的力系中 各力作用线的分布情况也不相同 为了便于分析和掌握 可将力系分为特殊力系和一般力系 分别研究其简化方法 1 3力系的简化 一 特殊力系的简化 包括汇交力系 力偶系和平行力系 1 汇交力系 FR F1 F2 F3 Fn 根据合力投影定理有 2 力偶系 M M1 M2 Mn 平面问题各力偶矩矢共线 用代数量表示即可 则合力偶矩成为各分力偶矩的代数和 即M M1 M2 Mn 例6 已知N 力偶臂mm N 力偶臂mm N 力偶臂mm 求三力偶的合力偶矩 解 三力偶矩的大小 合力偶对x y z轴的矩 例7 图示曲杆上作用两个力偶 试求其合力偶 若令此合力偶的两力分别作用在A B两点 问这两力的方向应该怎样才能使力为最小 m1 50 0 2 10Nm m2 150 0 4cos45 42 42Nmm1 m2 32 42Nm 答案 32 42N m 顺转 力线 AB 3 平行力系 a 两平行力的合成 FR F1 F2 b 平行力系的合成 FR F1 F2 F3 Fn 将力系中的力两两合成 最终的结果为一合力 合力的作用线与力系中各力的作用线平行 大小为 合力的作用点的位置 引入各力的作用线方向的单位矢量e 则 即 所以 或 点C称为平行力系中心 投影到三个坐标轴上 例8水平梁AB受按三角形分布的载荷作用 载荷的最大值为q 梁的长度为l 试求该分布力系的合力大小及作用线的位置 解 将分布力系看成是由无数个微小平行力构成 设合力作用线距A端的距离为h 由合力矩定理 三角形分布载荷的大小等于分布载荷的最大值与分布载荷作用长度乘积的二分之一 合力作用线通过该三角形的几何中心 课堂练习 求分布力系的合力 二 任意力系的简化 1 力线平移定理 力线平移定理 作用在刚体上的力可以平移到任一点 但必须附加一个力偶 其力偶矩矢等于原力对新作用点之矩 静力学 设作用在刚体上有空间一般力系 向O点简化 O点任选 2 力系向一点简化 静力学 根据力线平移定理 将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系 和附加力偶系 注意 分别是各力对O点的矩 由于空间力偶是自由矢量 总可汇交于O点 静力学 合成得即 主矢 过简化中心O 且与O点的选择无关 合成得即 主矩 与简化中心O有关 静力学 若取简化中心O点为坐标原点 则 主矢大小主矢方向根据力对点之矩与力对轴之矩的关系 则主矩大小为 主矩方向 静力学 任意力系向一点简化得一主矢和主矩 下面针对主矢 主矩的不同情况分别加以讨论 3 任意力系简化结果的讨论 1 若 则该力系平衡 下节专门讨论 2 若则力系可合成一个合力偶 其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO 此时主矩与简化中心的位置无关 3 若则力系可合成为一个合力 主矢等于原力系合力矢 合力通过简化中心O点 此时与简化中心有关 换个简化中心 主矩不为零 静力学 4 若此时分两种情况讨论 即 静力学 若时 为力螺旋的情形 新概念 又移动又转动 例 拧螺丝 炮弹出膛时炮弹螺线 R 不平行也不垂直M0 最一般的成任意角 在此种情况下 首先把MO分解为M 和M 将M 和M 分别按 处理 静力学 M 使主矢R 搬家 搬家的矩离 所以在O 点处形成一个力螺旋 因为M 是自由矢量 可将M 搬到O 处 M 不变 静力学 注意 力系简化中的不变量 不随简化中心改变 有 R M 简化中心为O时 为M 当简化中心为O 时 为M 但M 总是不变的 它是原力系中的力偶与简化中心无关 静力学 空间力系向O点简化后得主矢R 和主矩MO 若MO R 可进一步合成为一个作用在新简化中心O 点的合力R 任意力系的合力矩定理 静力学 力线平移定理 可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一点B 但必须同时附加一个力偶 这个力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩 平面问题 静力学 一般力系 任意力系 2 力系向一点简化 向一点简化 汇交力系 力偶系 未知力系 已知力系 汇交力系 力 R 主矢 作用在简化中心 力偶系 力偶 MO 主矩 作用在该平面上 静力学 移动效应 简化中心 与简化中心位置无关 因主矢等于各力的矢量和 静力学 大小 主矩MO方向 方向规定 简化中心 与简化中心有关 因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和 转动效应 静力学 简化结果 主矢 主矩MO 下面分别讨论 0 MO 0即简化结果为一合力偶 MO M此时刚体等效于只有一个力偶的作用 因为力偶可以在刚体平面内任意移动 故这时 主矩与简化中心O无关 0 MO 0 则力系平衡 下节专门讨论 3 任意力系简化结果的讨论 0 MO 0 即简化为一个作用于简化中心的合力 这时 简化结果就是合力 这个力系的合力 此时与简化中心有关 换个简化中心 主矩不为零 静力学 0 MO 0 为最一般的情况 此种情况还可以继续简化为一个合力 合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置 静力学 结论 平面任意力系的简化结果 合力偶MO 合力合力矩定理 由于主矩 而合力对O点的矩 合力矩定理 由于简化中心是任意选取的 故此式有普遍意义 即 平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和 静力学 例9重力坝受力情形如图所示 设P1 450kN P2 200kN F1 300kN F2 70kN 求力系的合力FR的大小和方向余弦 合力与基线OA的交点到点O的距离x 以及合力作用线方程 静力学 解 1 先将力系向点O简化 求得其主矢和主矩M0 由图a 有 静力学 主矢在x y轴上的投影为 故主矢在第四象限内 与x轴的夹角为 力系对点O的主矩为 kNm 静力学 2 合力FR的大小和方向与主矢相同 其作用线位置的x值可根据合力矩定理求得 图c 即 其中 故 m 3 合力作用线方程670 1x 232 9y 2355 0 答案 R 466 N d 4 59 cm 课堂练习 将图示平面一般力系向点O简化 并求力系的合力及其与原点O的距离d 其中各力的大小为P1 150 N P2 200 N P3 300 N 力偶臂等于80 mm 力偶的力F 200 N 静力学 约束力 约束给被约束物体的力叫约束力 1 4约束与约束力 一 概念 自由体 位移不受限制的物体叫自由体 非自由体 位移受限制的物体叫非自由体 约束 对非自由体的某些位移预先施加的限制条件称为约束 这里 约束是名词 而不是动词的约束 静力学 大小常常是未知的 方向总是与约束限制的物体的位移方向相反 作用点在物体与约束相接触的那一点 约束力特点 G 静力学 绳索类只能受拉 所以它们的约束力是作用在接触点 方向沿绳索背离物体 二 约束类型和确定约束力方向的方法 1 由柔软的绳索 链条或皮带构成的约束 皮带与皮带轮 静力学 约束力作用在接触点处 方向沿公法线 指向受力物体 2 光滑接触面的约束 光滑指摩擦不计 P N N P 静力学 3 光滑圆柱铰链约束 圆柱铰链 静力学 A A 静力学 固定铰支座 静力学 固定铰支座 静力学 活动铰支座 辊轴支座 N的实际方向也可以向下 静力学 活动铰支座 辊轴支座 静力学 4 滑槽与销钉 双面约束 静力学 5 二力杆 静力学 6 固定端 插入端 约束 在工程中常见的 雨搭 车刀 静力学 固定端 插入端 约束 说明 认为Fi这群力在同一平面内 将Fi向A点简化得一力和一力偶 RA方向不定可用正交分力YA XA表示 YA XA MA为固定端约束力 YA XA限制物体平动 MA为限制转动 静力学 1 球形铰链 三 空间约束的特点 观察物体在空间的六种 沿三轴移动和绕三轴转动 可能的运动中 有哪几种运动被约束所阻碍 有阻碍就有约束力 阻碍移动为力 阻碍转动为力偶 例 静力学 球形铰链 静力学 2 向心轴承 蝶铰链 滚珠 柱 轴承 静力学 3 滑动轴承 静力学 4 止推轴承 静力学 5 带有销子的夹板 静力学 6 空间固定端 静力学 解决力学问题时 首先要选定需要进行研究的物体 即选择研究对象 然后根据已知条件 约束类型并结合基本概念和公理分析它的受力情况 这个过程称为物体的受力分析 作用在物体上的力有 一类是 主动力 如重力 风力 气体压力等 二类是 被动力 即约束力 1 5物体的受力分析 一 受力分析 物体所受的外力包括主动力和约束力 主动力一般是已知的 如重力 风力等 约束力一般是未知的 工程结构进行受力分析的步骤 根据问题的需要 选定其中的某个构件或某几个构件的组合体作为研究对象 把它从整体中分离出来 画出其简图 称为取分离体 其次画上已知的主动力 最后逐个解除约束 代之相应的约束力 便得到表示物体受力的简图 称为受力图 二 受力图 静力学 画物体受力图主要步骤为 选研究对象 取分离体 画上主动力 画出约束反力 例1重P的匀质圆轮在边缘A点用绳系住 绳AB通过轮心C 圆轮边缘D点靠在光滑的固定曲面上 试画出圆轮的受力图 例2 在如图所示提升系统中 各构件自重不计 试分别画出BC杆 D轮 AD杆连同D轮的受力图 例3画三铰拱的受力图 P 静力学 例4画出下列各构件的受力图 静力学 静力学 例5在如图所示的结构中 A为固定端约束 C为可动铰支座 B D为铰链 E为DG杆上的销钉 可在BC杆的槽内滑动 结构在G处受一力偶M作用 各杆自重不计 各处摩擦不计 试画出杆AB BC DG 以及整个结构的受力图 解 静力学 3 画受力图应注意的问题 b 不要多画力 a 不要漏画力 静力学 d 受力图上不能再带约束 即受力图一定要画在分离体上 e 受力图上只画外力 不画内力 g 正确判断二力构件 例7如图所示 重为W的三个相同圆柱体垒在一起 试分别画出三个圆柱体的受力图 静力学 例8尖点问题 应去掉