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文档简介
成 绩中国矿业大学05级硕士研究生课程考试试卷考试科目数值分析考试时间2006年01月研究生姓名 所在院系 学号 任课教师 班级序号 中国矿业大学研究生培养管理科印制一、填空（共20分，每个空2分）1设为某个数四舍五入得到的近似值，则具有4位有效数字，其绝对误差限为，相对误差限为。2用计算机求方程的两个根，当时，为使结果更精确，应采取计算公式：，。3设是某函数以为节点的三次插值多项式，则差商。4设是线性方程组的近似解（向量），则在为非病态矩阵的情况下，残向量的范数越小，近似解的精度就越高。5设，则， ，。二、（10分） 确定常数使得迭代法局部收敛到，并有尽可能高的收敛阶，这时阶数是多少？【解】迭代函数为 首先要 为有尽可能高的收敛阶， 令 再令 解之得： ,可直接验证，所以最高的收敛阶是3阶。三、（15分） 下面两个题任选一个1设是对称正定矩阵，试推导下面Cholesky分解算法：要求的元素按行计算出来，即按的顺序计算。2设线性方程组（）的解存在且唯一，对于迭代法，如果，证明对任取的初始向量有并有如下两个估计式：和【第1题解】通过比较矩阵两边元素可得如下伪程序【第2题解】递推得，故即再由 得类似代入上式得四、（15分） 确定下面求积公式中的系数和，使其代数精度尽可能高，并判断其代数精度是多少。再根据此公式写出计算的求积公式。【解】令使公式精确成立解得：，公式为：易验上面公式对精确成立，而不精确成立，故代数精度为5次。对作变量代换：五、（15分）下面两个题任选一个1对于给定的数据对，其中互不同。（1）写出Lagrange插值多项式；（2）对于给定的写出计算函数值的算法。2试叙述区间上三次样条函数的定义，并据此定义确定出未知参数使为满足边界条件的三次样条函数。【第1题解】（1）见书（略）（2）算法（参见P74流程图）输入：和for for if end end end【第2题解】（1）定义见书略（2）在连续，在连续，由，解之：六、（15分）叙述线性最小二乘拟合问题，并证明线性最小二乘拟合问题的解必是法方程组的解。【解】（1）问题：设是观测的点列，是一给定的函数族（一般要求线性无关），要求在中找一函数（即求）：使得。（2）法方程组的推导（见书）七、（10分）下面两个题任选一个1对求解微分方程初值问题的隐式RK公式：（1）求该方法的阶；（2）讨论绝对稳定性。2设计下面Givens变换的算法，其中是Givens矩阵。【第1题解】（1）（注意到）该方法(至少)是2阶方法。（2）将代入迭
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