（浙江专用）2020版高考数学专题四大题考法课二圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题课时跟踪检测.docx

圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1(2019温州九校联考)已知离心率为的椭圆C：1(ab0)，过椭圆C上点P(2,1)作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标解：(1)依题意有解得所以椭圆C的方程为1.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，故设直线AB的方程为ykxm，由得(2k21)x24mkx2m260.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由PP0，得(x12)(x22)(y11)(y21)0，即(x12)(x22)(kx1m1)(kx2m1)0，得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)m22m50，则3m28mk4k22m10，即(3m2k1)(m2k1)0，由直线AB不过点P，知m2k10，故3m2k10.所以直线AB过定点.2已知抛物线C1：x24y的焦点为F，过抛物线C2：yx23上一点M作抛物线C2的切线l，与抛物线C1交于A，B两点(1)记直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，若k1k2，求直线l的方程；(2)是否存在正实数m，使得对任意点M，都有|AB|m(|AF|BF|)成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解：(1)设M(x0，y0)，由y3，得y，则切线l的斜率为k.切线l的方程为y(xx0)y0xy0x2y06y0，即yxy06.与x24y联立，消去y得x2x0x4y0240.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2x0，x1x24y024，则y1y2(x1x2)2y0122y0124y018，y1y2(y06)2，则由k1k2，得5y28y0230，解得y01或y0.x8(y03)0，y03，故y01，x04.则直线l的方程为yx5.(2)由(1)知直线l的方程为yxy06，且x1x2x0，x1x24y024，则|AB|x1x2|，即|AB|2(5y0)，而|AF|BF|(y11)(y21)4y0204(5y0)，则|AB|(|AF|BF|)，故存在正实数m，使得对任意点M，都有|AB|(|AF|BF|)成立3(2019嵊州高三期末)已知抛物线y22x，P(1,0)，M(0，a)，其中a0，过点M作抛物线的切线，切点为A(不同于原点O)，过点A，P作直线交抛物线于点B，过点M，P作直线交抛物线于点C，D.(1)求证：直线MA，MP的斜率之积为定值；(2)若BCD的面积为，求实数a的值解：(1)证明：设A(2m2,2m)(m0)，则kAM，所以直线AM：yxa，即x(ya)，与抛物线方程联立得y2y0，因为直线AM与抛物线相切，所以0，解得ma，所以A(2a2,2a)，所以kMAkMP，为定值(2)易得kCDkMPa，所以直线CD：yaxa，即xy1，与抛物线方程联立得y2y20，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，|y1y2|，|CD|y1y2|，又kAB，所以直线AB：y(x1)，即xy1，与抛物线方程联立得y2y20，所以yAyB2，所以yB，所以B，所以点B到直线CD的距离d，所以SBCD，整理得，所以，解得a2或a2(舍去)4.如图，A为椭圆y21的下顶点，过点A的直线l交抛物线x22py(p0)于B，C两点，C是AB的中点(1)求证：点C的纵坐标是定值；(2)过点C作与直线l倾斜角互补的直线l交椭圆于M，N两点，p为何值时，BMN的面积最大？解：(1)证明：易知A(0，1)，不妨设B，则C，代入抛物线方程得22p，得t24p，yC，故点C的纵坐标为定值(2)点C是AB的中点，SBMNSAMN.设直线l的斜率为k，直线l的斜率为k，则k，k，直线l的方程为y，即yx2，不妨记m，则l：ymx2，代入椭圆方程整理得(2m21)x28mx60，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|MN|x1x2|2，又A到直线MN的距离d，所以SAMN|MN|d3 .当且仅当时取等号，解得m2，所以t2，从而p，故当p时BMN的面积最大5已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y24x的焦点重合(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由解：(1)由题意知椭圆的一个焦点为F(1,0)，则c1.由e得a，所以b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，设BC：xx0，设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，kABkAC，不合题意故直线BC的斜率存在设直线BC的方程为ykxm(m1)，并代入椭圆方程，得：(12k2)x24kmx2(m21)0，由(4km)28(12k2)(m21)0，得2k2m210.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，由kAB