2019_2020学年高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系学案新人教B版.docx

43指数函数与对数函数的关系考点学习目标核心素养反函数了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系数学抽象指数、对数函数的图像与性质的应用利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题数学抽象、数学运算 问题导学预习教材P30P31的内容，思考以下问题：1反函数是如何定义的？2互为反函数的函数有哪些性质？1一般地，如果在函数 yf(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为yf(x)的反函数2一般地，函数 yf(x)的反函数记作yf1(x). yf(x)的定义域与yf1(x)的值域相同， yf(x)的值域与yf1(x)的定义域相同， yf(x)与yf1(x)的图像关于直线yx对称3如果yf(x)是单调函数，那么它的反函数一定存在如果yf(x)是增函数，则yf1(x)也是增函数；如果yf(x)是减函数，则yf1(x)也是减函数 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y的反函数是ylogx.()(2)函数ylog3x的反函数的值域为R.()(3)函数yex的图像与ylg x的图像关于直线yx对称()答案：(1)(2)(3) 函数f(x)的反函数为g(x)，那么g(x)的图像一定过点_解析：f(x)的反函数为g(x)logx，所以g(x)的图像一定过点(1，0)答案：(1，0) 函数yx3的反函数为_解析：由yx3得xy3，x，y互换得yx3，所以原函数的反函数为yx3.(xR)答案：yx3(xR)求反函数写出下列函数的反函数：(1)ylg x；(2)y5x1；(3)y()x；(4)yx2(x0)【解】(1)ylg x的底数为10，它的反函数为指数函数y10x.(2)由y5x1，得x，所以反函数为y(xR)(3)y()x的底数为，它的反函数为对数函数ylogx(x0)(4)由yx2得x.因为x0，所以x.所以反函数为y(x0)求反函数的一般步骤(1)求值域：由函数yf(x)求y的范围(2)解出x：由yf(x)解出xf1(y)若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个(3)得反函数：将x，y互换得yf1(x)，注意定义域 函数y1(x1)的反函数是()Ayx22x2(x1)Byx22x2(x1)Cyx22x(x1)(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f1(x)；(3)判断f1(x)的单调性解：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2x0，即x2，故原函数f(x)的定义域为(，2)，值域为R.(2)由f(x)yloga(2x)，得2xay，即x2ay.所以f1(x)2ax(xR)(3)f1(x)在R上是减函数证明如下：任取x1，x2R且x11，x1x2，所以ax1ax2，即ax1ax20，所以f1(x2)0，且a1，函数yax与yloga(x)的图像只能是图中的()解析：选B.yax与ylogax互为反函数，图像关于直线yx对称而yloga(x)与ylogax关于y轴对称因为在yloga(x)中，x0，即x0，所以排除A、C.当0a1时，在D中，loga(x)应是递增的，故D错误12已知f(x)(a0)，若f1(x)的定义域是，则f(x)的定义域是_解析：f1(x)的定义域即为f(x)的值域，所以.又a0，所以4x7.所以f(x)的定义域为4，7答案：4，713已知函数f(x)x22ax3在区间1，2上存在反函数，求a的取值范围解：若函数f(x)在区间1，2上存在反函数，则f(x)在1，2上为单调函数，f(x)x22ax3的对称轴是直线xa，要使f(x)x22ax3在区间1，2上为单调函数，则1，2(，a或1，2a，)，即a2或a1.所以a的取值范围是(，12，)C拓展探究14已知函数f(x)3x，且f1(18)a2，g(x)3ax4x的定义域为0，1(1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)的值域解：(1)因为f(x)3x，且f1(18)a2，所以f(a2)3a218.所以3a2.因为g(x)3ax4x(3a)x4x，所以g(x