6.3+无理数+人大附中+吴文庆（为保证效果请看PDF文件）.doc

6.3 探究无理数中国人民大学附属中学 初一年级组 吴文庆一、指导思想与理论依据本节课的指导思想是以史为线索渗透数的扩展的必要性和方法,从而提升学生数学认知能力,培养学生的创新意识和能力.本节课采用巴班斯基的教学过程最优化理论，将教学内容和学生的讨论相结合，师生共同寻求研究无理数的一般过程与方法，激发了学生思考问题的积极性和主动性。二、教学背景分析本节课是教材第六章第3节实数的第一课时，授课班级学生整体水平较好，在学习有理数时已经对无理数有了初步认识，但对于研究数的过程与方法的体会相对薄弱，这在对学生进行“如何研究有理数”的调查时体现的很明显，学生的回答大多都停留于教材有理数章节的内容，真正能说出研究有理数的过程的学生并不多，对于研究一类数的过程缺乏逻辑性和层次感。从数的发展看，学到此，可以也有必要给学生一个整体观，为今后认识复数,四元数等新数作方法上的铺垫.三、教学目标：1. 了解无理数产生的背景，理解无理数的定义、特征与运算.2. 类比有理数的学习，提出研究无理数的过程与方法. 经历无理数研究的过程，进一步体会研究一类新数的过程和方法。3. 以分小组讨论提出方案的形式展开教学，培养勤于思考、乐于交流的学习习惯和勇于探索的治学精神。四、教学重点与难点：1. 重点：研究无理数的过程与方法. 2. 难点：学生对无理数蕴含的“无限思想”的理解；学生在教学过程中对研究新数思路与方法的领悟.五、教学过程设计： 1. 请同学们回忆数的发展过程2. 我们是怎么研究有理数的？在上无理数新课之前，做了一个“如何研究有理数”的调查，在课堂上展现几个比较典型的回答，让同学们进行评价。3. 请同学们分小组讨论给出一个合理可行的研究无理数的方案，包括研究的内容和顺序，你们准备如何研究无理数？选取2-3个组进行汇报，其他组提供意见与建议.可能会涉及到：1. 无理数的产生背景2. 无理数的定义3. 无理数的特征4. 无理数的运算5. 无理数的分类6. 无理数和有理数的关系7. 无理数的总数8. 师生共同形成一个比较一致的研究思路，然后师生一起根据总结出的思路研究无理数.1. 无理数的产生【问题背景】 希伯斯发现不可公约的数。播放一段视频：第一次数学危机问题：如何证明不能表示为两个整数之比？【设计意图】 引领学生经历无理数产生的过程，同时结合视频国内外的数学家的事迹让学生体会科学研究的艰辛，矛盾虽然可能导致一些悲剧，但是却推动着社会的发展。这个史实说明引入一种新数的必要性。 2无理数的定义问题：怎么给无理数下定义?定义1：不能表示成两个整数之比的数定义2：无限不循环小数【设计意图】既然新数产生了，那么自然需要下定义。引导学生自己说出无理数的定义，并说明这两种定义方式是否有联系。突兀地用小数定义无理数是造成学生无理数表象不完全的因素之一，提到无理数的概念，学生脱口而出“无限不循环小数”，但是举例无理数时，似乎只想到，.本节课联系 、 的性质，类比有理数的定义，学生自然得出“不能表示成两个整数之比的数称为无理数”，水到渠成。然后再通过有理数可以与部分小数转化，得出“无限不循环”的是无理数，这样的设计有利于学生对无理数概念的理解。3. 无理数的特征与分类问题：（1） 估算（精确到百分位），并将它表示到数轴上（2） 你还能写出哪些不同形式的无理数，并把它们表示到数轴上【设计意图】通过估算，找到求无理数近似值的方法，同时体会无理数小数无限不循环的特征。通过将无理数画到数轴上，体会数轴上的点除了有理数点之外还有无理数点，无理数也是可以对应数轴上的点的。这里一些自己构造的无理数画到数轴上可能有困难，但是要尽量让学生说出描点的方法。这个问题让学生从数和形两个方面体会无理数无限不循环的特征。问题：无理数可以怎么分类？根据什么标准进行分类？【设计意图】类比有理数的分类，并通过学生刚列举出的不同形式的无理数，从正负和形式对无理数进行分类。4. 无理数的运算问题：有理数有哪些运算，遵循哪些运算律？无理数也可以进行这些运算吗？【设计意图】以加法为例，引导学生思考，数集增加了无理数后，有理数的各种运算能否仍然适用，运算的结果是否有意义。例如讨论无理数加法、运算结果。让学生体会无理数参与运算后，运算的合理性。简单介绍运算的封闭性的定义，仅作为补充，旨为学生理解数系扩充做一些知识的铺垫，让学生更好地理解熟悉扩充数学理论上的需要。问题：联系本章的内容，所有的无理数组成的集合对哪些计算是封闭的？有理数和无理数一起构成的集合（实数集）呢？【设计意图】继续研究这类新数的运算，发现都不是封闭的。但是无理数是作为有理数扩充引入的新数，我们关注的是引入无理数之后 的集合，也就是实数集合，其中的运算是否具有良好的性质，再举例研究实数运算的封闭性。5. 数系的发展和扩充【设计意图】从社会实践需要和数学理论需要两个方面阐述数系扩充的过程，结合前面介绍的运算封闭性，让学生对数系扩充的过程理解更加理性，同时也留下继续讨论的空间，激发他们学习数学的热情，在课后自己对后续的发展进行探索。6. 课堂小结【设计意图】通过回顾梳理这节课研究无理数的过程，提炼出研究一类新数的思路和方法，学生以后遇到一类新的数便有了一定的研究方法基础。这是这节课的精华。7. 布置作业与思考题1. 数学练习册（P7-8）2. （课后思考题）（1）为什么有理数总可以表示成有限小数或者无限循环小数？（2）有理数多还是无理数多？（3）你还知道其它的数吗？试着去研究它。六、教学设计特色说明与教学反思学生虽然学过有理数，但是对于有理数的产生发展以及如何去研究有理数并没有很清晰的思路，在这样的前提下，学生学习无理数或者在以后学习的历程里去学习其它新数，必然都缺乏一种清晰的研究思路。所以这堂课最大的亮点是这节课蕴含的研究一类新数的方法，这堂课没有太多的例题，也不求在每一个点上充分展开，而是让学生自己提出研究无理数的方案；和学生一起从无理数的产生，到无理数的定义，特征与分类，运算等各个方面全面研究无理数；更带领学生重新理性地认识数系扩充的过程，鼓励他们去研究去发现一些新的数。今年是入职第四年，刚带完一届高中三年来到初一，初一的教学远比我想象的困难。通过准备这节课我有一些想法：初中阶段是学生打学科基础的阶段，数学思想形成的阶段，对于以后发展非常关键，我认为教师应该站得低一些，看得高一些。“站的低一些”就是要从学生的角度出发去认识新知识，去体会学生学习过程中的困难疑惑，“看得高一些”就是要看得远一些，把握每一节课在章节，在初中、初高中、甚至是整个学科知识体系中的位置，这样才能决定每节课的教学目标。教师备课不应该只是选题做题，而应该是去完成这节课的教学目标。题目只是思想方