河南省新乡市原阳一中高中数学 1.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修22.ppt

1 1 3导数的几何意义1 高二数学选修2 2第一章导数及其应用 一 复习 导数的定义 其中 其几何意义是表示曲线上两点连线 就是曲线的割线 的斜率 其几何意义是 p q o x y y f x 割线 切线 t 一 曲线上一点的切线的定义 结论 当q点无限逼近p点时 此时直线pq就是p点处的切线pt 点p处的割线与切线存在什么关系 新授 设曲线c是函数y f x 的图象 在曲线c上取一点p x0 y0 及邻近一 点q x0 x y0 y 过p q两点作割 线 当点q沿着曲线无限接近于点p 点p处的切线 即 x 0时 如果割线pq有一个极 限位置pt 那么直线pt叫做曲线在 曲线在某一点处的切线的定义 t 此处切线定义与以前的定义有何不同 圆的切线定义并不适用于一般的曲线 通过逼近的方法 将割线趋于的确定位置的直线定义为切线 交点可能不惟一 适用于各种曲线 所以 这种定义才真正反映了切线的直观本质 m x y 割线与切线的斜率有何关系呢 即 当 x 0时 割线pq的斜率的极限 就是曲线在点p处的切线的斜率 当点q沿着曲线无限接近点p即 x 0时 割线pq有一个极限位置pt 则我们把直线pt称为曲线在点p处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线pq的斜率 称为曲线在点p处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数平均变化率的极限 要注意 曲线在某点处的切线 1 与该点的位置有关 2 要根据割线是否有极限来判断与求解 如有极限 则在此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 3 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多个 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率是 故曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线方程是 导数的几何意义 例1 1 求函数y 3x2在点 1 3 处的导数 2 求曲线y f x x2 1在点p 1 2 处的切线方程 题型 导数的几何意义的应用 练习 如图 已知曲线 求 1 点p处的切线的斜率 2 点p处的切线方程 即点p处的切线的斜率等于4 2 在点p处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 例2 求抛物线y x2过点 6 的切线方程 解 点 6 不在抛物线上 设此切线过抛物线上的点 x0 x02 因为 又因为此切线过点 6 和点 x0 x02 所以此切线方程的斜率为2x0 所以 即x02 5x0 6 0 解得x0 2 或x0 3 所以切线方程为y 4x 4或y 6x 9 二 函数的导数 函数在点处的导数 导函数 导数之间的区别与联系 1 函数在一点处的导数 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限 它是一个常数 不是变数 2 函数的导数 是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f x 的导函数3 函数在点处的导数就是导函数在处的函数值 这也是求函数在点处的导数的方法之一 课堂练习 如图 见课本p10 a6 已知函数的图像 试画出其导函数图像的大致形状 p11 b2 根据下面的文字叙述 画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状 1 汽车在笔直的公路上匀速行驶 2 汽车在笔直的公路上不断加速行驶 3 汽车在笔直的公路上不断减速行驶 课堂小结 求利用导数求曲线上p x0 f x0 处的切线方程 先求出该点的导数即切线的斜率 再利用点斜式求出切线方程 导数的几何意义 练习题 1 曲线y x2在x 0处的 a 切线斜率为1b 切线方程为y 2xc 没有切线d 切线方程为y 0 d 2 已知曲线y 2x2上的一点a 2 8 则点a处的切线斜率为 a 4b 16c 8d 2 c 3 函数y f x 在x x0处的导数f x0 的几何意义是 a 在点x x0处的函数值b 在点 x0 f x0 处的切线与x轴所夹锐角的正切值c 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率d 点 x0 f x0 与点 0 0 连线的斜率 c 4 已知曲线y x3上过点 2 8 的切线方程为12x ay 16 0 则实数a的值为 a 1b 1c 2