圆柱与刚性平面Hertz接触的临界参数计算.pdf

兰 Q 二 鱼 C N 4 1 1 14 8 T H 轴承20 13 年8期 B e ari ng 2 0 1 3 N o 8 4 7 圆柱与刚性平面 H ertz接触的临界参数计算 官春平 广东轻工职业技术学院 广州510300 摘要 以H en z 弹性接触理论和弹性力学为基础 通过分析圆柱与刚性平面 H ertz 接触时的应力变化关系 采用 数值方法获得了屈服发生时的位置和接触中心处接触应力的表达式 建立了圆柱与平面 H eaz 接触的临界参数 计算模型 关键词 圆柱滚子轴承 H ertz 接触 临界参数 屈服极限 中图分类号 0 343 3 TH 133 33 文献标志码 A 文章编号 1000 3762 2013 08 0004 04 C a lc u la ti o n o f C ri ti c a l P a ram eters fo r H ertz C o n ta c t B etw een C y li n d er an d R i gi d P la n e G u an C hu n pi ng G uangdong Industry T c hni c al College G uangzhou 5 10300 Chi na A b strac t B ased on H ert z elasti c c ontac t theory and elasti c m ec h an i c s th e relati onsh i p of stress vari ati on i n H ea z c on tac t betw een c yli nder and rigi d plane i s analyzed T he num eri c al m eth ods i s used to obtai n the expressi ons of the loc a ti on and c ontac t pressure at the c 6ntac t c en ter w hen the yi eld oc c urs an d the c alc u lati on m od el of c ri ti c al param eters for H ertz c on tac t betw een c yli nder and ri gi d plane i s establi shed K ey w o rd s c yli n dri c al roller beari n g H ertz c ontac t c ri ti c al p aram eter yi eld li m i t 圆柱滚子轴承可 以承受较大径 向载荷 已经 广泛应用于如车辆齿轮箱 机床主轴 减速机 以及 起重运输机械等 比较恶劣 的工况 中 工程实践表 明 H ertz 接触理论对于滚动轴承 的分析具有足够 的计算精度 对于圆柱滚子轴承 在正 常工 况下处于弹性接触状态 其接触宽度远小于接触 长度 根据圣维南原理 通过假设接触应力沿滚子 素线均匀分布 可 以将其接触简化为 圆柱与平面 的接触模型 1907 年 Stri beek R 应用 H ertz 弹 性接触理论建立了滚子轴承在承受径 向载荷下 的 静力学分析模 型 获得了滚子最大接触载荷 Q 与径向载荷 F 之间的关 系 但在非正常工况下 轴承可能超载运行 此时接触状态可能会发生改 变 即由 H ertz 弹性接触状 态 向弹塑性接触 甚至 收稿 日期 2013 02 05 修 回日期 2013 04 25 作者简介 官春平 1975一 男 汉族 安徽滁州人 高级工 程师 主要研究方 向为机械制造及其 自动化 E m ai l gu anc p tom c on 塑性接触状态改变 如果轴承长期处于弹塑性甚 至塑性接触状态 将会严重影 响轴承 的寿命和传 动精度 因此 研究圆柱与平面 H ert z 接触 的临界 参数很有意义 1 圆柱与平面弹性接 触理论 根据 H ertz 理论 圆柱与平面弹性接触时 其 接触区域可 以简化为长度 为 宽度 为 2 的矩 形 如图 1 所示 接触应力 P 分布呈半椭 圆柱体 形 J 其为 p x 厢 1 式中 为接触点距接触中心 的径 向距离 F 为外 部载荷 当 0 时 即接触 区域 的中心处所受到的接 触应力最大 其为 p 2 一 叮 0 一 7rRL 式 中 为等效 弹性模量 E 1 一 E 为 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 官春平 圆柱与刚性平面 H ertz 接触的临界参数计算 5 弹性模量 为泊松 比 尺为圆柱体半径 l奎 1 I西 I枉 与 半 由 H ertz 接 ji 虫 不 葱 I璺 j 位于半椭圆柱体 中心对称面 z 轴上点的正应 力和主剪应力分别为 一一 篇 一 I丽 J 一 4 一 亏 斗 2vp f三一 1 5 丁 一 考 丁 0 7 根据接触应力 与载荷之 间的关系 可得接触 半宽 a 为 a 8 n o w E L E Puttoc k 采用数学简化 的方法 推导 出圆柱 的 压下位移 的近似解析式为 6 n 9 2 临界参数计算 根据图 1 所示 的坐标 采用最大接触应力 P 对 z 轴上各点 的正应力场 进行无量 纲化 并且令 z a 则 3 7 式所表示 的正应力和主剪应 力分别变换为 O x 一 10 p 1 一 Orz 一 11 一一 po 1 12 丁 P o 13 从 10 一 12 式可 以发现 or 和 or 与泊松 比 无关 但 与泊松 比 相关 z 轴上 的无量 纲应力 Or or p p 与无量纲位置 及泊 松比 之 间的关系曲线如图 2 所示 从 图 2 中可 以看出 在接触 中心z 轴上的所有正应力均为压应 力 当 1 时 or or 和 Or 的值随深度的增加而 快速增大 但泊松 比 的大小对 值增大 的速度 有很大影响 在 0 1 时 or 值 的变化较小 且 最后趋近于0 而or 值随 增大而继续增大 随着 泊松比 2 的减小 材料 的可压缩性增 大 使得 Or 值随之增 大 这里的 Or or 和 均为压应力 其 值的增大实际为压应力 的减小 亭 图 2 无量纲应力与无量纲位置 及泊松 比 之 间 的 关 系 在弹性接触过程中 接触应力随着载荷 F 的增 大而增大 最终达到甚至超过材料的屈服强度 根据 von M i ses屈服准则 轴上点的屈服应力为 or 一Or y or 一 一 Or 6 2 r2 2 寺 14 将 10 13 式代入 14 式 中 有 Ors 一 羔 南 p0 1 I 考 l 考 一 4 2 8 2吉 2 4 2 8 z春 可 1 4 v 一8 z 1 一 15 1 瓜J 15 式表明材料 的变形状 态 弹性或塑性 与材料所处 的位置 和材料的泊松 比 有较大关 联 其关系曲线如图 3 所示 从 图中可以看出 随 着泊松 比 2 的增大 无量纲屈服应力 or t 减小 即材料越容 易屈服 而且 最先发生屈服点的位置 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 轴承 2013 8 由接触中心的正下方向接触区域内部转移 当 9 0 194 时 最先发生屈服 的点 已向接 触 内部转移 出现在接触中心的正下方 即圆柱体 中心对称 面上 当 9 0 3 时 在 0 7 处最先开 始屈服 当材料 出现屈服现象时 此时 的圆柱压 人位移 6 即为材料发生屈服时的临界压人位移 图 3 洎 松 比 和 f ft 对 屈服 压 力 的 影 响 将 15 式对于 进行微分 并令该等式为 0 即 可得到材料发生屈服时的无量纲位置 Z0 a 即 3 2 一 羔 1 一 l l 言 三 一 墨 一 鱼 篮 鱼 1 1 1 641 2 一 32 z 可 一 墼 一 1 毛 1 毛 瓜 l 1 鲁一 志 一 oc 由于 16 式为超越方程 比较复杂 因此采用 数值方法求解 图4 为 16 式的拟合曲线 从图 中可见 在材料发生屈服时 其拟合函数关系为 一 2 393 5v 2 32 2 6v 0 2 21 6 17 其拟合的最大误差为 0 77 需注意 的是 17 式是在泊松比 9 0 194 0 5 下得到的 根据 图 3 所示 的泊松 比 9 对屈服 应力的影响 可以看出 当 9 0 194 时 初始屈服 点位于接触中心表面 即 孝 O 即当 0 叭9 4 18 一 2 393 5 2 322 6v 0 22 1 6 0 194 Or p 取最大值 图4 16 式的拟合 曲线 将 18 式代入 15 式 得到一个超越方程 因 此同样采用数值方法进行计算 其拟合曲线如图 5 所示 拟合函数关系为 粤 一 2 921 1 2 2 982 7 1 162 8 19 19 式 的最大拟合误差不超过 0 11 定义 C p Y 则 c O 94 一2 92 1 1 2 982 79 1 162 8 0 194 20 图 5 15 式的拟合曲线 因此 圆柱与平面处 于 H ertz 接触 时 出现临 界屈服的临界参数为 Po C Y 21 2 p o R 2 R C Y 22 c L 23 R CY 21n 一 1 24 式中 P 为临界最大接触应力 为临界接触半 宽 F 为临界载荷 6 为临界位移 将 9 式对载荷 进行微分 得 砸 ln rrE职 L3 88 FR OF一 1TE L 25 因此 得到圆柱与平面 H ertz 接触时的临界法 1 l 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 官春平 圆柱与刚性平面 H ertz接触的临界参数计算 7 上接第 3 页 联立 20 一 25 式 采用 N ewton R aphson 迭 代法可求解出轴承初始预紧力 根据以上分析 编制基于VC 的预紧力计算程序可以快速计算 3 实例 以 7301C 混合 陶瓷角接触球 轴承为例 轴 承 参数和受载情况见表 1 其转速与所需修 配初始 预紧力 的关系如图4所示 计算时假设轴承 内 外 表 1 7301C 轴承参数和承受的载荷 内径 mm 外径 m m 球径 m m 球 数 粒 初始接触角 轴 向载荷 N 径 向载荷 N 工作 温度 12 37 6 3 5 8 15 2 o o 10 10 0 13o l 5 l00 85 70 转速 X 10 r ra i n 图 4 7301C 轴承修 配初 始预紧力与转速的 关系 圈温差 为 30 c c 由图4 可得 7301C 轴承在转速 100 000 r ra i n 时 最小初始预紧力为 95 N 考虑到计算误差 建 议初始预紧力修正为 100 N 4 结束语 依据轴承高速旋转 时防止球发生陀螺旋转的 条件 给出了轴承最小工作预紧力 在此基础上 考虑了轴承高温 高速工况条件 的影响 推导了工 作预紧力与初始预紧力 的关系 结合 730 1C 混合 陶瓷角接触球轴承 的工况 给出了其初 始预 紧力 的建议值 参