2019_2020学年高中数学第六章平面向量及其应用章末复习提升课学案新人教A版.docx

章末复习提升课平面向量的线性运算(1)(2018高考全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A.B.C. D.(2)如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则()A. B.C. D.2【解析】(1)法一：如图所示，()()，故选A.法二：()，故选A.(2)因为()()()()()，且，所以得所以，故选B.【答案】(1)A(2)B向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面 已知平面向量a(2，1)，b(1，1)，c(5，1)若(akb)c，则实数k的值为()A2 BC D解析：选B.由题意知，akb(2，1)k(1，1)(k2，k1)，由(akb)c，得5(k1)k2，解得k，故选B.平面向量数量积的运算如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为()A. B.C. D.3【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD中，ABAD1，BAD120，所以A(0，0)，B(1，0)，D，设C(1，m)，E(x，y)，所以，因为ADCD，所以0，即0，解得m，即C(1，)，因为E在CD上，所以y，由，得(x1)(y)，即xy2，因为(x，y)，(x1，y)，所以(x，y)(x1，y)x2xy2(y2)2y2y24y25y6，令f(y)4y25y6，y.因为函数f(y)4y25y6在上单调递减，在上单调递增，所以f(y)min456.所以的最小值为，故选A.【答案】A向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos .(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2. 1已知向量a，b的夹角为，|a|，|b|2，则a(a2b)_解析：a(a2b)a22ab2226.答案：62设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则等于_解析：，所以(43)(43)(16292)(1662942)9.答案：9向量的夹角及垂直问题(1)已知向量m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则()A4 B3C2 D1(2)已知abc0，|a|2，|b|3，|c|，则向量a与b的夹角为()A30 B45C60 D以上都不对【解析】(1)因为mn(23，3)，mn(1，1)，(mn)(mn)，所以(mn)(mn)(23，3)(1，1)260，解得3.(2)设向量a与b的夹角为，因为abc0，所以c(ab)，所以c2(ab)2，即|c|2|a|2|b|22|a|b|cos ，所以194912cos ，所以cos ，又0180，所以a与b的夹角为60.【答案】(1)B(2)C解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x1x2y1y20”较为简单 1设向量a(1，0)，b(1，m)若a(mab)，则m_解析：因为a(1，0)，b(1，m)，所以mab(m1，m)由a(mab)得a(mab)0，即m10，得m1.答案：12(2019东北三省三校检测)已知非零向量a，b满足|ab|a|，a(ab)0，则ab与b夹角的大小为_解析：因为非零向量a，b满足a(ab)0，所以a2ab，由|ab|a|可得a22abb2a2，解得|b|a|，设ab与b的夹角为，则cos ，又0180，所以135.答案：135向量的长度(模)与距离的问题已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC的中点，则|等于()A2B4 C6D8【解析】因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)44，则|2.【答案】A解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式：|a|(其中a(x，y)(2)应用三角形法则或平行四边形法则(3)应用向量不等式|a|b|ab|a|b|.(4)研究模的平方|ab|2(ab)2. (2019河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为，且a(ab)8，|a|2，则|b|等于()A B2C3 D4解析：选D.因为a(ab)8，所以aaab8，即|a|2|a|b|cosa，b8，所以42|b|8，解得|b|4.利用正、余弦定理解三角形已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求角B的大小；(2)若A75，b2，求a，c.【解】(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，所以B45.(2)因为sin Asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故a1.又C180457560，所以c2.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. 1(2018高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A. B.C. D. 解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知absin C，所以sin Ccos C，所以在ABC中，C.2(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解：(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).因为0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.判断三角形的形状在ABC中，若已知b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，试判断三角形的形状【解】由正弦定理的推论，得2R，则已知条件转化为4R2sin2Bsin2C4R2sin2Csin2B8R2sin Bsin Ccos Bcos C.因为sin Bsin C0，所以sin Bsin Ccos Bcos C，所以cos(BC)0.因为0BC8，所以货轮无触礁危险正、余弦定理在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位 1某运动会上举行升旗仪式，在坡角为15的看台上，同一列上的第一排B处和最后一排C处测得旗杆顶部P处的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，则旗杆的高度为()A10 m B30 mC10 m D10 m解析：选B.依题意可知PCB45，PBC1806015105，所以CPB1804510530.在PBC中，由正弦定理可得BPsinPCB20(m)，所以在RtBOP中，OPPBsinPBO2030(m)，即旗杆的高度为30 m.2如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度，沿北偏东15方向直线航行，下午4时到达C岛(1)求A，C两岛之间的直线距离；(2)求BAC的正弦值解：(1)在ABC中，由已知，AB10550，BC10330，ABC1807515120.根据余弦定理，得AC250230225030cos 1204 900，所以AC70.故A，C两岛之间的直线距离是70海里(2)在ABC中，由正弦定理，得，所以sinBAC.故BAC的正弦值是.1(2019高考全国卷)已知(2，3)，(3，t)，|1，则()A3B2C2 D3解析：选C.因为(3，t)(2，3)(1，t3)，|1，所以1，所以t3，所以(1，0)，所以21302.2已知e1，e2是单位向量，me12e2，n5e14e2，若mn，则e1与e2的夹角为()A. B.C. D.解析：选B.因为mn，|e1|e2|1，所以mn(e12e2)(5e14e2)5e6e1e28e36e1e20.所以e1e2.设e1与e2的夹角为，则cos .因为0，所以.3在ABC中，A，BC6，AB2，则C()A.或 B.或C. D.解析：选C. 由正弦定理，得sin C.又BC6AB2，所以AC，所以C，故选C.4如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3 ，2，则的值是_解析：由3 ，得，.因为2，所以2，即222.又225，264，所以22.答案：225在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值解：(1)因为a3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故cos A.(2)由(1)知cos A，所以sin A.又因为B2A，所以cos B2cos2A1.所以sin B.在ABC中，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.所以c5.6(2019江西省赣州教育发展联盟联考)已知ABC的周长为1，且sin Asin Bsin C(1)求边AB的长；(2)若ABC的面积为sin C，求角C的度数解：(1)由题意，及正弦定理，得ABBCAC1，BCACAB，两式相减，得AB1.(2)由ABC的面积BCACsin Csin C，得BCAC，由余弦定理，得cos C，所以C60.A基础达标1将3化成最简式为()AabB4a5bC.ab D4a5b解析：选B.原式3ab34a5b.2设x，yR，向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B.C2 D10解析：选B.由题意可知解得故ab(3，1)，|ab|.3在ABC中，B45，C60，c1，则最短边长为()A. B.C. D.解析：选B.A180(6045)75，故最短边为b，由正弦定理可得，即b，故选B.4在锐角ABC中，角A，B所对的边分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A. B.C. D.解析：选D.由已知及正弦定理得2sin Asin Bsin B，因为sin B0，所以sin A.又A，所以A.5在ABC中，已知sin2Asin2Bsin2C，且sin A2sin Bcos C，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选D.由sin2Asin2Bsin2C及正弦定理可知a2b2c2A为直角；而由sin A2sin Bcos C，可得sin(BC)2sin Bcos C, 整理得sin Bcos Ccos Bsin C，即sin(BC)0，故BC.综合上述，BC，A.即ABC为等腰直角三角形6已知非零向量a(t，0)，b(1，)，若a2b与a的夹角等于a2b与b的夹角，则t_解析：由题设得，所以|b|(|a|22ba)|a|(ab2|b|2)，将a(t，0)，b(1，)代入整理得2t2t|t|8|t|4t，当t0时，3t212t，所以t4；当t0时，t24t，所以t4.综上，t的值为4或4.答案：4或47在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边若2asin Bb，bc5，bc6，则a_解析：因为2asin Bb，所以2sin Asin Bsin B.所以sin A，因为ABC为锐角三角形，所以cos A，因为bc6，bc5，所以b2，c3或b3，c2.所以a2b2c22bccos A2232267，所以a.答案：8(2019湖南株洲市检测)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若2，则的模为_解析：因为在平行四边形ABCD中，又，所以，所以2|cos 60|2|12，所以|12.答案：129已知向量e1，e2，且|e1|e2|1，e1，e2.(1)求证：(2e1e2)e2；(2)若me1e2，n3e12e2，且|m|n|，求的值解：(1)证明：因为|e1|e2|1，e1，e2，所以(2e1e2)e22e1e2e2|e1|e2|cos|e2|2211120，所以(2e1e2)e2.(2)由|m|n|得(e1e2)2(3e12e2)2，即(29)e(212)e1e23e0.因为|e1|e2|1，e1，e2，所以ee1，e1e211cos，所以(29)1(212)310，即260.所以2或3.10已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B，且(abc)(abc)bc.(1)求cos C的值；(2)若a5，求ABC的面积解：(1)由(abc)(abc)bc，得a2(bc)2bc，即a2b2c2bc，由余弦定理，得cos A，所以sin A.又因为B，所以cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B.(2)由(1)得sin C.在ABC中，由正弦定理，得.所以c8，所以Sacsin B58sin10.B能力提升11飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75，这时飞机与地面目标C的距离为()A5 000米 B5 000米C4 000米 D4 000米解析：选B.如图，在ABC中，AB10 000米，A30，C753045.根据正弦定理得，BC5 000(米)12在ABC中，点D满足BDBC，当E点在线段AD上移动时，若，则t(1)22的最小值是()A. B.C. D.解析：选C.如图所示，存在实数m使得m(0m1)，()，所以m，所以所以t(1)22m21，所以当m时，t(1)22取得最小值.13在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程x22x20的两个根，且2cos(AB)1.则C_，AB_解析：因为cos Ccos(AB)cos(AB)，所以C120.由题设，得所以AB2AC2BC22ACBCcos Ca2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab(2)2210.所以AB.答案：12014在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2ab)cos Cccos B，ABC的面积S10，c7.(1)求角C；(2)求a，b的值解：(1)因