高中数学 1.3.1函数的单调性与导数课件 新人教A版选修22(1).ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 选修2 2 导数及其应用 第一章 1 3导数在研究函数中的应用 第一章 1 3 1函数的单调性与导数 结合实例 借助几何直观图探索并了解函数的单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 重点 利用导数判断函数的单调性 难点 探索发现函数的导数与单调性的关系 函数的单调性与导函数值正负的关系 新知导学 负 正 正 思维导航 2 由导数的几何意义可知 函数f x 在x0的导数f x0 即f x 的图象在点 x0 f x0 的切线的斜率 在x x0处f x0 0 则切线的斜率k f x0 0 若在区间 a b 内每一点 x0 f x0 都有f x0 0 则曲线在该区间内是上升的 反之若在区间 a b 内 f x 0 则曲线在该区间内是下降的 新知导学 由此我们得出 设函数y f x 在区间 a b 内可导 1 如果在区间 a b 内 f x 0 则f x 在此区间单调 2 如果在区间 a b 内 f x 0 则f x 在此区间内单调 递增 递减 1 2015 河南省高考适应性练习 已知函数y f x 的图象如图1所示 则其导函数y f x 的图象可能是 牛刀小试 答案 a 解析 由f x 的图象可知 f x 在x0时 单调递减 故f x 在 0 上的取值应为正 负 正 在 0 上恒取负值 故选a 函数的变化快慢与导数的关系 思维导航 3 我们注意到若f x 2x g x 3x 则f x 2 g x 3有f x g x 从图可见 g x 与f x 都是增函数 但g x 比f x 增长的快得多 分析图形我们发现 导数绝对值的大小反映了函数在某个区间上或某点附近变化的快慢程度 导数绝对值越大 函数增长 f x 0 或减少 f x 0 的越快 新知导学 由此我们可以得出结论 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么这个函数在这个范围内变化较 其图象比较 即 f x 越大 则函数f x 的切线的斜率越大 函数f x 的变化率就越大 陡峭 快 2 2014 2015 三亚市一中月考 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 答案 d 解析 f x x 3 ex f x ex x 3 ex x 2 ex 由f x 0得x 2 选d 牛刀小试 答案 a 解析 f x 在 a b 上为增函数 f x 在 a b 上的切线斜率k随x的增大而增大 故选a 求函数的单调区间 解析 1 函数f x 的定义域为r f x 3x2 3 令f x 0 则3x2 3 0 即3 x 1 x 1 0 解得x 1或x 1 函数f x 的单调递增区间为 1 和 1 令f x 0 则3 x 1 x 1 0 解得 1 x 1 函数f x 的单调递减区间为 1 1 方法规律总结 1 函数的单调区间是定义域的子集 利用导数的符号判断函数的单调性和求函数的单调区间 必须先考虑函数的定义域 写函数的单调区间时 一定要注意函数的不连续点和不可导点 2 利用导数求函数f x 的单调区间的一般步骤为 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0和f x 0 4 根据 3 的结果确定函数f x 的单调区间 3 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个 那么这些单调区间不能用 连接 而只能用 逗号 或 和 字隔开 4 若y f x 在 a b 内可导 f x 0或f x 0且y f x 在 a b 内导数为0的点仅有有限个 则y f x 在 a b 内仍是单调函数 例如 y x3在r上f x 0 所以y x3在r上单调递增 已知函数的单调性 确定参数的取值范围 分析 f x 在定义域 0 上为增函数 即f x 0在 0 上恒成立 分离参数转化为求函数值域或数形结合都可以求解 3 已知f x f x 的解析式中含有参数 在某区间上单调 求参数的值或取值范围时 所给增 或减 区间应是f x 的增 或减 区间的子集 4 已知f x 的单调区间 求f x 中含有的参数值时 已知单调区间的端点应是f x 0 f x 0 解集的分界点 设函数f x xekx k 0 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 1 1 内单调递增 求k的取值范围 分析 1 求f x 的单调区间 就是解不等式f x 0与f x 0 由于f x 的解析式中含参数 故需分类讨论 2 f x 在区间 1 1 内单调递增 则f x 0在 1 1 内恒成立 由于 1 中已讨论过f x 的单调性 故可结合 1 的结果讨论 解法2 f x 在 1 1 内单调递增 f x 0在 1 1 内恒成立 令g x kx 1 则g x 0在 1 1 内恒成立 若k 0 则g 1 0 k 1 0 k 1 0 k 1 若k 0 则g 1 0 k 1 0 k 1 1 k 0 k的取值范围是 1 0 0 1 点评 本题是含参数单调性问题 是高考的重点和热点 解题中要注意数形结合思想 转化与化归思想 分类讨论思想等思想方法的运用 若在区间a上 f x 单调递增 减 则f x 0 f x 0 在a上恒成立 转化思想的应用 构造法证明不等式 已知x 1 求证 x ln 1 x 分析 要证x ln 1 x 即证x ln 1 x 0 若令f x x ln 1 x 则问题转化为f x 0在 1 上恒成立 这样我们就可以利用导数研究f x 的单调性 利用单调性证明f x f x0 其中f x0 0 方法规律总结 1 用导数法证明不等式的一般步骤是 构造函数f x 求f x 判断f x 的符号 说明f x 的单调性 说明 或证明 f x0 0 或f x0 0 或f x0 x0 或xf x0 或f x f x0 及f x 的单调性下结论 2 构造函数 利用导数确定函数单调性 把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题 实现了复杂问题简单化 2 设f x x sinx x 0 f x 1 cosx 0对x 0 恒成立 函数f x x si