高考数学一轮总复习 第七章 第7节 立体几何中的向量方法课件.ppt

第七章立体几何与空间向量 第7节立体几何中的向量方法 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究立体几何中的应用 5 能用向量法解决空间的距离问题 要点梳理 1 用向量证明空间中的平行或垂直 1 直线的方向向量 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量 或共线 的向量 显然一条直线的方向向量有 个 2 若直线l 取直线l的方向向量a 则向量a叫做平面 的法向量 显然一个平面的法向量也有 个 它们是 向量 平行 无数 无数 共线 质疑探究 在求平面法向量时 所列方程组中有三个变量 但只有两个方程 如何处理 提示 给其中某一变量恰当赋值 求出该方程组的一组非零解 即可以作为平面法向量的坐标 3 用向量证明空间中的平行关系 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 或l1与l2重合 v1 v2 设直线l的方向向量为v 与平面 共面的两个不共线向量v1和v2 则l 或l 存在两个实数x y使v xv1 yv2 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 或l v u 设平面 和 的法向量分别为u1 u2 则 u1 u2 4 用向量证明空间中的垂直关系 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 v1 v2 v1 v2 0 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l v u 设平面 和 的法向量分别为u1和u2 则 u1 u2 u1 u2 0 2 用向量计算空间角和距离空间向量与空间角的关系 1 设异面直线l1 l2的方向向量分别为m1 m2 则l1与l2所成的角 满足cos cos m1 m2 2 设直线l的方向向量和平面 的法向量分别为m n 则直线l与平面 所成角 满足sin cos m1 m2 b 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 c 点面距的求法 基础自测 1 2015 西安模拟 若直线l的方向向量为a 1 1 2 平面 的法向量为u 2 2 4 则 a l b l c l d l与 斜交 解析 因为直线l的方向向量a 1 1 2 与平面 的法向量u 2 2 4 共线 则说明了直线与平面垂直 答案 b 2 设平面 的法向量为 1 2 2 平面 的法向量为 2 4 k 若 则k等于 a 2b 4c 4d 2 3 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面正方形abcd的中心 m是d1d的中点 n是a1b1的中点 则直线no am的位置关系是 a 平行b 相交c 异面垂直d 异面不垂直 答案 c 4 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab 2 bc aa1 1 则d1c1与平面a1bc1所成角的正弦值为 5 在四面体p abc中 pa pb pc两两垂直 设pa pb pc a 则点p到平面abc的距离为 解析 根据题意 可建立如图所示的空间直角坐标系p xyz 则p 0 0 0 a a 0 0 b 0 a 0 c 0 0 a 过点p作ph 平面abc 交平面abc于点h 则ph的长即为点p到平面abc的距离 典例透析 考向一用向量证明垂直或求异面直线所成的角例1 2015 湖北省八校联考 如图 直三棱柱abc a b c 的侧棱长为3 ab bc 且ab bc 3 点e f分别是棱ab bc上的动点 且ae bf 1 求证 无论e在何处 总有b c c e 2 当三棱锥b eb f的体积取得最大值时 求异面直线a f与ac所成角的余弦值 思路点拨 1 借助于线面关系证明b c 面abc 从而可证b c c e 当vb eb f为最大值确定e f 的位置 解三角形求角的余弦值 2 以b为原点建系 用向量求解 法一 1 证明 由题意知 四边形bb c c是正方形 连接ac bc 则b c bc 又ab bc bb ab ab 平面bb c c b c ab b c 平面abc 又c e 平面abc b c c e 活学活用1 2015 郑州第一次质检 如图 正方形adef和等腰梯形abcd垂直 已知bc 2ad 4 abc 60 bf ac 1 求证 ac 平面abf 2 求异面直线be与ac所成的角的余弦值 1 证明 因为平面adef 平面abcd 平面adef 平面abcd ad af ad af 平面adef 所以af 平面abcd 故af ac 又bf ac af bf f 所以ac 平面abf 2 解 由 1 得af ab ac两两垂直 则以a点为坐标原点 思路点拨立体几何题目一般有两种思路 传统法和向量法 传统法是借助立体几何中的相关定义 定理 通过逻辑推理证明来完成 1 要证明线面平行 根据判定定理可通过证明线线平行来实现 2 求二面角要先找到或作出二面角的平面角 再通过解三角形求解 向量法则是通过建立空间直角坐标系 求出相关的坐标 利用向量的计算完成证明或求解 直线一般求其方向向量 平面一般求其法向量 1 只要说明直线的方向向量与对应平面的法向量垂直即可 2 二面角的大小即为两个平面的法向量的夹角或其补角 图 1 图 2 拓展提高本题法一采用了传统法 在第二问中要作出c bm d的平面角 这里采用了棱bm的垂面 面cgh 法 作 证 算于一体 二面角的做法一直是个难点 不如建系用向量方法求简单 如方法二 活学活用2 2014 四川高考 三棱锥a bcd及其侧视图 俯视图如图所示 设m n分别为线段ad ab的中点 p为线段bc上的点 且mn np 1 证明 p是线段bc的中点 2 求二面角a np m的余弦值 1 证明 如图所示 取bd的中点o 连接ao co 由侧视图及俯视图知 abd bcd为正三角形 所以ao bd oc bd 因为ao oc 平面aoc 且ao oc o 所以bd 平面aoc 考向三用向量求线面角例3 2014 福建高考 在平面四边形abcd中 ab bd cd 1 ab bd cd bd 将 abd沿bd折起 使得平面abd 平面bcd 如图所示 1 求证 ab cd 2 若m为ad中点 求直线ad与平面mbc所成角的正弦值 思路点拨 1 转化为证明ab 平面bcd 2 利用坐标法 1 证明 平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd ab 平面abd ab bd ab 平面bcd 又cd 平面bcd ab cd 2 解 过点b在平面bcd内作be bd 活学活用3 2015 东北三校模拟 如图 四棱锥p abcd中 pd 平面abcd pd dc 2ad ad dc bcd 45 1 设pd中点为m 求证 am 平面pbc 2 求pa与平面pbc所成角的正弦值 活学活用4 2015 天津南开调研 在直三棱柱中 aa1 ab bc 3 ac 2 d是ac的中点 1 求证 b1c 平面a1bd 2 求点b1到平面a1bd的距离 规范答题7向量法求空间角典例 本小题满分12分 如图 已知在长方体abcd a1b1c1d1中 ab 2 aa1 1 直线bd与平面aa1b1b所成的角为30 ae垂直bd于点e f为a1b1的中点 1 求异面直线ae与bf所成角的余弦值 2 求平面bdf与平面aa1b所成二面角 锐角 的余弦值 审题视角 1 研究的几何体为长方体 ab 2 aa1 1 2 所求的是异面直线所成的角和二面角 3 可考虑用空间向量法求解 满分展示 解 1 以a为坐标原点 以ab ad aa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 2分 答题模板 利用向量求空间角的步骤 第一步 建立空间直角坐标系 第二步 确定点的坐标 第三步 求向量 直线的方向向量 平面的法向量 坐标 第四步 计算向量的夹角 或函数值 第五步 将向量夹角转化为所求的空间角 第六步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 提醒 1 利用向量求角是高考的热点 几乎每年必考 主要是突出向量的工具性作用 2 本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴 导致建系不规范 3 将向量的夹角转化成空间角时 要注意根据角的概念和图形特征进行转化 否则易错 思维升华 方法与技巧 1 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路 一种是用向量表示几何量 利用向量的运算进行判断 另一种是用向量的坐标表示几何量 共分三步 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量 或坐标 表示问题中所涉及的点 线 面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 线 面之间的位置关系 3 根据运算结果的几何意义来解释相关问题 2 利用向量求角 各类角都可以转化为向量的夹角来运算 1 求两异面直线a b的夹角 须求出它们的方向向量a b的夹角 则cos cos a b 2 求直线l与平面 所成的角 可先求出平面 的法向量n与直线l的方向向量a的夹角 则sin cos n a 3 求二面角 l 的大小 可先求出两个平面的法向量n1 n2所成的角 则 n1 n2 或 n1 n2 3 求点到平面的距离 若用向量知识 则离不开以该点为端点的平面的斜线段 失误与防范 1 用向量知识证明立体几何问题 仍然离不开立体几何中的定理