高考数学大一轮复习 2.5指数与指数函数课件 理 苏教版.ppt

2 5指数与指数函数 数学苏 理 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 分数指数幂 1 规定 正数的正分数指数幂的意义是 a 0 m n n 且n 1 正数的负分数指数幂的意义是 a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 没有意义 0 2 有理数指数幂的运算性质 aras ar s ab r 其中a 0 b 0 r s q ar s ars arbr 2 指数函数的图象与性质 r 0 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 4 4 2 3 函数y a x是r上的增函数 4 函数y a 1 的值域是 0 5 函数y 2x 1是指数函数 6 函数y 1 x的值域是 0 解析 令t 2x 0 x 2 1 t 4 题型一指数幂的运算 思维点拨 解析 思维升华 题型一指数幂的运算 可先将根式化成分数指数幂 再利用幂的运算性质进行计算 思维点拨 解析 思维升华 题型一指数幂的运算 解原式 思维点拨 解析 思维升华 题型一指数幂的运算 1 指数幂的运算首先将根式 分数指数幂统一为分数指数幂 以便利用法则计算 还应注意 必须同底数幂相乘 指数才能相加 运算的先后顺序 思维点拨 解析 思维升华 题型一指数幂的运算 2 当底数是负数时 先确定符号 再把底数化为正数 3 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 可先将根式化成分数指数幂 再利用幂的运算性质进行计算 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 1 指数幂的运算首先将根式 分数指数幂统一为分数指数幂 以便利用法则计算 还应注意 必须同底数幂相乘 指数才能相加 运算的先后顺序 思维点拨 解析 思维升华 2 当底数是负数时 先确定符号 再把底数化为正数 3 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 思维点拨 解析 思维升华 2x2y 2 题型二指数函数的图象和性质 例2 1 函数f x ax b的图象如图所示 其中a b为常数 则下列结论正确的是 a 1 b1 b 0 00 0 a 1 b 0 答案 思维升华 解析 题型二指数函数的图象和性质 例2 1 函数f x ax b的图象如图所示 其中a b为常数 则下列结论正确的是 a 1 b1 b 0 00 0 a 1 b 0 由f x ax b的图象可以观察出函数f x ax b在定义域上单调递减 所以0 a 1 函数f x ax b的图象是在f x ax的基础上向左平移得到的 所以b 0 答案 思维升华 解析 题型二指数函数的图象和性质 例2 1 函数f x ax b的图象如图所示 其中a b为常数 则下列结论正确的是 a 1 b1 b 0 00 0 a 1 b 0 由f x ax b的图象可以观察出函数f x ax b在定义域上单调递减 所以0 a 1 函数f x ax b的图象是在f x ax的基础上向左平移得到的 所以b 0 答案 思维升华 解析 对与指数函数有关的函数的图象的研究 往往利用相应指数函数的图象 通过平移 对称变换得到其图象 题型二指数函数的图象和性质 例2 1 函数f x ax b的图象如图所示 其中a b为常数 则下列结论正确的是 a 1 b1 b 0 00 0 a 1 b 0 答案 思维升华 解析 例2 2 已知函数f x 2 2x m m为常数 若f x 在区间 2 上是增函数 则m的取值范围是 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 解析 例2 2 已知函数f x 2 2x m m为常数 若f x 在区间 2 上是增函数 则m的取值范围是 而y 2t为r上的增函数 所以要使函数f x 2 2x m 在 2 上单调递增 所以m的取值范围是 4 答案 思维升华 解析 例2 2 已知函数f x 2 2x m m为常数 若f x 在区间 2 上是增函数 则m的取值范围是 而y 2t为r上的增函数 所以要使函数f x 2 2x m 在 2 上单调递增 所以m的取值范围是 4 答案 思维升华 解析 例2 2 已知函数f x 2 2x m m为常数 若f x 在区间 2 上是增函数 则m的取值范围是 4 对复合函数的性质进行讨论时 要搞清复合而成的两个函数 然后对两层函数分别进行研究 答案 思维升华 解析 例2 2 已知函数f x 2 2x m m为常数 若f x 在区间 2 上是增函数 则m的取值范围是 4 跟踪训练2 1 若函数y 2 x 1 m的图象不经过第一象限 则m的取值范围是 y 2 x 1 m的图象过点 0 2 m 令2 m 0得m 2 2 2 若函数f x ax 1 a 0且a 1 的定义域和值域都是 0 2 则实数a a2 1 2 即a 当0 a 1时 x 0 2 y a2 1 0 此时定义域与值域不一致 无解 综上 a 解析 思维升华 解函数y 3x 1 的图象是由函数y 3x的图象向下平移一个单位后 再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的 函数图象如图所示 解析 思维升华 当k 0时 直线y k与函数y 3x 1 的图象无交点 即方程无解 当k 0或k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有唯一的交点 所以方程有一解 解析 思维升华 当0 k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有两个不同的交点 所以方程有两解 解析 思维升华 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提 方程f x g x 解的个数即为函数y f x 和y g x 图象交点的个数 解决有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数 搞清复合函数的结构 解析 思维升华 解析 思维升华 例3 2 已知定义在r上的函数f x 2x 若f x 求x的值 若2tf 2t mf t 0对于t 1 2 恒成立 求实数m的取值范围 解 当x 0时 f x 0 无解 例3 2 已知定义在r上的函数f x 2x 若f x 求x的值 若2tf 2t mf t 0对于t 1 2 恒成立 求实数m的取值范围 解析 思维升华 例3 2 已知定义在r上的函数f x 2x 若f x 求x的值 若2tf 2t mf t 0对于t 1 2 恒成立 求实数m的取值范围 2x 0 2x 2 即x 1 解析 思维升华 例3 2 已知定义在r上的函数f x 2x 若f x 求x的值 若2tf 2t mf t 0对于t 1 2 恒成立 求实数m的取值范围 即m 22t 1 24t 1 22t 1 0 m 22t 1 t 1 2 22t 1 17 5 故m的取值范围是 5 解析 思维升华 例3 2 已知定义在r上的函数f x 2x 若f x 求x的值 若2tf 2t mf t 0对于t 1 2 恒成立 求实数m的取值范围 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提 方程f x g x 解的个数即为函数y f x 和y g x 图象交点的个数 解决有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数 搞清复合函数的结构 解析 思维升华 跟踪训练3 1 如果函数y a2x 2ax 1 a 0 a 1 在区间 1 1 上的最大值是14 则a的值为 所以ymax a 1 2 2 14 解得a 3 负值舍去 跟踪训练3 1 如果函数y a2x 2ax 1 a 0 a 1 在区间 1 1 上的最大值是14 则a的值为 2 若关于x的方程 ax 1 2a a 0且a 1 有两个不等实根 则a的取值范围是 当0 a 1时 如图 1 则0 2a 1 即0 a 2 若关于x的方程 ax 1 2a a 0且a 1 有两个不等实根 则a的取值范围是 综上 0 a 易错警示系列4忽略对底数的讨论致误 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列4忽略对底数的讨论致误 1 误认为a 1 只按一种情况求解 而忽略了0 a 1的情况 从而造成失误 当底数不确定时应分类讨论 2 搞错或忽视x2 2x的范围造成失误 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列4忽略对底数的讨论致误 解令t x2 2x x 1 2 1 1 若a 1 函数f x at在 1 0 上为增函数 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列4忽略对底数的讨论致误 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列4忽略对底数的讨论致误 2 若0 a 1 函数f x at在 1 0 上为减函数 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列4忽略对底数的讨论致误 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列4忽略对底数的讨论致误 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列4忽略对底数的讨论致误 指数函数的底数不确定时 单调性不明确 从而无法确定其最值 故应分a 1和0 a 1两种情况讨论 易错分析 规范解答 温馨提醒 易错警示系列4忽略对底数的讨论致误 2 解决和指数函数有关的值域或最值问题时 要熟练掌握指数函数的单调性 搞清复合函数的结构 利用换元法求解时要注意新元的取值范围 易错分析 规范解答 温馨提醒 方法与技巧 1 通过指数函数图象比较底数大小的问题 可以先通过令x 1得到底数的值再进行比较 2 指数函数y ax a 0 a 1 的性质和a的取值有关 一定要分清a 1与0 a 1 3 对与复合函数有关的问题 要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成 失误与防范 1 恒成立问题一般与函数最值有关 要与方程有解区别开来 2 复合函数的问题 一定要注意函数的定义域 3 对可化为a2x b ax c 0或a2x b ax c 0 0 形式的方程或不等式 常借助换元法解决 但应注意换元后 新元 的范围 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 函数f x ax 2 1 a 0且a 1 的图象必经过点 2 2 解析 a0 1 f 2 2 故f x 的图象必过点 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 已知 0 71 3 m 1 30 7 m 则实数m的取值范围是 解析由0 71 30 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 若函数f x a 2x 4 a 0 a 1 满足f 1 则f x 的单调递减区间是 由于y 2x 4 在 2 上单调递减 在 2 上单调递增 所以f x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5 已知实数a b满足等式2015a 2016b 下列五个关系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的关系式有 个 解析设2015a 2016b t 如图所示 由函数图象 可得 1 若t 1 则有a b 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 若t 1 则有a b 0 3 若0 t 1 则有a b 0 故 可能成立 而 不可能成立 答案2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6 若指数函数y ax在 1 1 上的最大值与最小值的差是1 则底数a 解析若0 a 1 则a 1 a 1 若a 1 则a a 1 1 即a2 a 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7 已知正数a满足a2 2a 3 0 函数f x ax 若实数m n满足f m f n 则m n的大小关系为 解析 a2 2a 3 0 a 3或a 1 舍 函数f x 3x在r上递增 由f m f n 得m n m n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析令ax x a 0即ax x a 若0 a 1 显然y ax与y x a的图象只有一个公共点 8 若函数f x ax x a a 0 且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 1 若a 1 y ax与y x a的图象如图所示有两个公共点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9 已知函数f x a 2x b 3x 其中常数a b满足ab 0 1 若ab 0 判断函数f x 的单调性 解当a 0 b 0时 任意x1 x2 r x1 x2 f x1 f x2 0 函数f x 在r上是增函数 当a 0 b 0时 同理 函数f x 在r上是减函数 则f x1 f x2 a b 0 a 0 0 b 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 若abf x 时x的取值范围 解f x 1 f x a 2x 2b 3x 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10 已知函数f x b ax 其中a b为常数且a 0 a 1 的图象经过点a 1 6 b 3 24 1 试确定f x 解 f x b ax的图象过点a 1 6 b 3 24 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 得a2 4 又a 0且a 1 a 2 b 3 f x 3 2x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 则g x 在 1 上单调递减 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 1 设f x 3x 1 cf a f b 则下列关系式中一定成立的是 3c 3b 3b 3a 3c 3a 2 3c 3a 2 解析画出函数f x 的图象 易知c0 又f c f a 2 3 4 5 1 3c 1 3a 1 1 3c 3a 1 3c 3a 2