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空间向量的基本定理 一 复习提问 1 什么是空间共线向量 若空间向量的基线平行或重合 则这些向量叫做共线向量或平行向量 注 零向量与任一向量是共线向量 2 平行向量基本定理 作用 在平面内判定向量平行 共线 注 1 此为充要条件 3 共线向量且基线不重合时可证平行 一 共线向量定理 二 共面向量 平行于同一平面的向量 注意 空间任意两个向量是共面的 但空间任意三个向量就不一定共面的了 1 向量与平面平行 2 共面向量 3 共面向量定理 如果两个向量不共线 则向量与向量共面的充要条件是存在唯一实数对使 三个向量共面 又称这三个向量线性相关 反之 如果三个向量不共面 则称这三个向量线性无关 4 共面向量定理等价说法 作用 作为证明点在面内或四点共面的理论依据 归纳小结 空间四点p m a b共面 空间任一向量能用几个不共面的向量来线性表示呢 由二维到三维 由平面到立体 推广 平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线向量来线性表示 三 空间向量分解定理 如果三个向量不共面 那么对空间任一向量 存在一个唯一的有序实数组 x y z 使 a b d c o 证明存在性 将三个不共面向量平移到同一起点o 作 e 下证唯一性 基本概念 3 基向量 基底中的每一个向量叫基向量 单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时 称这个基底为单位正交基底 通常用表示 解释说明 1 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 2 三个不共面向量说明它们都不是零向量 零向量与任意非零向量共线 零向量与任意两个非零向量共面 3 基底与基向量的区别 基底是不共面三个向量构成的一个向量组 基向量是基底中的某个向量 4 如果空间的一个基底确定了 空间中的任意一个向量都可以由这个基底的线性组合生成 所以空间所有向量构成的集合为 o a b c p p p 说明 1 可以根据空间向量基本定理确定空间任意一点的位置 这样 就建立了空间任意一点与惟一的有序实数组 x y z 之间的关系 从而为空间向量的坐标运算作准备 也为用向量方法解决几何问题提供了可能 2 推论中若x y z 1 则必有p a b c四点共面 知识运用 共线 共面 解 例4 已知空间四边形oabc 对角线ob ac m和n分别是oa bc的中点 点g在mn上 且使mg 2gn 试用基底表示向量 o a b c m n g 解 在 omg中 三 巩固练习 b c d a a c d b q n m
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