浙江省中考数学总复习 第四章 基本图形(一)第19讲 特殊三角形 第2课时 直角三角形讲解篇.doc

第2课时直角三角形直角三角形考试内容考试要求概念有一个角是的三角形叫做直角三角形a性质如图，在abc中，c90.1边与边的关系(勾股定理)：a2b2；2角与角的关系：ab；3边与角的关系：若a30，则ac，bc；若ac，则a30；若a45，则abc；若ac，则a45；4斜边上的中线mcr(其中r为三角形外接圆的半径)c判定1.有一个角是或两个锐角的三角形是直角三角形2如果三角形一边上的中线等于这条边的，那么这个三角形为直角三角形3勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的等于第三边的，那么这个三角形是直角三角形拓展1.srtabcchab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；2rtabc内切圆半径r；外接圆半径r，即等于斜边的一半考试内容考试要求基本方法面积法：用面积法证题是常用的方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论如chab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；c1 (2017绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()a0.7米 b1.5米 c2.2米 d2.4米2(2017温州)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形abcd，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为s的小正方形efgh.已知am为rtabm较长直角边，am2ef，则正方形abcd的面积为()a12s b10s c9s d8s第2题图3 (2016柳州模拟)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行()第3题图a8米 b10米 c12米 d14米4 (2016大连模拟)如图，abc中，abac8，bc6，ad平分bac交bc于点d，点e为ac的中点，连结de，则cde的周长为()a10 b11 c12 d135(2016安顺模拟)如图，在rtabc中，c90，ab13，ac7，则sinb.【问题】如图，点d是rtabc斜边的中点(1)你能从图中得到哪些信息？(2)若a40，则dbc；(3)若bd5，ab8，则bc.【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理直角三角形有关知识类型一直角三角形的性质与判定(1)如图，在rtabc中，acb90，若a46，则b的度数为_；若a3b，则b_；若b30，d为线段ab的中点，cd6，则acd_；ab_；bc_(2) 如图，已知aod30，点c是射线od上的一个动点在点c的运动过程中，aoc恰好是直角三角形，则此时a所有可能的度数为_【解后感悟】根据直角三角形的性质、以及斜边上中线性质、含30角的直角三角形性质是解此题的关键，解题时注意分类讨论的运用1(1)(2016黑龙江模拟)已知三组数据：2，3，4；3，4，5；1，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有()a b c d(2)(2016牡丹江模拟)如图，cd是rtabc斜边ab上的高，将bcd沿cd折叠，b点恰好落在ab的中点e处，则a等于()a25 b30 c45 d602(1)(2017丽水模拟)如图，在rtabc中，a30，de垂直平分斜边ac，交ab于d，e为垂足，连结cd，若bd1，则ac的长是_ 第(1)题图 第(2)题图 第(3)题图(2)(2017衢州模拟)如图，abc中，cdab于d，e是ac的中点若ad6，de5，则cd的长等于.(3)(2015福州)如图，在rtabc中，abc90，abbc，将abc绕点c逆时针旋转60，得到mnc，连结bm，则bm的长是.类型二直角三角形的分类讨论(2016大连模拟)如图，在abc中，abbc4，aobo，p是射线co上的一个动点，aoc60，则当pab为直角三角形时，ap的长为.【解后感悟】本题主要考查了勾股定理，含30直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键3 (2016山西模拟)如图，在直角坐标系中，抛物线yx2x2过a、b、c三点，在对称轴上存在点p，以p、a、c为顶点的三角形为直角三角形则点p的坐标是.4(2016安定模拟)如图，在abc中，abac10厘米，bc12厘米，点p从点a出发，沿ab边以1厘米/秒的速度向点b匀速移动；点q从点b出发，沿bc边以2厘米/秒的速度向点c匀速移动如果p、q同时出发，当q点到达c点时，p点随之停止运动用t(秒)表示移动的时间(0t6)(1)当pqac时，求t的值；(2)当t为何值时，p、b、q三点构成直角三角形类型三勾股定理的应用(2016孝感)如图是我国汉代数学家赵爽在注解周脾算经时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形abcd的面积是小正方形efgh面积的13倍，那么tanade的值为_【解后感悟】此题中没有具体的数，故先设未知数，根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解5(1)下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是()a7，24，25 b4，5，6 c5，12，13 d2，1.5，2.5(2) (2016株洲)如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足s1s2s3图形个数有()a1 b2 c3 d4(3)如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为()a600m b500m c400m d300m(4)如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成(内角不是直角)的菱形abcd，也可以拼成正方形efgh，则菱形abcd面积和正方形efgh面积之比为_类型四直角三角形的探究问题(2016桂林模拟)如图1，在abc中，acb90，acbc，点d在ac上，点e在bc上，且cdce，连结de.(1)线段be与ad的数量关系是_，位置关系是_(2)如图2，当cde绕点c顺时针旋转一定角度后，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由(3)绕点c继续顺时针旋转cde，当90180时，延长dc交ab于点f，请在图3中补全图形，并求出当af1时，旋转角的度数【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，通过添加适当的辅助线，从而能用(1)(2)中积累的经验去解决第(3)题它是中考的热点题型6(1)(2016锦州模拟)如图，两块完全相同的含30角的直角三角板abc和abc重合在一起，将三角板abc绕其顶点c按逆时针方向旋转角(090)，有以下四个结论：当30时，ac与ab的交点恰好为ab的中点；当60时，ab恰好经过点b；在旋转过程中，存在某一时刻，使得aabb；在旋转过程中，始终存在aabb.其中结论正确的序号是.(2) (2015宿迁)如图，在平面直角坐标系中，点p的坐标为(0，4)，直线yx3与x轴、y轴分别交于点a，b，点m是直线ab上的一个动点，则pm长的最小值为.类型五直角三角形的综合运用(2016吉林)如图，在等腰直角三角形abc中，bac90，ac8cm，adbc于点d，点p从点a出发，沿ac方向以cm/s的速度运动到点c停止，在运动过程中，过点p作pqab交bc于点q，以线段pq为边作等腰直角三角形pqm，且pqm90(点m，c位于pq异侧)设点p的运动时间为x(s)，pqm与adc重叠部分的面积为y(cm2)(1)当点m落在ab上时，x_；(2)当点m落在ad上时，x_；(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围【解后感悟】本题考查等腰直角三角形的性质、分段函数、三角形面积等知识，解题的关键是正确画出图象，学会分类讨论7 (1)(2016陕西)如图，在abc中，abc90，ab8，bc6.若de是abc的中位线，延长de交abc的外角acm的平分线于点f，则线段df的长为()a7 b8 c9 d10(2) (2016淄博)如图，正方形abcd的边长为10，agch8，bgdh6，连结gh，则线段gh的长为()a. b2 c. d105(3)(2016邵阳模拟)如图，在等腰rtoaa1中，oaa190，oa1，以oa1为直角边作等腰rtoa1a2，以oa2为直角边作等腰rtoa2a3，则oa2016的长度为.【课本改变题】教材母题浙教版八上第87页，目标与评定第28题小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题进行了认真的探索【思考题】如图，一架2.5米长的梯子ab斜靠在竖直的墙ac上，这时b到墙c的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点b将向外移动多少米？(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点b将向外移动x米，即bb1x，则b1cx0.7，a1cacaa10.42.而a1b12.5，在rta1b1c中，由b1c2a1c2a1b得方程，解方程得x1，x2，点b将向外移动米(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从a处沿墙ac下滑的距离与点b向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题【方法与对策】这题是探究性问题，通过课本中作业完成后，进行引申，用方程的思想继续分析、探究，解决提出的猜想导向性：一方面要求同学们作业之后要反思，另一方面要求老师进行变式教学，这是中考热点题型【忽视直角三角形中直角边不明确】(2016包头模拟)已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为_参考答案第2课时直角三角形【考点概要】直角c290直角互余一半平方和平方【考题体验】1c2.c3.b4.b5.【知识引擎】【解析】(1)如：ab2bc2ac2，bdac，aabd等；(2)50；(3)6.【例题精析】例1(1)4422.560126(2)60或90例2当abp90时(如图1)，aocbop60，bpo30，bp2，在直角三角形abp中，ap2.当apb90时，分两种情况讨论：情况一，如图2，aobo，pobo，aoc60，bop60，bop为等边三角形，abbc4，apabsin6042；情况二：如图3，aobo，apb90，poao，aoc60，aop为等边三角形，apao2，故答案为：2或2或2. 例3设小正方形efgh面积是a2，则大正方形abcd的面积是13a2，小正方形efgh边长是a，则大正方形abcd的面积是a，图中的四个直角三角形是全等的，aedh，设aedhx，在rtaed中，ad2ae2de2，即13a2x2(xa)2，解得：x12a，x23a(舍去)，ae2a，de3a，tanade，故答案为：.例4(1)acbc，cdce，bead，acb90，acbc，bead.(2)仍然成立如图2，延长be交ad于点m.在bce和acd中，bcac，bceacd，cecd，bceacd.bead.12，cadcbe，ambacb90.即bead. (3)如图3，过点c作cnab于点n，acbc，acb90，cnanab1，bcn45.af1，fnafan.在rtcnf中，tanfcn，fcn30.bcfbcnfcn15.fce90，bcebcffce105.当af1时，旋转角为105. 图2 图3例5(1)当点m落在ab上时，四边形amqp是正方形，此时点d与点q重合，apcp4，所以x4.故答案为4. (2)如图1中，当点m落在ad上时，作peqc于e.mqp，pqe，pec都是等腰直角三角形，mqpqpc，dqqeec，pead，ac8，pa，x.故答案为.(3)当0x4时，如图2中，设pm、pq分别交ad于点e、f，则重叠部分为pef，apx，efpex，yspefpeefx2.当4x时，如图3中，设pm、mq分别交ad于e、g，则重叠部分为四边形pegq.pqpc8x，pm162x，mepmpe163x，yspmqsmeg(8x)2(163x)2x232x64.当x8时，如图4中，则重合部分为pmq，yspmqpq2(8x)2x216x64.综上所述，y 图1 图2 图3 图4【变式拓展】1(1)d(2)b2.(1)2(2)8(3)13.或或或4.(1) pqac，pbqabc，即，解得t(秒)；(2)过点a作adbc于d，如图abac，adbc，bddcbc6.b90，p、b、q三点构成直角三角形情况有两种：pqb90，即pqad.，即，解得t(秒)；qpb90，而adb90，bb，bpqbda，即，解得t(秒)由、知，当t为秒或秒时，p、b、q三点构成直角三角形5.(1)b(2)d(3)b(4)6(1)(2)7.(1)b(2)b(3)21008【热点题型】【分析与解】(1)(x0.7)2222.52，0.8，2.2(舍去)，0.8. (2)不会是0.9