大一高数总结上册

姓名 班级 学号 1 8 第一章第一章 函数 极限 连续 小结 函数 极限 连续 小结 一 函数一 函数 1 1 邻域 邻域 以为中心的任何开区间开区间 U a U a a 2 2 定义域 定义域 tan 2 yxxk cot yxxk arctan 2 2 yxxR y arcsin 1 1 2 2 yxxy arccos 1 1 0 yxxy 二 极限二 极限 1 1 极限定义 极限定义 了解 若对于 当时 有 lim n n xa 0 NZ stnN n xa NoteNote n xan 当时 有 0 lim xx f xA 0 0 st 0 0 xx f xA NoteNote 0 f xAxx 当时 有 lim x f xA 0 0X stxX f xA NoteNote f xAx 2 2 函数极限的计算函数极限的计算 掌握 1 1 定理 定理 分段函数 分段函数 0 lim xx f xA 0 f x 0 f x 0 lim xx f xA 2 2 型 型 约公因子 有理化 比如 比如 0 0 2 3 1 1 lim 1 x x x 2 1 31 lim 2 x xx xx 重要极限 0 0 sinsin limlim1 xu x xu x xu x 等价无穷小因式代换 tan sin sinxxxx arcxx 1 cos x 2 1 2 x 11 n x 1 n xe1 x xln 1 x x 型 型 先通分 比如 比如 2 1 12 lim1 1 x xx 型 型 转化为无穷小 比如 比如 2 2 1 lim 2 x x xx 型 型 重要极限 1 11 0 0 lim 1lim 1 xu x xu x xu xe 3 3 无穷小量 无穷小量 无穷小 无穷小 无穷小 无穷小 有界量 无穷小 QQ374289236 姓名 班级 学号 2 8 比如比如 cos lim 2 x x x 4 4 函数极限与无穷小的关系 函数极限与无穷小的关系 抽象函 抽象函 00 lim lim0 xxxx f xAf xA 其中 数 数 5 5 微分中值定理 微分中值定理 比如 比如 第 3 章 f bf a f ba 1 arctanarctan1 lim 1 x x x 6 6 罗必达法则 罗必达法则 比如 比如 第 3 章 00 0 limlim 0 xxxx f xfx g xg x 2 0 tan lim sin x xx xx 3 3 数列极限的计算 数列极限的计算 夹逼原则 夹逼原则 222 111 lim 12 n nnnn 积分定义 积分定义 第五章 1 0 1 1 lim 11 n n i i xdx nn lim0 1 n n qq lim1 n n a 三 连续三 连续 1 1 函数在点函数在点处连续处连续 0 x 0 0 lim xx f xf x 一切初等函数在其定义域都是连续的 2 2 闭区间上函数连续的性质 闭区间上函数连续的性质 最大最小值定理 最大最小值定理 若在上连续 则在上一定有最大 最小值 f x a b f x a b 零点定理 零点定理 设 且 f xC a b 0f af b 至少有一点 使得 a b 0f 介值定理 介值定理 设 且 f xC a b f aA f bB AB 则对之间的任意常数 至少有一点 使得 A BC a b fC 四 间断点四 间断点 1 1 第一类间断点 第一类间断点 存在 0 f x 0 f x 若 则称为可去可去间断点 000 f xf xf x 0 x 若 则称为跳跃跳跃间断点 00 f xf x 0 x 2 2 第二类间断点 第二类间断点 至少一个不存在 0 f x 0 f x 若其中一个趋向 则称为无穷无穷间断点 0 x QQ374289236 姓名 班级 学号 3 8 若其中一个为振荡 则称为振荡振荡间断点 0 x 第二章第二章 导数与微分 小结 导数与微分 小结 一 导数的概念一 导数的概念 1 1 0 fx 0 lim x y x 00 0 lim x f xxf x x 00 0 lim h f xhf x h NoteNote 该定义主要用于相关定理的分析与证明 导函数求导公式 fx 0 lim h f xhf x h 2 2 分段函数在分段点处可导性判别 分段函数在分段点处可导性判别 定理 定理 在处可导在处即左可导 又右可导 f x 0 x f x 0 x 0 fx 0 0 0 lim xx f xf x xx 0 fx 0 0 0 lim xx f xf x xx 3 3 导数的几何意义 切线斜率导数的几何意义 切线斜率 即 0 kfx 当时 曲线在点处的切线 法线方程为 0 fx 00 xy 切线方程 法线方程 000 yyfxxx 00 0 1 yyxx fx 二 导数的运算二 导数的运算 1 1 四则运算 四则运算 00 u xv xu xv x u x v xu x v xu x v x 2 u xu x v xu x v x v xvx 2 2 反函数求导 反函数求导 互为反函数 则 yf x xy 1 fx y 3 3 复合函数求导 复合函数求导 则 yfx d d y f ux x 4 4 隐函数求导 隐函数求导 两边关于两边关于求导 把求导 把看成是看成是的函数的函数 0F x y xyx 5 5 参数方程参数方程 则 xx t yy t dydy dty tdydx dtdtdxdt dxx t 三 微分三 微分 1 1 微分的概念 微分的概念 若有成立 记作 00 yf xxf x dy A xox dyA x QQ374289236 姓名 班级 学号 4 8 NoteNote dyA xAdxfx dx yf x dyfx dx 2 2 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 1 1 近似计算 近似计算 000 f xf xfxxx 第三章第三章 微分中值定理及导数的应用微分中值定理及导数的应用 一 微分中值定理一 微分中值定理 1 1 罗尔 罗尔 Rolle Rolle 中值定理中值定理 内至少存在一点 使得 a b 0f NoteNote 证明导函数根的存在性 证明原函数根的唯一性 2 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 在内至少存在一点 使得 a b f bf a f ba NoteNote 把用做代换 求极限 f bf a ba f 由建立不等式 用于证明不等式 ab 3 3 柯西中值定理 柯西中值定理 在内至少存在一点 使得 a b ff bf a gg bg a NoteNote 用于说明洛必达法则 二 洛必达法则二 洛必达法则 1 可结合两个重要极限 等价无穷小代换 约公因子等方法灵活运用 2 若 不为分式 可通过令 创造分式 1 x t 比如 比如 2 1 lim ln 1 x xx x 三 函数图形的描绘三 函数图形的描绘 1 写定义域 研究的奇偶性 周期性 f x 2 求 fx fx 3 令可疑极值点 可疑拐点 0 fx fx 不 1 x 0 fx fx 不 2 x 4 补充个别特殊点 求渐近线 lim x f xC 0 lim xx f x 5 列表分析单调性 凹凸性 拐点 极值点 6 画图 0 0 0 0 0 0 1 通分取倒数取对数 QQ374289236 姓名 班级 学号 5 8 111222 xxxxxxx f x fx fx 极值点 拐点 五 最值的计算五 最值的计算 1 求在内的可疑极值点 f x a b 12 m xxx 2 最大值 12 max m Mf xf xf xf af b 特别的 特别的 1 在上只有一个可疑极值点 若此点取得极大值 则也是最大值点 f x a b 2 在上单调时 最值必在端点处达到 f x a b 3 对应用问题 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 第四章第四章 不定积分不定积分 一 不定积分 一 不定积分 d f xxF xC NoteNote 为积分常数不可丢 C d d f xxf x dx d F xxF xC d d df xg xxf xxg xx d dkf xxkf xx 几个常用的公式 dxx 1 1 1x C d x ax ln x a C a 1 dx x ln xC sec tan dxx x secxC csc cot dxx x cscxC 二 二 换元积分法 换元积分法 1 1 d d ux fxxxf uu NoteNote 常见凑微分 2 111 2 ln 2 dxd xcxdxd xcdxdxcdxdxc xx QQ374289236 姓名 班级 学号 6 8 2 2 11 tan cot arcsin cos 1 1 dxd arcxd arcxdxdxd arcx x x 适用于被积函数为两个函数相乘的情况 若被积函数为一个函数 比如 若被积函数多于两个 比如 要分成两类 2 1 d x ex 4 sin cos d 1 sin xx x x 一般选择 简单 熟悉 的那个函数写成 x 若被积函数为三角函数偶次方 降次 奇次方 拆项 2 2 d d ux f uufxxx NoteNote 常见代换类型 d n f xaxbx n taxb 22 df xxax secxat 22 df xaxx sinxat 22 df xaxx tanxat d x f ax x ta d ax b n cx d f xx ax b n cx d t 三 分部积分法 三 分部积分法 duvx uv u v dx NoteNote 按 反对幂指三反对幂指三 的顺序 谁在前谁为u 要比容易计算 u v uv 适用于两个异名函数相乘的情况 若被积函数只有一个 比如 arcsin1xdx x edx tx 多次使用分部积分法 uuu vv v 求导 积分 三 三 有理函数的积分有理函数的积分 1 1 假分式 多项式 真分式 P x Q x 2 2 真分式 拆成 若干部分分式之和 NoteNote 拆项步骤 拆项步骤 将分母分解 Q x 2 xa 22 xp xq 2 40pq 根据因式的情况将真分式拆成分式之和 1121122 2222 P xAAB xCB xC Q xxaxp xqxp xq xa 3 3 逐项积分逐项积分 QQ374289236 姓名 班级 学号 7 8 注 有时一个题目会用到几种积分方法 要将所有的方法灵活运用 融会贯通 注 有时一个题目会用到几种积分方法 要将所有的方法灵活运用 融会贯通 第五章第五章 定积分定积分 一 一 定积分的概念及性质定积分的概念及性质 1 1 定义 定义 其中 0 1 lim n b ii a i f x dxfx i ba i n 2 2 几何意义 几何意义 曲边梯形面积 0 d b a f xf xx 曲边梯形面积的负值 0 d b a f xf xx 3 3 性质 性质 1 1 d d ba ab f xxf xx d0 a a f xx 2 2 d b a x ba 3 3 d d bb aa k f xxkf xx 4 4 d d d bbb aaa f xg xxf xxg xx 5 5 d d d bcb aac f xxf xxf xx 6 6 若在上 则 a b 0f x d0 b a f xx 7 7 设设 则 则 max min a ba b Mf xmf x d b a m baf xxM ba 8 8 积分中值定理 积分中值定理 d b a f xxfba a b 4 4 变上限函数 变上限函数 d x a xf tt NoteNote d d d b x f tt x f x d d d x a f tt x fxx d d d x x f tt x d d d d ax xa f ttf tt x fxxfxx 5 5 牛顿牛顿 莱布尼茨公式 莱布尼茨公式 d b b a a f xxF xF bF a 二 二 定积分的计算定积分的计算 1 换元积分 换元积分 换元必须换限 无需变量回代 凑微分不必换限 2 2 分部积分 分部积分 uv bb b a aa uv dxu vdx QQ374289236 姓名 班级 学号 8 8 3 3 若若为奇函数 为奇函数 则 f x 0 a a f x dx 若若为偶函数 为偶函数 则 f x 0 2 aa a f x dxf x dx 4 4 广义积分 广义积分 lim lim aaa bbbba f x dxf x dxf x dxf x dx 三 三 定积分的应用定积分的应用 1 1 平面图形的面积平面图形的面积 直角坐标 直角坐标 d b a Af xx 推广推广