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。多元函数的极限与连续习题1. 用极限定义证明:。2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）；(2) ；(3) ；(4) 。3. 求极限 （1）； （2）； （3）； （4）。4. 试证明函数在其定义域上是连续的。1. 用极限定义证明:。因为，不妨设，有， ，要使不等式 成立取，于是， ，：且 ，有，即证。2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）；， ，二重极限不存在。或 ， 。(2) ；可以证明 所以 。当，时，极限不存在，因此 不存在，同理 不存在。(3) ；，当 P(x, y)沿着趋于（0,0）时有 ， 所以 不存在；， 。 (4) ， ， 不存在。3. 求极限 （1）； ， 又 ， 。 （2）； 。 （3）； ，而 故 。 （4）。 令， 时，。4. 试证明函数在其定义域上是连续的。证明：显然f(x, y)的定义域是xy-1.当时，f(x, y)是连续的， 只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。 以下分两种情况讨论。（1） 在原点（0,0）处f(0, 0)=0, 当时,由于 不妨设 ， ，从而 ， 取，当时， ，于是，无论，当时，都有 （2） 在处。（当时， 当x=0时, ,注意到，当时 ，于是，无论， 当时 ，即 f(x, y)在在处连续，综上，f(x, y)在其定义域上连续。欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合
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