计算方法第四章矩阵特征值和特征向量的计算ppt课件

第四章矩阵特征值和特征向量的计算 工程实践中有多种振动问题 如桥梁或建筑物的振动 机械机件 飞机机翼的振动 及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题 但高次多项式求根精度低 一般不作为求解方法 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法 1 常用解法 1 乘幂法和反幂法2 求实对称矩阵特征值的雅可比方法3 求矩阵全部特征值的QR方法 2 4 1乘幂法和反幂法一 乘幂法 乘幂法主要是用来求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量 它是通过迭代产生向量序列 由此计算特征值和特征向量 3 4 5 6 二 乘幂法的加速 因为乘幂法的收敛速度是线性的 而且依赖于比值 当比值接近于1时 乘幂法收敛很慢 乘幂法加速有多种 重点介绍原点平移法 7 8 9 三 反幂法 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法 也是修正特征值 求相应特征向量的最有效的方法 10 反幂法规范后的计算格式 11 四 利用原点平移的反幂法求任一特征值和特征向量 12 4 2雅可比 Jacobi 方法 Jacobi方法是用来求实对称矩阵的全部特征值和对应特征向量的一个古典算法 Jacobi方法的基本思想是对矩阵A做一系列的正交相似变换 使其非对角元素收敛到零 从而使该矩阵近似为对角矩阵 得到全部特征值和特征向量 13 一 古典雅可比方法 14 15 16 17 18 19 20 21 Jacobi算法的基本思想 22 二 雅可比过关法 1 循环Jacobi方法 2 Jacobi过关法 23 多项式运算函数 r roots p 求多项式的零点p poly r 以r为零点的多项式p poly A A的特征多项式PA polyval p S 按数组运算规则 计算多项式的值其中S PA为矩阵PM polyvalm p S 按矩阵运算规则 计算多项式的值 其中S PM为矩阵p conv p1 p2 多项式的乘积 q r deconv p1 p2 多项式的除法 p1 p2p1 x p2 x q x r x 24 例 由给定根向量求多项式系数向量 R 0 5 0 3 0 4 i 0 3 0 4 i P poly R PPR poly2str P x P 1 00001 10000 55000 1250PPR x 3 1 1x 2 0 55x 0 125 25 例 求多项式的零点 r roots 1 615 2015 61 r 1 0042 0 0025i1 0042 0 0025i1 0000 0 0049i1 0000 0 0049i0 9958 0 0024i0 9958 0 0024i 注 尽管利用MATLAB使得从系数转换到零点或从零点转换到系数都非常容易 但是使用时一定要注意计算的精度 如果存在重根 这种转换可能会降低精度 对于数值计算 计算重根是最困难的问题之一 26 例 求3阶方阵A的特征多项式 A 111213 141516 171819 PA poly A PPA poly2str PA x PA 1 0000 45 0000 18 0000 0 0000PPA x 3 45x 2 18x 2 8387e 015 27 例 求的 商 及 余 多项式 p1 conv 1 0 2 conv 1 4 1 1 p2 1011 q r deconv p1 p2 cq 商多项式为 cr 余多项式为 disp cq poly2str q x disp cr poly2str r x 商多项式为x 5余多项式为5x 2 4x 3 28 dot x y 向量的内积norm 矩阵或向量范数det A 方阵的行列式 rank A 矩阵的秩 trace A 矩阵的迹 rref A 初等变换化矩阵A为阶梯矩阵inv A 矩阵的逆 即A 1pinv A 矩阵的广义逆A orth A 将A标准正交化cond A flag 矩阵的条件数 flag 2 1 inf fro 线性代数常用函数 29 d eig A 方阵的特征值 V D eig A A V V Dc condeig A 向量c中包含矩阵A关于各特征值的条件数 V D c condeig A 例 A 100 120 123 d eig A V D eig A C condeig A V D C condeig A 30 例 观察7阶随机矩阵特征值的分布a rands 7 7 产生7阶随机矩阵e eig a title 特征值的分布 plot real e imag e o xlabel 实轴 ylabel 虚轴 注 本例验证了如下定理 实方阵的特征值或为实数或呈共轭对出现 31 例 观察正交矩阵的特征值分布a rands 7 7 b orth a 构造一个正交矩阵theta 0 0 01 2 pi e eig b plot real