大一高数第一章 函数、极限与连续.doc

第一章 函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数.极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为，即；满足不等式的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为，即；满足不等式(或)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (或)，即 (或)，左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数，称为区间的端点.以上这些区间都称为有限区间.数称为区间的长度.此外还有无限区间：，等等. 这里记号“”与“”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”.邻域也是常用的一类区间.设是一个给定的实数，是某一正数，称数集:为点的邻域，记作.即称点为该邻域的中心，为该邻域的半径(见图1-1).称为的去心邻域，记作，即图1-1下面两个数集，分别称为的左邻域和右邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们用，分别表示的某邻域和的某去心邻域，分别表示的某左邻域和的某右邻域.二、函数的概念在高等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同一个过程中出现的各种彼此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复力与它的形变，等等.我们关心的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的一类依赖关系，称为函数关系.定义1 设，是两个实数集，如果有某一法则，使得对于每个数，均有一个确定的数与之对应，则称是从到内的函数.习惯上，就说是的函数，记作 其中，称为自变量，称为因变量，表示函数在处的函数值.数集称为函数的定义域，记为；数集称为函数的值域，记作.从上述概念可知，通常函数是指对应法则，但习惯上用“”表示函数，此时应理解为“由对应关系所确定的函数”.确定一个函数有两个基本要素，即定义域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表示使函数有意义的范围，即自变量的取值范围.在实际问题中，定义域可根据函数的实际意义来确定.例如，在时间的函数中，通常取非负实数.在理论研究中，若函数关系由数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有意义的自变量的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表示两个变量之间的一种对应关系.例如，气温曲线给出了气温与时间的对应关系，三角函数表列出了角度与三角函数值的对应关系.因此，气温曲线和三角函数表表示的都是函数关系.这种用曲线和列表给出函数的方法，分别称为图示法和列表法.但在理论研究中，所遇到的函数多数由数学公式给出，称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数都是用公式法表示的函数.从几何上看，在平面直角坐标系中，点集称为函数的图像（如图1-2所示）.函数的图像通常是一条曲线，也称为这条曲线的方程.这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨.现在我们举一个具体函数的例子.图1-2例1 求函数的定义域.解 要使数学式子有意义，必须满足 即 由此有 ，因此函数的定义域为.有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数.下面给出一些今后常用的分段函数.例2 绝对值函数 的定义域，值域，如图1-3所示.例3 符号函数的定义域，值域，如图14所示.图1-3 图1-4例4 最大取整函数，其中表示不超过x的最大整数.例如，等等.函数的定义域，值域.一般地，如图1-5所示.图1-5在函数的定义中，对每个，对应的函数值总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.若给定一个对应法则，对每个，总有确定的值与之对应，但这个不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多值函数.例如，设变量与之间的对应法则由方程给出，显然，对每个， 由方程可确定出对应的值，当或时，对应一个值；当时，对应的有两个值.所以这个方程确定了一个多值函数.对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，由方程给出的对应法则中，附加“”的条件，即以“且”作为对应法则，就可以得到一个单值分支；附加“”的条件，即以“且” 作为对应法则， 就可以得到一个单值分支. 在有些实际问题中，函数的自变量与因变量是通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系的，如高度为一定值的圆柱体的体积与其底面圆半径的关系，就是通过另外一个变量其底面圆面积建立起来的对应关系.这就得到复合函数的概念.定义2 设函数的定义域为，函数在上有定义，且.则由下式确定的函数，称为由函数与函数构成的复合函数，记作， 它的定义域为，变量称为中间变量.这里值得注意的是，不一定是函数的定义域，但.是中所有使得的实数的全体的集合.例如， .显然，的定义域为，而.因此，而此时.两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形.例如， 可看成由指数函数与复合而成.又形如的函数称为幂指函数，它可看成由与复合而成. 而可看成由，复合而成.例5 设，求解 令，则是通过两个中间变量和复合而成的复合函数，因为，；，所以 ，.定义3 设给定函数，其值域为.如果对于中的每一个值，都有只从关系式中唯一确定的值与之对应，则得到一个定义在上的以为自变量，为因变量的函数，称为函数的反函数，记为.从几何上看，函数与其反函数有同一图像.但人们习惯上用x表示自变量，表示因变量，因此反函数常改写成.今后，我们称为的反函数. 此时，由于对应关系未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数与直接函数的图像关于直线对称，如图 1 - 6所示.图1-6值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数的定义域为，值域为，但对每一个，有两个值即和与之对应，因此不是的函数，从而不存在反函数.事实上，由逆映射存在定理知，若是从到的一一映射，则才存在反函数.例6 设函数 ，求.解 函数可看成由，复合而成.所求的反函数可看成由，复合而成.因为，即，从而， ，所以 ，因此 .三、函数的几种特性1. 函数的有界性设函数在数集上有定义，若存在某个常数，使得对任一有（或），则称函数在上有上界（或有下界），常数称为在上的一个上界（或下界）；否则，称在上无上界（或无下界）.若函数在上既有上界又有下界，则称在上有界；否则，称在上无界.若在其定义域上有界，则称为有界函数.容易看出，函数在上有界的充要条件是：存在常数，使得对任一，都有.例如，函数在其定义域内是有界的，因为对任一都有，函数在内无上界，但有下界.从几何上看，有界函数的图像界于直线之间.2. 函数的单调性设函数在数集上有定义，若对中的任意两数，恒有 或，则称函数在上是单调增加（或单调减少）的.若上述不等式中的不等号为严格不等号，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的.在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图1-7所示.图1-7例如，函数在其定义域内是严格单调增加的；函数在内是严格单调减少的.从几何上看，若是严格单调函数，则任意一条平行于轴的直线与它的图像最多交于一点，因此有反函数.3. 函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称（即若，则必有.若对任意的，都有或，则称是上的奇函数（或偶函数）.奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于轴，如图111所示.图1-8例7 讨论函数的奇偶性.解 函数的定义域是对称区间，因为所以，是上的奇函数.4. 函数的周期性设函数的定义域为，若存在一个不为零的常数，使得对任意，有，且，则称为周期函数，其中使上式成立的常数称为的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数（如果存在的话）.例如，函数的周期为；的周期是.并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷（Dirichlet）函数任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期. 四、函数应用举例下面通过几个具体的问题，说明如何建立函数关系式.例8 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费（元）与重量（千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.解 当时，；当时，.所以函数关系式为：这是一个分段函数，其图像如图19所示.图1-9例9 某人每天上午到培训基地学习，下午到超市工作，晚饭后再到酒店服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃.位于一条平直的马路一侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km，酒店与超市相距5km，问该打工者在这条马路的与之间何处找一宿舍（设随处可找到），才能使每天往返的路程最短.解 如图1-10所示，设所找宿舍距基地为（km），用表示每天往返的路程函数.图1-10当位于与之间，即时，易知，当位于与之间，即时，则所以这是一个分段函数，如图1-11所示，在上，是单调减少，在上，是单调增加.从图像可知，在处，函数值最小.这说明，打工者在酒店处找宿舍，每天走的路程最短.图1-11五、基本初等函数初等数学里已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以上我们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的方便，下面我们再对这几类函数作一简单介绍.1. 幂函数函数 (是常数)称为幂函数.幂函数的定义域随的不同而异，但无论为何值，函数在内总是有定义的.当时，在上是单调增加的，其图像过点及点，图1-12列出了，时幂函数在第一象限的图像.当时，在上是单调减少的，其图像通过点，图1-13列出了，时幂函数在第一象限的图像.图1-12 图1-132. 指数函数函数(是常数且)称为指数函数.指数函数的定义域是，图像通过点，且总在轴上方.当时，是单调增加的；当时，是单调减少的，如图1-14所示.以常数为底的指数函数是科技中常用的指数函数.图1-143. 对数函数指数函数的反函数，记作（是常数且)，称为对数函数.对数函数的定义域为，图像过点.当时，单调增加；当时，单调减少，如图1-15所示.科学技术中常用以为底的对数函数，图1-15它被称为自然对数函数，简记作.另外以10为底的对数函数，也是常用的对数函数，简记作.4. 三角函数常用的三角函数有正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，其中自变量以弧度作单位来表示.它们的图形如图1-16，图1-17，图1-18和图1-19所示，分别称为正弦曲线，余弦曲线，正切曲线和余切曲线.图1-16图1-17正弦函数和余弦函数都是以为周期的周期函数，它们的定义域都为，值域都为.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.图1-18 图1-19由于，所以，把正弦曲线沿轴向左移动个单位，就获得余弦曲线.正切函数的定义域为.余切函数的定义域为.正切函数和余切函数的值域都是，且它们都是以为周期的函数，且都是奇函数.另外，常用的三角函数还有正割函数； 余割函数.它们都是以为周期的周期函数，且； .5. 反三角函数常用的反三角函数有反正弦函数 (如图1-20)；反余弦函数 (如图1-21)；反正切函数 (如图1-22)；反余切函数 (如图1-23).它们分别称为三角函数，和的反函数.这四个函数都是多值函数.严格来说，根据反函数的概念，三角函数，和在其定义域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数，有多个与之对应.但这些函数在其定义域的每一个单调增加（或减少）的子区间上存在反函数.例如，在闭区间上单调增加，从而存在反函数，称此反函数为反正弦函数的主值，记作y=arcsinx.通常我们称为反正弦函数.其定义域为，值域为.反正弦函数在上是单调增加的，它的图像如图1-20中实线部分所示.类似地，可以定义其他三个反三角函数的主值和，它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数.反余弦函数的定义域为，值域为，在上是单调减少的，其图像如图1-21中实线部分所示.反正切函数的定义域为，值域为，在上是单调增加的，其图像如图1-22中实线部分所示.反余切函数的定义域为，值域为，在上是单调减少的，其图像如图1-23中实线部分所示.图1-20 图1-21 图1-22 图1-23六、初等函数由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如， 等等都是初等函数.分段函数是按照定义域的不同子集用不同表达式来表示对应关系的，有些分段函数也可以不分段而表示出来，分段只是为了更加明确函数关系而已.例如，绝对值函数也可以表示成；函数 也可表示成.这两个函数也是初等函数.七、双曲函数与反双曲函数1. 双曲函数双曲函数是工程和物理问题中很有用的一类初等函数.定义如下：双曲正弦 ，双曲余弦 ，双曲正切 ，其图像如图1-24和图1-25所示图1-24 图1-25.双曲正弦函数的定义域为，它是奇函数，其图像通过原点且关于原点对称.在内单调增加.双曲余弦函数的定义域为，它是偶函数，其图像通过点且关于轴对称，在内单调减少；在内单调增加.双曲正切函数的定义域为，它是奇函数，其图像通过原点且关于原点对称.在内是单调增加的.由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成立.，.2. 反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数，和的反函数，依次记为反双曲正弦函数 ，反双曲余弦函数 ，反双曲正切函数 .反双曲正弦函数的定义域为，它是奇函数，在内单调增加，由的图像，根据反函数作图法，可得的图像，如图1-26所示.利用求反函数的方法，不难得到.反双曲余弦函数的定义域为，在上单调增加，如图1-27所示，利用求反函数的方法，不难得到.图1-26 图1-27反双曲正切函数的定义域为，它在内是单调增加的.它是奇函数，其图像关于原点对称，如图1-28所示.容易求得.图1-28第二节 数列的极限一、数列极限的定义定义1 如果函数的定义域，则函数f的值域中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，简称数列，即.通常数列也写成，并简记为，其中数列中的每个数称为一项，而称为一般项.对于一个数列，我们感兴趣的是当无限增大时，的变化趋势.我们看下列例子：数列 (121)的项随增大时，其值越来越接近1；数列 (122)的项随n增大时，其值越来越大，且无限增大；数列 (123)的各项值交替地取1与0；数列 (124)的各项值在数0的两边跳动，且越来越接近0；数列 (125)各项的值均相同.在中学教材中，我们已知道极限的描述性定义，即“如果当项数无限增大时，无穷数列的一般项无限地趋近于某一个常数（即无限地接近于0），那么就说是数列的极限”.于是我们用观察法可以判断数列，都有极限，其极限分别为.但什么叫做“无限地接近”呢？在中学教材中没有进行理论上的说明.我们知道，两个数与之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值来度量.在数轴上表示点与点之间的距离，越小，则与就越接近，就数列(1-2-1)来说，因为，我们知道，当越来越大时，越来越小，从而越来越接近1.因为只要足够大， 就可以小于任意给定的正数，如现在给出一个很小的正数，只要即可得，如果给定，则从10001项起，都有下面不等式成立.这就是数列，当时无限接近于的实质.一般地，对数列有以下定义.定义2 设为一数列，若存在常数对任意给定的正数(无论多么小)，总存在正整数，当时，有不等式即，则称数列收敛，称为数列当n时的极限，记为或.若数列不收敛，则称该数列发散.定义中的正整数与有关，一般说来，将随减小而增大，这样的也不是唯一的.显然，如果已经证明了符合要求的存在，则比这个大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，均表示正整数.此外，由邻域的定义可知，等价于.我们给“数列的极限为”一个几何解释：将常数及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点的邻域，即开区间，如图1-29所示图1-29因两个不等式 ， 等价，所以当时，所有的点都落在开区间内，而只有有限个点（至多只有个点）在这区间以外.为了以后叙述的方便，我们这里介绍几个符号，符号“”表示“对于任意的”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“”表示“存在”；符号“”表示数集中的最大数；符号“”表示数集中的最小数.数列极限的定义可表达为：，正整数，当时，有.例1 证明 .证 (不防设)，要使，只要，即.因此，取，则当时，有.由极限定义可知.例2 证明 .证 由于，故，要使，只要，即.因此，取，则当时，有.由极限定义可知.用极限的定义来求极限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的方法.二、数列极限的性质定理1（惟一性） 若数列收敛，则其极限惟一.证 设数列收敛，反设极限不惟一：即，且，不妨设，由极限定义，取，则，当时，即， （1-2-6），当时，即， (1-2-7)取，则当时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成立，显然矛盾.该矛盾证明了收敛数列的极限必惟一.定义3 设有数列，若存在正数，使对一切，有，则称数列是有界的，否则称它是无界的.对于数列，若存在常数，使对，有，则称数列有上界；若存在常数，使对，有，则称数列有下界.显然，数列有界的充要条件是既有上界又有下界.例3 数列有界；数列有下界而无上界；数列有上界而无下界；数列既无上界又无下界.定理2（有界性） 若数列收敛，则数列有界.证 设，由极限定义，且，当时，从而.取，则有，对一切，成立，即有界.定理2 的逆命题不成立，例如数列有界，但它不收敛.定理3（保号性） 若，（或），则，当时，（或）.证 由极限定义 ，对，当时，即，故当时，.类似可证的情形.推论 设有数列， ，当时， (或)，若，则必有 (或).在推论中，我们只能推出 (或)，而不能由 (或)推出其极限(若存在)也大于0(或小于0).例如，但.下面我们给出数列的子列的概念.定义4 在数列中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，称它为的一个子列.在选出的子列中，记第1项为，第2项为，第项为，则数列的子列可记为.表示在子列中是第项，表示在原数列中是第项.显然，对每一个，有；对任意正整数，如果，则；若，则由于在子列中的下标是而不是，因此收敛于的定义是：，当时，有.这时，记为 .定理4 的充要条件是：的任何子列都收敛，且都以a为极限.证 先证充分性.由于本身也可看成是它的一个子列，故由条件得证.下面证明必要性.由，当时，有.今取，则当时，有，于是.故有.定理4用来判别数列发散有时是很方便的.如果在数列中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言是发散的.例4 判别数列的收敛性.解 在中选取两个子列：，即；，即.显然，第一个子列收敛于，而第二个子列收敛于，因此原数列发散.三、收敛准则定义5 数列的项若满足，则称数列为单调增加数列；若满足，则称数列为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成立时，则分别称是严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准则 单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限.该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明.例5 证明数列收敛.证 根据收敛准则，只需证明单调增加且有上界（或单调减少且有下界）.由二项式定理，我们知道，逐项比较与的每一项，有，这说明数列单调增加，又 .即数列有界，由收敛准则可知收敛.我们将的极限记为，即.第三节 函数的极限函数概念反映了客观事物相互依赖的关系.它是从数量方面来描述这种关系，但在某些实际问题中，仅仅知道函数关系是不够的，还必须考虑在自变量按照某种方式变化时，相应的函数值的变化趋势，即所谓的函数极限，才能使问题得到解决.正如我们对数列极限的定义，数列可看做自变量为正整数的函数：， ，所以，数列的极限可视为函数极限的特殊类型.下面介绍函数极限的一般类型.一、时函数的极限当自变量的绝对值无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的只是自变量的变化可以是连续的.定义1 设函数在区间上有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么，称函数当x趋于+时极限存在并以为极限，记作 或 .在定义中正数的作用与数列极限定义中的正整数类似，说明足够大的程度，所不同的是，这里考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是自然数，因此，当时，函数以为极限意味着：的任何邻域必含有在某个区间的所有函数值.定义1的几何意义如图1-30所示，作直线和，则总有一个正数存在，使得当时，函数图形位于这两条直线之间.图1-30类似于定义1，我们定义趋于时函数的极限的概念，我们简述如下：设函数在区间上有定义，如果存在常数，使得当时，总有，则称当时极限存在并以为极限，记作 或 ().例1 证明.证 由于 ，故0，要使 ，只要，即.因此，可取，则当时， ，故 .例2 证明 .证 ，要使，只要.因此可取，当时，即有，故由定义1得.定义2 设函数当充分大时有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么，常数就称为函数当时的极限，记作 或 ().由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理.定理1 的充要条件是例3 证明.证 ，要使，只需，而，故只需，即.因此，可取，则当时，有，故由定义2得.二、时函数的极限对一般函数而言，除了考察自变量的绝对值无限增大时，函数值的变化趋势问题，还可研究无限接近时，函数值的变化趋势问题.它与时函数的极限类似，只是的趋向不同，因此只需对无限接近时的情形作出确切的描述即可.定义3 设函数在点的某个去心邻域内有定义，为常数，若对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足，则称函数当时的极限存在并以为极限，记作，或（时）.上述定义称为时函数极限的分析定义或时函数极限的“”定义.研究当的极限时，我们关心的是无限趋近时的变化趋势，而不关心在处有无定义、其值的大小如何，因此定义中使用了去心邻域.这就是说在处有无极限与函数在该点有没有定义无关.函数当时的极限为的几何解释如下：任意给定一正数，作平行于轴的两条直线和，介于这两条直线之间是一横条区域.根据定义，对于给定的，存在着点的一个邻域(，)，当的图形上的点的横坐标在邻域(，)内，但时，这些点的纵坐标f(x)满足不等式，或.亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如图1-31所示.图1-31例4 证明.证 函数在处无定义.，要找，使时，成立.因此，据上可取，则当时，成立，由定义1得.例5 证明.证 因为时，由于，所以 因此，取，则当时，成立，由定义3得.在考察函数当的极限时，应注意趋于点的方式是任意的，动点在轴上既可以从的左侧趋于，也可以从x0的右侧趋于，甚至可以跳跃式地时左时右地从左右两侧趋于.但在有些实际问题中，有时只能或只需考虑从点的一侧(或)趋于，这时函数的极限，即所谓的单侧极限.定义4 设函数在的某个右(左)邻域内有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在着正数，使得当满足不等式 ()时，对应的函数值都满足不等式则称为当时的右(左)极限，记作 或 .左极限与右极限统称为单侧极限.由定义3和定义4可得下面的结论.定理2 的充要条件是.由此可以看出，如果、中至少有一个不存在，或者它们虽然都存在，但不相等时就可以断言函数在x0处的极限不存在.这一方法常常用来讨论分段函数在分界点的极限不存在问题.例6 设试讨论.解 是此分段函数的分段点，仿照例5的方法可得，而 .故由定理3可得.例7 设试讨论.解 由于 ，所以，故不存在.例 8 设 问取何值时，可使极限存在？解 由于，由定理2可知，要使存在，必须，因此.三、函数极限的性质与数列极限性质类似，函数极限也具有下述性质，且其证明过程与数列极限相应定理的证明过程相似，有兴趣的读者可自行完成各定理的证明.此外，下面未标明自变量变化过程的极限符号“lim”表示定理对任何一种极限过程均成立.定理3 若存在，则必惟一.定理4 (函数的局部有界性)如果，那么存在常数和，使得当时，有.证 因为，根据函数极限的“”定义，取，则，当时，有，而，记，故.类似可证：如果，那么存在正常数和，使得当时，有.对于单侧极限也有类似的结论.另外，我们必须注意，该定理的逆命题是不成立的.例如为有界函数，但不存在.定理5 若，且（或），则存在，使得对一切满足不等式的，有 或.若，且(或)，则，使得对一切满足不等式的，有或.推论 若或，且，则.第四节 无穷大量与无穷小量有两种极限是数学理论研究和处理实际问题时经常遇到的，这就是本节要介绍的无穷大量和无穷小量的概念，尤其是无穷小量的概念非常有用.一、无穷大量在函数极限不存在的各种情形下，有一种较为特别的情形，即当或时，无限增大的情形. 例如，函数，当时， 无限增大这就是我们要介绍的无穷大量.定义1 设函数在的某一去心邻域内（或大于某一正数时）有定义，如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要满足不等式(或)，对应的函数值总满足不等式则称函数为当（或）时的无穷大量.有时简称为无穷大.若用代替上述定义中的，则得到正无穷大量的定义；若用代替，则得到负无穷大量的定义.分别将某极限过程中的无穷大量、正无穷大量、负无穷大量记作：.例1 ，即时， 是正无穷大量；，即时， 是负无穷大量；.应该注意，称一个函数为无穷大量时，必须明确地指出自变量的变化趋势.对于一个函数，一般来说，自变量趋向不同会导致函数值的趋向不同.例如函数，当时，它是一个无穷大量，而当时，它趋于零.由无穷大量的定义可知，在某一极限过程中的无穷大量必是无界变量，但其逆命题不成立.例如，函数在区间上无界，但这函数当时不是无穷大.二、无穷小量定义2 设函数在的某个去心邻域内(或大于某一正数时)有定义，如果对于任意给定的 （无论它多么小），总存在 (或)，使得当（或）时，有|成立，则称函数为（或）时的无穷小量.习惯上，我们往往把无穷小量说成是“极限为零的变量”，这使得它的判别与应用更加简单.例2 当时，是无穷小量，因为容易证明.当时，也是无穷小量，因为.下面的定理说明了无穷小量与函数极限的关系.定理1 的充要条件是，其中为该极限过程中的无穷小量.证 为方便起见，仅对的情形证明，其他极限过程可仿此进行.设，记，则，当时，即.由极限定义可知，即是时的无穷小量，且.反过来，若当时，是无穷小量，则，当时， ，即，由极限定义可知，.下面推导无穷大量与无穷小量之间的关系.定理2 在某极限过程中，若为无穷大量，则为无穷小量；反之，若为无穷小量，且，则为无穷大量.证 我们仅对的情形证明，其他情形仿此可证.设，则，令，则，当时，即，故为时的无穷小量.反之，若，且，则， 令，则， 当时， ，即，故为时的无穷大量.三、无穷小量的性质定理3 在某一极限过程中，如果，是无穷小量，则也是无穷小量.证 我们只证的情形，其他情形的证明类似.由于时，均为无穷小量，故，当时， (141)，当时， (142)取，则当时，（141）、（142）两式同时成立，因此.由无穷小量的定义可知，时，为无穷小量.推论 在同一极限过程中的有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.定理4 在某一极限过程中，若是无穷小量，是有界变量，则仍是无穷小量.证 我们只证时的情形，其他情形证法类似.设为时的有界量，则，当时，有，又因，则，对来说，当时，有，取，则当时，有.这就证明了当时，是无穷小量.例3 求.解 因为，且，故由定理4得.推论 在某一极限过程中，若为常数，和是无穷小量，则，均为无穷小量.这是因为和无穷小量均为有界变量，由定理4即可得此推论.此推论可推广到有限个无穷小量乘积的情形.定理5 在某一极限过程中，如果是无穷小量，以为极限，且，则仍为无穷小量.证 由定理4可知，只需证有界即可.我们仅对时进行证明，其他情形类似可证.因为，则对，当时，有，从而 ，故 ，即为的去心邻域内有界.第五节 极限的运算法则前面我们说过，用极限的定义来求极限是很不方便的.因此，需要寻求其他求极限的方法.本节我们将讨论有关极限的运算法则.一、极限的四则运算法则定理1 若，则(1) ；(2) ；(3) .证 我们仅证（2），（3），将（1）留给读者证明.因为，所以，其中，于是由第四节定理4及其推论可得.由（1）可知同理，对于式（3），只需证是无穷小量即可，因为 ，由第四节定理3，定理4的推论可知.由刚获证的式（2）可知.最后由第四节中的定理5，便得 .推论1 若存在，为常数，则 .这就是说，求极限时，常数因子可提到极限符号外面，因为.推论2 若存在，则例1 求.解 .例2 求，其中.解 由于分子分母的极限均为零，这种情形称为“”型，对此情形不能直接运用极限运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”.那么.例3 求.解 此极限仍属于“”型，可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”.例4 求.解 分子、分母均为无穷大量，这种情形称为“”型.对于它，我们也不能直接运用极限运算法则，通常应设法将其变形.例5 求.解 .例6 求.解 .二、复合函数的极限定理2 设函数是由复合而成，如果，且在的一个去心邻域内，又，则.证 按函数极限的定义，要证:.使得当时， 成立. 由于当时， 成立. 又由于对于上面得到的当时，成立. 由假设，当时，取则当时，同时成立，即成立，从而 成立.由极限定义知. 在定理2中，把换成，而把换成，可得类似的定理. 定理2表示，如果函数和满足该定理的条件，那么作代换可把求化为求，这里第六节 极限存在准则与两个重要极限有些函数的极限不能（或者难以）直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，然后再用其他方法求得.这种判定极限存在的法则通常称为极限存在准则.在第二节中我们介绍了数列极限的收敛准则.下面介绍几个常用的判定函数极限存在的定理.一、夹逼定理定理1（夹逼定理）设函数，和在点的某去心邻域内有定义，并且满足（1）；（2）则有.证 由已知条件， ，当时，.又由 知 ，当时， ，当时，.取，则当时，得由极限定义可知.夹逼定理虽然只对的情形作了叙述和证明，但是将换成其他的极限过程，定理仍成立，证明亦相仿.例如，若使时有，且 则 夹逼定理对数列极限也成立.如果数列及满足且，那么数列的极限存在，且.二、函数极限与数列极限的关系定理2 的充要条件是对任意的数列，当时，都有，这里可为有限数或为.此定理的证明较繁，此处从略.定理2 常被用于证明某些极限不存在.例1 证明极限不存在.证 取，则，而.又取，则，而，由于 故不存在.三、柯西收敛准则定理3 的充要条件是：，当且，时，有.证明从略.定理3中的极限过程改为或时，结论仍成立. 定理4 的充要条件是：，当，且时，有四、两个重要极限利用本节的夹逼定理，可得两个非常重要的极限.1. 我们首先证明.因为，可设.如图132所示，其中，为单位圆弧，且，则又AOC的面积扇形OAB的面积DOB的面积，即 图1-35因为，则，故上式可写为.由，运用夹逼定理得.注意到是偶函数，从而有.综上所述，得. (1-6-1)例2 证明.证 .例3 求.解 .例4 求.解 .例5 求.解 令，则当时，故.从以上几例中可以看出，式（2-6-1）中的变量可换为其他形式的变量，只要在极限过程中，该变量趋于零.即如果在某极限过程中()有，则仍然成立的.2. 在本章第三节例5中，我们已证明了.对于任意正实数，取（的定义见第一节例4），则有，并且有与两个极限过程是等同的.故有，及.由于时，有，而，由夹逼定理使得.下面证.令，则时，故.综上所述，即有. (1-6-2)在式（1-6-2）中，令，则当时，这时式（1-7-2）变为. (1-6-3)为了方便地使用式（1-6-1）和式（1-6-2），将它们记为下列形式：（1） 在某极限过程中，若，则；（2） 在某极限过程中，若，则.例6 求.解 .例7 求.解 .例8 求.解 .例9 求.解 令，则，当时，故.例10 求.解 令，则，当时，故 .由例9、例10的结论，我们很容易得到下面两个公式：； (1-6-4). (1-6-5)其中为常数.公式(1-6-4)和(1-6-5)可以看作是公式(1-6-2)的变形公式.第二个重要极限及其变形公式是计算幂指函数极限的一个有效方法.上述公式在实际应用时，我们经常结合本章第五节“复合函数求极限的方法”即定理2，使计算更加简单.下面以为例，说明这一方法.其他极限过程也一样适应.首先将幂指函数凑为，其中分别满足， 由公式(1-6-2)，(1-6-4)或(1-6-5)求得，则有.这里我们用到了本章第五节的定理2及极限运算法则.由上述方法，例7的计算可简化为原式=.例11 求.原式=.第七节 无穷小量的比较同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度.定义1 设是同一极限过程中的两个无穷小量，即.（1） 若，则称为的高阶无穷小量，记为记为，也称为的低阶无穷小量；（2） 若 ，则称是的同阶无穷小量，记为特别地，当时，则称与是等价无穷小量，记为.例如：因为，所以当时，是的高阶无穷小量，即因为，所以当时，是的同阶无穷小量，即.因为，所以当时，与是等价无穷小量，即 等价无穷小量在极限计算中有重要作用.设为同一极限过程的无穷小量，我们有如下定理：定理1 设，若存在，则.证 因为，则， ，由于，又存在，所以.定理1表明，在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代.在极限运算中，常用的等价无穷小量有下列几种：当时， .例1 求.解 因为时，所以.例2 求 解 .例3 求.解 当时，故.定义2 若在某极限过程中，是的同阶无穷小量（），则称是的阶无穷小量.例4 当时，是的几阶无穷小量？解 由本章第六节例4知，所以，当时，是的三阶无穷小量.第八节 函数的连续性前面我们已经讨论了函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性等，在实际问题中，我们遇到的函数常常具有另一类重要特征，如运动着的质点，其位移s是时间t的函数，时间产生一微小的改变时，质点也将移动微小的距离（从其运动轨迹来看是一条连绵不断的曲线），函数的这种特征我们称之为函数的连续性，与连续相对立的一个概念，我们称之为间断.下面我们将利用极限来严格表述连续性这个概念.一、函数的连续与间断定义1 设函数在的某邻域内有定义，且有，则称函数在点连续，称为函数的连续点.例1 证明函数在处连续.证 因为，且，故函数在处连续.例2 证明函数在处连续.证 因为在的邻域内有定义，且，.由定义1可知，函数在处连续.我们曾讨论过时函数的左右极限，对于函数的连续性可作类似的讨论.定义2 设函数在内点及其某个左（右）有定义，且有 ，则称函数在点是左（右）连续的.函数在点的左、右连续性统称为函数的单侧连续性.由函数的极限与其左、右极限的关系，容易得到函数的连续性与其左、右连续性的关系.定理1 在点连续的充要条件是在点左连续且右