复变函数中mathematics的应用.doc

浅谈mathematics在复变函数中的一些应用 15051105赵杨浅谈mathematics在复变函数中的一些应用15051105赵杨摘要：数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。经过一学期的大学学习，就目前学习的知识和对于所了解的复变函数的应用而言，个人感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。本人认为mathematics软件对于复变函数的学习有很大帮助，所以本文把复变函数与积分变换和mathematics结合起来，把复杂繁琐的计算交于计算机，给人以更直观的图像感觉和更高的处理效率。关键词：复变函数 mathematics 应用目录摘要1图目录3引言41基本功能41.1微分41.2积分61.3幂级数62特殊功能62.1复变函数的分解62.2路径积分72.3复变函数泰勒展开和洛朗展开82.4留数计算103 三维图像114 总结12参考文献13图目录图 1 正弦函数一阶导数5图 2 幂函数的二阶导数5图 3 复合函数求导6图 4 复变函数的乘除与最初的分解7图 5 复变函数在mathematics中积分8图 6 复变函数洛朗展开9图 7 洛朗展开函数图像10图 8 计算留数10图 9 三维图像绘制1115引言数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。 经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。 我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。可以通过RCL电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。 我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复变函数。信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。于是当我们要的信息得以传递。 所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友复变函数。数学软件Mathematica的功能十分强大,使用非常简便,是我们进行复变函数学习的很好工具。Mathematica中与复变函数有关的命令,有许多与实变函数完全相同,例如微分、不定积分、幂级数展开等,这些都为其基本功能, Mathematica在复变函数中还有许多特殊的功能。这些功能为我们学习复变函数提供了很大的方便。1基本功能1.1微分在Mathematica中对复变函数f(z)求一阶导数的命令是Dfz，z或者fz，以fz=sinz为例，用mathematics作图如下图 1 正弦函数一阶导数求二阶导数的命令是Dfz，z，2或者f z，以幂函数f（z）=z9为例图 2 幂函数的二阶导数多元函数f(z，w)对自变量求一阶偏导数fz(z，w)和fw(z，w)的命令分别是Dfz，w，z和Dfz，w，w，求二阶偏导数fzz(z，w)，fzw(z，w)和fww(z，w)的命令分别是Dfz，w，z，2，Dfz，w，z，w和Dfz，w，w，2。更高阶导数的命令可以据此类推。图 3 复合函数求导1.2积分在Mathematica中对函数求不定积分的命令是Integratefz，z，注意在复变函数中，只有解析函数的不定积分才有意义。对函数f(z)从z1到z2求定积分的命令是Integratefz，z，z1，z2，在复变函数的情况下，定积分的路径默认为从起点z1到终点z2的线段。1.3幂级数在Mathematica中把解析函数F(Z)在给定的zS0点展开为幂级数的命令是Seriesfz,z, z0, n,其中参数n表示展开式只显示到自变量z的第n次幂.而一个已知的幂级数n=0an(z-z0)n可以用命令Suman(z(z0)n ,n,0, 来求和。其收敛半径R可以用比值法来确定,公式为R=limn|an/an+ 1|相应的Mathematica命令为LimitAbsan/an+ 1, n .2特殊功能2.1复变函数的分解人们认识复变函数的初期，是通过把它化为实部和虚部两个2元实变函数的方法来进行探索的。Mathematica提供了把复变函数f(z)分解为实部和虚部的命令ComplexExpandfx+ y I 。例如，要把复变函数sin z分解为实部和虚部,可以输入ComplexExpandSinx+ y I ，输出结果为Coshy Sinx+ I Cosx Sinhy如果要分别得到实部和虚部,可以用下面的复合命令ComplexExpandRefx+ y I 和Complex-ExpandImfx+ y I 。 下面就以此乘法运算，(1/2-(/2)I)3 (-I)为例，我们体会一下复变函数运算在mathematics中的体现和mathematics软件的强大计算能力。图 4 复变函数的乘除与最初的分解2.2路径积分在Mathematica中求定积分的命令Integrate可以用来计算以折线为路径的积分。如果积分路径由点集z0, z1, z2, ., zn中的各点依次连接成的折线组成,则被积函数f(z)沿该路径的积分为Integratefz, z, z0, z1, z2, ., zn.例如,我们沿折线路径 0,2,2+ i对函数z2进行积分,Mathematica命令为Integrate z 2 , z, 0, 2, 2+ I ,结果为23+11i3。图 5 复变函数在mathematics中积分2.3复变函数泰勒展开和洛朗展开在Mathematica中泰勒展开的命令Series还可以对复变函数进行洛朗展开。如果z0是函数fz的极点,则命令Seriesfz,z, z0, n可以把该函数在极点展开为洛朗级数。例如,我们把函数sin zz(z-1)在极点z = 1展开,要求显示到自变量的第4次幂,对应的Mathematica命令为:SeriesSinz/z /(z-1),z, 1, 4图 6 复变函数洛朗展开结果为sin(1)z-1+(cos(1)-sin(1)+(-cos(1)+sin(1)2)(z-1)+ (5cos(1)6-sin(1)2)(z-1)2+(-5cos(1)6-13sin(1)24)(z-1)3+(101cos(1)120-13sin(1)24)(z-1)4+ O(z-1)5.最后一项表示还有未显示的更高次幂。当然，mathematics还有强大的自动绘图功能，上面洛朗展开函数图像如下图 7 洛朗展开函数图像2.4留数计算Mathematica还提供了计算留数的命令.我们可以用Residuefz,z, z0计算复变函数f(z)在z0点的留数值。例如,我们要求函数在sin zz(z-1)z = 1点的留数,对应的Mathematica命令为:Residue Sinz/z /(z-1),z, 1 图 8 计算留数结果为Sin1。3 三维图像Mathematics除了能作出二维图像之外，还有强大的绘制三维图像的功能。如下图图 9 三维图像绘制4 总结上面的介绍仅仅只是Mathematica的符号运算功能及其在复变函数中的一个非常简单的应用, Mathematica还有数值计算和绘图动画等更多的功能,在复变函数中可以