浙江省绍兴市柯桥区高三数学下学期期中试卷（含解析）.docVIP

2016-2017学年浙江省绍兴市柯桥区高三（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1设f（x）=log2x的定义域为是a=1，2，4，值域为b，则ab=（）a1b2c1，2d1，42复数z满足（1+i）z=i+2，则z的虚部为（）abcd3已知四边形abcd为梯形，abcd，l为空间一直线，则“l垂直于两腰ad，bc”是“l垂直于两底ab，cd”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）a3b2c3或2d5已知随机变量的分布列为下表所示，若，则d=（）101pababc1d6设集合，则a表示的平面区域的面积是（）abcd17已知函数f（x）=asinx+bcosx（a0）在处取得最小值，则函数是（）a偶函数且它的图象关于点（，0）对称b偶函数且它的图象关于点对称c奇函数且它的图象关于点（，0）对称d奇函数且它的图象关于点对称8已知x，yr，（）a若|xy2|+|x2+y|1，则b若|xy2|+|x2y|1，则c若|x+y2|+|x2y|1，则d若|x+y2|+|x2+y|1，则9已知平面向量满足，则最大值为（）abcd10已知异面直线l1，l2，点a是直线l1上的一个定点，过l1，l2分别引互相垂直的两个平面，设l=，p为点a在l的射影，当，变化时，点p的轨迹是（）a圆b两条相交直线c球面d抛物线二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11双曲线的渐近线方程是 ，离心率是 12某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 cm3，侧面积是 cm213已知正数数列an的前n项和sn满足：sn和2的等比中项等于an和2的等差中项，则a1= ，sn= 14若正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），则a= ，b= 15现有排成一列的5个花盆，要将甲、乙两种花种在其中的2个花盆里（每个花盆种一种花），若要求每相邻的3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是 （用数字作答）16已知圆o1和圆o2都经过点a（0，1），若两圆与直线4x3y+5=0及y+1=0均相切，则|o1o2|= 17已知函数f（x）=x2+mx+n（m，nr）有零点，则m2+n2的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分18在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且满足bcosc+（2a+c）cosb=0（i）求角b的值；（ii）若b=1，求abc的面积19如图，在几何体abcde中，四边形abcd是矩形，ab平面bce，bece，ab=be=ec=2，g，f分别是线段be，dc的中点（i）求证：gf平面ade；（ii）求gf与平面abe所成角的正切值20已知函数f（x）=x+（）当0时，求证：f（x）（1）x+，并指出等号成立的条件；（）求证：对任意实数，总存在实数x3，3，有f（x）21已知椭圆，点a（3，0），p是椭圆c上的动点（i）若直线ap与椭圆c相切，求点p的坐标；（ii）若p在y轴的右侧，以ap为底边的等腰abp的顶点b在y轴上，求四边形opab面积的最小值22已知正项数列an满足：a1=，an2=an1an+an1（n2），sn为数列an的前n项和（i）求证：对任意正整数n，有；（ii）设数列的前n项和为tn，求证：对任意m（0，6），总存在正整数n，使得nn时，tnm2016-2017学年浙江省绍兴市柯桥区高三（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1设f（x）=log2x的定义域为是a=1，2，4，值域为b，则ab=（）a1b2c1，2d1，4【考点】4n：对数函数的图象与性质【分析】计算f（1），f（2），f（4），得出b，从而得出a与b的交集【解答】解：f（1）=0，f（2）=1，f（4）=2，b=0，1，2，ab=1，2故选c2复数z满足（1+i）z=i+2，则z的虚部为（）abcd【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：（1+i）z=i+2，（1i）（1+i）z=（i+2）（1i），2z=3i，i则z的虚部为，故选：c3已知四边形abcd为梯形，abcd，l为空间一直线，则“l垂直于两腰ad，bc”是“l垂直于两底ab，cd”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】2l：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】四边形abcd为梯形，abcd，l为空间一直线，则“l垂直于两腰ad，bc”，又ad与bc相交l平面abcdl垂直于两底ab，cd，反之不成立即可判断出结论【解答】解：四边形abcd为梯形，abcd，l为空间一直线，则“l垂直于两腰ad，bc”，又ad与bc相交l平面abcdl垂直于两底ab，cd，反之不成立“l垂直于两腰ad，bc”是“l垂直于两底ab，cd”的充分不必要条件故选：a4已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）a3b2c3或2d【考点】6h：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出导数，设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标【解答】解：设切点为（m，n），（m0），的导数为y=x，可得切线的斜率为m=，解方程可得，m=2故选b5已知随机变量的分布列为下表所示，若，则d=（）101pababc1d【考点】cg：离散型随机变量及其分布列【分析】由的分布列的性质得到+a+b=1，e（）=求得a、b的值，再利用离散型随机变量方差公式求得d（）的值【解答】解：由e（）=1+0a+1b=，整理得b=，由+a+b=1，a=1=，d（）=（1）2+（0）2+（1）2=故选：b6设集合，则a表示的平面区域的面积是（）abcd1【考点】7b：二元一次不等式（组）与平面区域【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出三角形的顶点坐标，结合图形计算三角形的面积【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域如图所示，联立，得a（0，1），联立，得b（，），联立，得c（，）；又直线xy1=0交y轴于点d（0，1）不等式组表示的平面区域面积为s=sabd+sacd=2+2=1故选：d7已知函数f（x）=asinx+bcosx（a0）在处取得最小值，则函数是（）a偶函数且它的图象关于点（，0）对称b偶函数且它的图象关于点对称c奇函数且它的图象关于点（，0）对称d奇函数且它的图象关于点对称【考点】gi：三角函数的化简求值【分析】由题意可得（a+b）=，即有b=a，故f（x）=asin（x+）求得f（x）=asinx，再利用正弦函数的性质得出结论【解答】解：函数f（x）=asinx+bcosx=sin（x+）（a0）的周期为2，在处取得最小值，故有（a+b）=，即有b=a，f（x）=asin（x+）则f（x）=asin（x）=asinx则函数y=f（x）为奇函数，对称中心为（k，0），kz，故选：c8已知x，yr，（）a若|xy2|+|x2+y|1，则b若|xy2|+|x2y|1，则c若|x+y2|+|x2y|1，则d若|x+y2|+|x2+y|1，则【考点】7b：二元一次不等式（组）与平面区域【分析】利用绝对值不等式的性质，得出（x2y）+（y2x）|x2y|+|y2x|=|xy2|+|x2y|1，即得，判断b正确【解答】解：对于a，|xy2|+|x2+y|1，由化简得x2+x+y2y1，二者没有对应关系；对于b，由（x2y）+（y2x）|x2y|+|y2x|=|xy2|+|x2y|1，x2x+y2y1，即，命题成立；对于c，|x+y2|+|x2y|1，由化简得x2+x+y2+y1，二者没有对应关系；对于d，|x+y2|+|x2+y|1，化简得x2x+y2+y1，二者没有对应关系故选：b9已知平面向量满足，则最大值为（）abcd【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】设， =， =，则由向量的数量积运算公式可知最大值为4s，根据a点轨迹找出a到bc的最大距离即可求出最大值【解答】解：设， =， =，与所成夹角为，则=|ab|2|ac|2|ab|2|ac|2cos2=|ab|2|ac|2sin2=|ab|2|ac|2sin2cab，=4s2abc，的夹角为60，设b（3，0，），c（1，），则|bc|=，sobc=，设o到bc的距离为h，则=sobc=，h=，|=4，a点落在以o为圆心，以4为半径的圆上，a到bc的距离最大值为4+h=4+sabc的最大值为（4+）=2+，最大值为4（2+）2=（4+3）2故选：d10已知异面直线l1，l2，点a是直线l1上的一个定点，过l1，l2分别引互相垂直的两个平面，设l=，p为点a在l的射影，当，变化时，点p的轨迹是（）a圆b两条相交直线c球面d抛物线【考点】lo：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】由题意，异面直线l1，l2间的距离为定值，p为点a在l的射影，则pa为定值，点a是直线l1上的一个定点，即可得出结论【解答】解：由题意，异面直线l1，l2间的距离为定值，p为点a在l的射影，则pa为定值，即异面直线l1，l2间的距离，点a是直线l1上的一个定点，当，变化时，点p的轨迹是球面，故选c二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11双曲线的渐近线方程是y=x，离心率是【考点】kb：双曲线的标准方程【分析】直接利用方程，可得双曲线的性质【解答】解：双曲线的渐近线方程是y=x，a=，b=1，c=，离心率是=，故答案为y=x，12某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是12cm3，侧面积是27cm2【考点】l!：由三视图求面积、体积【分析】首先还原几何体，根据图中数据计算几何体体积、侧面积【解答】解：由三视图得到几何体如图：体积为=12；侧面积为=27；故答案为：12；2713已知正数数列an的前n项和sn满足：sn和2的等比中项等于an和2的等差中项，则a1=2，sn=2n2【考点】89：等比数列的前n项和【分析】由等差中项和等比中项可得=，平方可得sn=，把n=1代入可得a1=2，还可得sn1=，又an=snsn1，数列各项都是正数，可得anan1=4，可得数列为等差数列，可得前n项和公式【解答】解：由题意知=，平方可得sn=，由a1=s1得=，从而可解得a1=2又由式得sn1=（n2）可得an=snsn1=（n2）整理得（an+an1）（anan14）=0 数列an的各项都是正数，anan14=0，即anan1=4故数列an是以2为首项4为公差的等差数列，sn=2n+=2n2当n=1时，s1=a1=2故sn=2n2故答案是：2；2n214若正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），则a=，b=【考点】4h：对数的运算性质【分析】正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），利用对数的运算法则与单调性可得：8a=，解出即可得出【解答】解：正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），log2（8a）=，8a=，解得a=b故答案为：，15现有排成一列的5个花盆，要将甲、乙两种花种在其中的2个花盆里（每个花盆种一种花），若要求每相邻的3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是14（用数字作答）【考点】d9：排列、组合及简单计数问题【分析】先求出没有限制的种数，再排除三个空盆相邻的种数，问题得以解决【解答】解：没有限制的种花种数为a52=20种，其中三个空盆相邻的情况有a33=6种，则每相邻的3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是206=14种，故答案为：1416已知圆o1和圆o2都经过点a（0，1），若两圆与直线4x3y+5=0及y+1=0均相切，则|o1o2|=【考点】ja：圆与圆的位置关系及其判定【分析】由题意画出图形，可得两圆中一个圆的圆心在坐标原点，由已知列式求出另一圆心坐标，则答案可求【解答】解：如图，原点o到直线4x3y+5=0的距离d=，到直线y=1的距离为1，且到（0，1）的距离为1，圆o1和圆o2的一个圆心为原点o，不妨看作是圆o1，设o2（a，b），则由题意：，解得故答案为：17已知函数f（x）=x2+mx+n（m，nr）有零点，则m2+n2的取值范围是，+）【考点】52：函数零点的判定定理【分析】令t=x+，得出关于t的方程t2+mt+n2=0在（，22，+）上有解，根据零点的存在性定理列不等式，作出平面区域，根据m2+n2的几何意义解出【解答】解：f（x）=x2+mx+n=令x+=t，当x0时，t2；当x0时，t2函数f（x）在定义域上有零点，方程t2+mt+n2=0在（，22，+）上有解，22m+n0或2+2m+n0，作出平面区域如图所示：由图形可知平面区域内的点到原点的最短距离d=，m2+n2故答案为：，+）三、解答题：本大题共5小题，共74分18在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且满足bcosc+（2a+c）cosb=0（i）求角b的值；（ii）若b=1，求abc的面积【考点】ht：三角形中的几何计算【分析】（i）利用正弦定理化简bcosc+（2a+c）cosb=0可得角b的值；（ii）根据三角内角和定理，消去c角，利用和与差公式以及同角三角函数关系式求出a，c即可求出abc的面积【解答】解：（i）bcosc+（2a+c）cosb=0由正弦定理sinbcosc+2sinacosb+sinccosb=0，即sina+2sinacosb=0，sina0cosb=，0b，b=（ii）由（i）可得b=那么c=60a，即cosa+cos60cosa+sin60sina=；sin（a+）=sin（a+）=1a=，c=abc是等腰三角形故得abc的面积s=1tan=19如图，在几何体abcde中，四边形abcd是矩形，ab平面bce，bece，ab=be=ec=2，g，f分别是线段be，dc的中点（i）求证：gf平面ade；（ii）求gf与平面abe所成角的正切值【考点】mi：直线与平面所成的角；ls：直线与平面平行的判定【分析】（）取ae的中点h，连接hg，hd，由g是be的中点，f是cd中点，推导出四边形hgfd是平行四边形，从而gfdh，由此能证明gf平面ade（ii）过b作bqec，以d为原点，be、bq、ba所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出gf与平面abe所成角的正切值【解答】证明：（）如图，取ae的中点h，连接hg，hd，又g是be的中点，ghab，且gh=ab，又f是cd中点，df=cd，由四边形abcd是矩形得，abcd，ab=cd，ghdf，且gh=df四边形hgfd是平行四边形，gfdh，又dh平面ade，gf平面ade，gf平面ade解：（ii）如图，在平面bec内，过b作bqec，bece，bqbe，又ab平面bec，abbe，abbq，以d为原点，be、bq、ba所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则a（0，0，2），b（0，0，0），e（2，0，0），f（2，2，1），g（1，0，0），=（1，2，1），平面abe的法向量=（0，1，0），设gf与平面abe所成角的平面角为，则sin=，cos=，tan=gf与平面abe所成角的正切值为20已知函数f（x）=x+（）当0时，求证：f（x）（1）x+，并指出等号成立的条件；（）求证：对任意实数，总存在实数x3，3，有f（x）【考点】6e：利用导数求闭区间上函数的最值；6b：利用导数研究函数的单调性【分析】（）构造函数g（x）=f（x）（1）x，根据导数和函数的最值即可证明，（）对任意实数，总存在实数x3，3，有f（x）等价于f（x）的最大值大于，求导后，分类讨，根据导数和函数的最值得关系即可证明【解答】解：（）设g（x）=f（x）（1）x=x+（1）x=（x1），g（x）=（1），令g（x）=0，解得x=0，当x0时，g（x）0，函数g（x）单调递增，当x0时，g（x）0，函数g（x）单调递减，g（x）min=g（0）=0，f（x）（1）x+，当x=0时取等号，（）证明：“对任意实数，总存在实数x3，3，有f（x）等价于f（x）的最大值大于f（x）=1ex，当0时，x3，3，f（x）0，f（x）在3，3上单调递增，f（x）的最大值为f（3）f（0）=当0时命题成立；当0时，由f（x）=0得x=ln，则xr时，x，f（x），f（x）关系如下：x（，0）lna（0，+）f（x）0+ f（x）极小值（1）当e3时，ln3，f（x）在3，3上单调递减，f（x）的最大值f（3）f（0）=当e3时命题成立；（2）当e3e3时，3ln3，f（x）在（3，ln）上单调递减，在（ln，3）上单调递增f（x）的最大值为f（3）或f（3）；且f（3）f（0）=与f（3）f（0）=必有一成立，当e3e3时命题成立；（3）当0e3时，ln3，f（x）在3，3上单调递增，f（x）的最大值为f（3）f（0）=所以当0e3时命题成立；综上所述，对任意实数，总存在实数x3，3，有f（x）21已知椭圆，点a（3，0），p是椭圆c上的动点（i）若直线ap与椭圆c相切，求点p的坐标；（ii）若p在y轴的右侧，以ap为底边的等腰abp的顶点b在y轴上，求四边形opab面积的最小值【考点】kl：直线与椭圆的位置关系【分析】（i）设直线ap的方程，代入椭圆方程，由=0，即可求得k的值，代入即可求得p点坐标；（ii）设ap中点为d，由|ba|=|bp|，所以bdap，求得ap的斜率，进而得到bd的斜率和中点，可得直线bd的方程，即有b的坐标，求得四边形opab的面积为s=soap+somb，化简整理，运用基本不等式即可得到最小值【解答】解：（i）设直线ap的斜率k，（k0），则直线ap：y=k（x3），整理得：（1+3k2）x218k2x+27k26=0，由直线ap与椭圆c相切，则=（18k2）24（1+3k2）（27k26）=0，解得：k2=，则x24x+4=0，解得：x=2，将x=2代入椭圆方程，解得：y=，p