浙江省衢州市中考数学 专题训练二 正方形 浙教版.doc

正方形一、选择题（共9小题）1如图，边长分别为4和8的两个正方形abcd和cefg并排放在一起，连结bd并延长交eg于点t，交fg于点p，则gt=（）ab2c2d12如图，四边形abcd、aefg均为正方形，其中e在bc上，且b、e两点不重合，并连接bg根据图中标示的角判断下列1、2、3、4的大小关系何者正确？（）a12b12c34d343附图为正三角形abc与正方形defg的重叠情形，其中d、e两点分别在ab、bc上，且bd=be若ac=18，gf=6，则f点到ac的距离为何？（）a2b3c124d664如图，在边长为2的正方形abcd中，m为边ad的中点，延长md至点e，使me=mc，以de为边作正方形defg，点g在边cd上，则dg的长为（）abcd5如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为s1，s2，则s1+s2的值为（）a16b17c18d196如图，正方形abcd中，ab=3，点e在边cd上，且cd=3de将ade沿ae对折至afe，延长ef交边bc于点g，连接ag，cf下列结论：点g是bc中点；fg=fc；sfgc=其中正确的是（）abcd7如图，abcd为正方形，o为ac、bd的交点，dce为rt，ced=90，dce=30，若oe=，则正方形的面积为（）a5b4c3d28如图，边长为2的正方形abcd的顶点a在y轴上，顶点d在反比例函数y=（x0）的图象上，已知点b的坐标是（，），则k的值为（）a4b6c8d109如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点a1，a2，an分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）anbn1c（）n1d n二、填空题（共6小题）10如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点a的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为s1、s2、s3、sn，则sn的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）11如图，点g是正方形abcd对角线ca的延长线上任意一点，以线段ag为边作一个正方形aefg，线段eb和gd相交于点h若ab=，ag=1，则eb=12已知正方形abcd的边长为2cm，以cd为边作等边三角形cde，则abe的面积为cm213如图，在平面直角坐标系中，点a和点b分别在x轴和y轴的正半轴上，oa=ob=a，以线段ab为边在第一象限作正方形abcd，cd的延长线交x轴于点e，再以ce为边作第二个正方形ecgf，依此方法作下去，则第n个正方形的边长是14如图，正方形abcd的边长是1，点m，n分别在bc，cd上，使得cmn的周长为2，则man的面积最小值为15如图，在正方形abcd中，ac为对角线，点e在ab边上，efac于点f，连接ec，af=3，efc的周长为12，则ec的长为三、解答题（共15小题）16如图，在正方形abcd中，点m是对角线bd上的一点，过点m作mecd交bc于点e，作mfbc交cd于点f求证：am=ef17如图，p为正方形abcd的边ad上的一个动点，aebp，cfbp，垂足分别为点e、f，已知ad=4（1）试说明ae2+cf2的值是一个常数；（2）过点p作pmfc交cd于点m，点p在何位置时线段dm最长，并求出此时dm的值18如图正方形abcd的边长为4，e、f分别为dc、bc中点（1）求证：adeabf（2）求aef的面积19如图1，在正方形abcd中，e、f分别是边ad、dc上的点，且afbe（1）求证：af=be；（2）如图2，在正方形abcd中，m、n、p、q分别是边ab、bc、cd、da上的点，且mpnqmp与nq是否相等？并说明理由20如图，在正方形abcd中，p是对角线ac上的一点，点e在bc的延长线上，且pe=pb（1）求证：bcpdcp；（2）求证：dpe=abc；（3）把正方形abcd改为菱形，其它条件不变（如图），若abc=58，则dpe=度21在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结ad、cf，经测量发现ad=cf（1）他将正方形odef绕o点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断ad与cf还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形odef绕o点逆时针旋转，使点e旋转至直线l上，如图3，请你求出cf的长22如图，在边长为3的正方形abcd中，点e是bc边上的点，be=1，aep=90，且ep交正方形外角的平分线cp于点p，交边cd于点f，（1）的值为；（2）求证：ae=ep；（3）在ab边上是否存在点m，使得四边形dmep是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由23如图所示，在正方形abcd中，点g是边bc上任意一点，deag，垂足为e，延长de交ab于点f在线段ag上取点h，使得ag=de+hg，连接bh求证：abh=cde24正方形abcd的顶点a在直线mn上，点o是对角线ac、bd的交点，过点o作oemn于点e，过点b作bfmn于点f（1）如图1，当o、b两点均在直线mn上方时，易证：af+bf=2oe（不需证明）（2）当正方形abcd绕点a顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段af、bf、oe之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明25（1）如图（1）点p是正方形abcd的边cd上一点（点p与点c，d不重合），点e在bc的延长线上，且ce=cp，连接bp，de求证：bcpdce；（2）直线ep交ad于f，连接bf，fc点g是fc与bp的交点若cd=2pc时，求证：bpcf；若cd=npc（n是大于1的实数）时，记bpf的面积为s1，dpe的面积为s2求证：s1=（n+1）s226如图，点e在正方形abcd的边ab上，连接de，过点c作cfde于f，过点a作agcf交de于点g（1）求证：dcfadg（2）若点e是ab的中点，设dcf=，求sin的值27如图，在正方形abcd中，e是ab上一点，f是ad延长线上一点，且df=be（1）求证：ce=cf；（2）若点g在ad上，且gce=45，则ge=be+gd成立吗？为什么？28如图，在正方形abcd中，点e、f分别是bc、cd的中点，de交af于点m，点n为de的中点（1）若ab=4，求dnf的周长及sindaf的值；（2）求证：2adnf=dedm29已知：如图，正方形abcd，bm、dn分别平分正方形的两个外角，且满足man=45，连接mn（1）若正方形的边长为a，求bmdn的值（2）若以bm，dn，mn为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论30如图，已知正方形abcd，把边dc绕d点顺时针旋转30到dc处，连接ac，bc，cc，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程浙江省衢州市2016年中考数（浙教版）专题训练（二）：正方形参考答案与试题解析一、选择题（共9小题）1如图，边长分别为4和8的两个正方形abcd和cefg并排放在一起，连结bd并延长交eg于点t，交fg于点p，则gt=（）ab2c2d1【考点】正方形的性质【专题】压轴题【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得adb=cge=45，再求出gdt=45，从而得到dgt是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出dg，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可【解答】解：bd、ge分别是正方形abcd，正方形cefg的对角线，adb=cge=45，gdt=1809045=45，dtg=180gdtcge=1804545=90，dgt是等腰直角三角形，两正方形的边长分别为4，8，dg=84=4，gt=4=2故选b【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质2如图，四边形abcd、aefg均为正方形，其中e在bc上，且b、e两点不重合，并连接bg根据图中标示的角判断下列1、2、3、4的大小关系何者正确？（）a12b12c34d34【考点】正方形的性质【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出bad=eag=90，然后根据同角的余角相等可得1=2，根据直角三角形斜边大于直角边可得aeab，从而得到agab，再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出34【解答】解：四边形abcd、aefg均为正方形，bad=eag=90，bad=1+dae=90，eag=2+dae=90，1=2，在rtabe中，aeab，四边形aefg是正方形，ae=ag，agab，34故选d【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用3附图为正三角形abc与正方形defg的重叠情形，其中d、e两点分别在ab、bc上，且bd=be若ac=18，gf=6，则f点到ac的距离为何？（）a2b3c124d66【考点】正方形的性质；等边三角形的性质【分析】过点b作bhac于h，交gf于k，根据等边三角形的性质求出a=abc=60，然后判定bde是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出bde=60，然后根据同位角相等，两直线平行求出acde，再根据正方形的对边平行得到degf，从而求出acdegf，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出kh，然后根据平行线间的距离相等即可得解【解答】解：如图，过点b作bhac于h，交gf于k，abc是等边三角形，a=abc=60，bd=be，bde是等边三角形，bde=60，a=bde，acde，四边形defg是正方形，gf=6，degf，acdegf，kh=1866=936=66，f点到ac的距离为66故选d【点评】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的高线等于边长的倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键4如图，在边长为2的正方形abcd中，m为边ad的中点，延长md至点e，使me=mc，以de为边作正方形defg，点g在边cd上，则dg的长为（）abcd【考点】正方形的性质；勾股定理【分析】利用勾股定理求出cm的长，即me的长，有de=dg，可以求出de，进而得到dg的长【解答】解：四边形abcd是正方形，m为边da的中点，dm=ad=dc=1，cm=，me=mc=，ed=emdm=1，四边形edgf是正方形，dg=de=1故选：d【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目5（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为s1，s2，则s1+s2的值为（）a16b17c18d19【考点】正方形的性质；等腰直角三角形【专题】计算题；压轴题【分析】由图可得，s1的边长为3，由ac=bc，bc=ce=cd，可得ac=2cd，cd=2，ec=；然后，分别算出s1、s2的面积，即可解答【解答】解：如图，设正方形s2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，ac=x，x=cd，ac=2cd，cd=2，ec2=22+22，即ec=；s2的面积为ec2=8；s1的边长为3，s1的面积为33=9，s1+s2=8+9=17故选：b【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力6如图，正方形abcd中，ab=3，点e在边cd上，且cd=3de将ade沿ae对折至afe，延长ef交边bc于点g，连接ag，cf下列结论：点g是bc中点；fg=fc；sfgc=其中正确的是（）abcd【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）【专题】压轴题【分析】先求出de、ce的长，再根据翻折的性质可得ad=af，ef=de，afe=d=90，再利用“hl”证明rtabg和rtafg全等，根据全等三角形对应边相等可得bg=fg，再设bg=fg=x，然后表示出eg、cg，在rtceg中，利用勾股定理列出方程求出x=，从而可以判断正确；根据agb的正切值判断agb60，从而求出cgf60，cgf不是等边三角形，fgfc，判断错误；先求出cge的面积，再求出ef：fg，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到fgc的面积，判断正确【解答】解：正方形abcd中，ab=3，cd=3de，de=3=1，ce=31=2，ade沿ae对折至afe，ad=af，ef=de=1，afe=d=90，ab=af=ad，在rtabg和rtafg中，rtabgrtafg（hl），bg=fg，设bg=fg=x，则eg=ef+fg=1+x，cg=3x，在rtceg中，eg2=cg2+ce2，即（1+x）2=（3x）2+22，解得，x=，cg=3=，bg=cg=，即点g是bc中点，故正确；tanagb=2，agb60，cgf18060260，又bg=cg=fg，cgf不是等边三角形，fgfc，故错误；cge的面积=cgce=2=，ef：fg=1： =2：3，sfgc=，故正确；综上所述，正确的结论有故选：b【点评】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的熟量关系利用勾股定理列式求出bg=fg的长度是解题的关键，也是本题的难点7如图，abcd为正方形，o为ac、bd的交点，dce为rt，ced=90，dce=30，若oe=，则正方形的面积为（）a5b4c3d2【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理【分析】过点o作omce于m，作onde交ed的延长线于n，判断出四边形omen是矩形，根据矩形的性质可得mon=90，再求出com=don，根据正方形的性质可得oc=od，然后利用“角角边”证明com和don全等，根据全等三角形对应边相等可得om=on，然后判断出四边形omen是正方形，设正方形abcd的边长为2a，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得de=cd，再利用勾股定理列式求出ce，根据正方形的性质求出oc=od=a，然后利用四边形oced的面积列出方程求出a2，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解【解答】解：如图，过点o作omce于m，作onde交ed的延长线于n，ced=90，四边形omen是矩形，mon=90，com+dom=don+dom，com=don，四边形abcd是正方形，oc=od，在com和don中，comdon（aas），om=on，四边形omen是正方形，设正方形abcd的边长为2a，则oc=od=2a=a，ced=90，dce=30，de=cd=a，由勾股定理得，ce=a，四边形oced的面积=aa+（a）（a）=（）2，解得a2=1，所以，正方形abcd的面积=（2a）2=4a2=41=4故选：b【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点8如图，边长为2的正方形abcd的顶点a在y轴上，顶点d在反比例函数y=（x0）的图象上，已知点b的坐标是（，），则k的值为（）a4b6c8d10【考点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质【专题】数形结合【分析】过点b作bey轴于e，过点d作dfy轴于f，根据正方形的性质可得ab=ad，bad=90，再根据同角的余角相等求出bae=adf，然后利用“角角边”证明abe和daf全等，根据全等三角形对应边相等可得af=be，df=ae，再求出of，然后写出点d的坐标，再把点d的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k【解答】解：如图，过点b作bey轴于e，过点d作dfy轴于f，在正方形abcd中，ab=ad，bad=90，bae+daf=90，daf+adf=90，bae=adf，在abe和daf中，abedaf（aas），af=be，df=ae，正方形的边长为2，b（，），be=，ae=，of=oe+ae+af=+=5，点d的坐标为（，5），顶点d在反比例函数y=（x0）的图象上，k=xy=5=8故选：c【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点d的坐标是解题的关键9如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点a1，a2，an分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）anbn1c（）n1d n【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【专题】规律型【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n1）个阴影部分的和【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：14，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1（n1）=n1故选：b【点评】此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积二、填空题（共6小题）10如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点a的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为s1、s2、s3、sn，则sn的值为24n5（用含n的代数式表示，n为正整数）【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征【专题】压轴题；规律型【分析】根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点a的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可【解答】解：函数y=x与x轴的夹角为45，直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，a（8，4），第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，第n个正方形的边长为2n1，由图可知，s1=11+（1+2）2（1+2）2=，s2=44+（4+8）8（4+8）8=8，sn为第2n与第2n1个正方形中的阴影部分，第2n个正方形的边长为22n1，第2n1个正方形的边长为22n2，sn=22n222n2=24n5故答案为：24n5【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影sn所在的正方形和正方形的边长11如图，点g是正方形abcd对角线ca的延长线上任意一点，以线段ag为边作一个正方形aefg，线段eb和gd相交于点h若ab=，ag=1，则eb=【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理【专题】几何图形问题【分析】首先连接bd交ac于o，由四边形abcd、agfe是正方形，即可得ab=ad，ae=ag，dab=eag，然后利用sas即可证得eabgad，则可得eb=gd，然后在rtodg中，利用勾股定理即可求得gd的长，继而可得eb的长【解答】解：连接bd交ac于o，四边形abcd、agfe是正方形，ab=ad，ae=ag，dab=eag，eab=gad，在aeb和agd中，eabgad（sas），eb=gd，四边形abcd是正方形，ab=，bdac，ac=bd=ab=2，dog=90，oa=od=bd=1，ag=1，og=oa+ag=2，gd=，eb=故答案为：【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法12（2014齐齐哈尔）已知正方形abcd的边长为2cm，以cd为边作等边三角形cde，则abe的面积为（2+）或（2）cm2【考点】正方形的性质；等边三角形的性质【专题】分类讨论【分析】作出图形，根据等边三角形的性质求出点e到cd的距离，从而得到点e到ab的距离，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解【解答】解：如图，cde是等边三角形，点e到cd的距离为2=cm，点e到ab的距离=2+cm或2cm，abe的面积=2（2+）=2+cm2，或abe的面积=2（2）=2cm2故答案为：（2+）或（2）【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟记各性质并求出点e到ab边的距离是解题的关键，易错点在于点e的位置不确定要分情况讨论，作出图形更形象直观13如图，在平面直角坐标系中，点a和点b分别在x轴和y轴的正半轴上，oa=ob=a，以线段ab为边在第一象限作正方形abcd，cd的延长线交x轴于点e，再以ce为边作第二个正方形ecgf，依此方法作下去，则第n个正方形的边长是a2n1【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形【专题】规律型【分析】判断出aob是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出第一个正方形的边长ab，然后判断出ade是等腰直角三角形，再求出ad=de，从而求出第二个正方形的边长等于第一个正方形的边长的2倍，同理可得后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍，然后求解即可【解答】解：oa=ob，aob是等腰直角三角形，第一个正方形的边长ab=a，oab=45，dae=1804590=45，ade是等腰直角三角形，ad=de，第二个正方形的边长ce=cd+de=2ab，后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍，所以，第n个正方形的边长=2n1ab=a2n1故答案为： a2n1【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，判断出后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍是解题的关键14如图，正方形abcd的边长是1，点m，n分别在bc，cd上，使得cmn的周长为2，则man的面积最小值为1【考点】正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质【专题】几何图形问题【分析】如图，延长cb至l，使bl=dn，则rtablrtand，故al=an，进而求证amnaml，即可求得man=mal=45设cm=x，cn=y，mn=z，根据x2+y2=z2，和x+y+z=2，整理根据=4（z2）232（1z）0可以解题【解答】解：延长cb至l，使bl=dn，则rtablrtadn，故al=an，cm+cn+mn=2，cn+dn+cm+bm=1+1=2，mn=dn+bm=bl+bm=ml，amnaml（sss），设cm=x，cn=y，mn=zx2+y2=z2，x+y+z=2，则x=2yz（2yz）2+y2=z2，整理得2y2+（2z4）y+（44z）=0，=4（z2）232（1z）0，即（z+22）（z+2+2）0，又z0，z22此时samn=saml=mlab=z因此，当z=22，samn取到最小值为1故答案为：1【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了正方形各边相等，各内角是直角的性质，本题求证三角形全等是解题的关键15（2014哈尔滨）如图，在正方形abcd中，ac为对角线，点e在ab边上，efac于点f，连接ec，af=3，efc的周长为12，则ec的长为5【考点】正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形【专题】几何图形问题【分析】由四边形abcd是正方形，ac为对角线，得出eaf=45，又因为efac，得到afe=90得出ef=af=3，由efc的周长为12，得出线段fc=123ec=9ec，在rtefc中，运用勾股定理ec2=ef2+fc2，求出ec=5【解答】解：四边形abcd是正方形，ac为对角线，eaf=45，又efac，afe=90，aef=45，ef=af=3，efc的周长为12，fc=123ec=9ec，在rtefc中，ec2=ef2+fc2，ec2=9+（9ec）2，解得ec=5故答案为：5【点评】本题主要考查了正方形的性质及等腰直角三角形，解题的关键是找出线段的关系运用勾股定理列出方程三、解答题（共15小题）16如图，在正方形abcd中，点m是对角线bd上的一点，过点m作mecd交bc于点e，作mfbc交cd于点f求证：am=ef【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质【专题】证明题【分析】过m点作mqad，垂足为q，作mp垂足ab，垂足为p，根据题干条件证明出ap=mf，pm=me，进而证明apmfme，即可证明出am=ef【解答】证明：过m点作mqad，垂足为q，作mpab，垂足为p，四边形abcd是正方形，四边形mfdq和四边形pbem是正方形，四边形apmq是矩形，ap=qm=df=mf，pm=pb=me，在apm和fme中，apmfme（sas），am=ef【点评】本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性质等知识，此题正确作出辅助线很易解答17如图，p为正方形abcd的边ad上的一个动点，aebp，cfbp，垂足分别为点e、f，已知ad=4（1）试说明ae2+cf2的值是一个常数；（2）过点p作pmfc交cd于点m，点p在何位置时线段dm最长，并求出此时dm的值【考点】正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质【分析】（1）由已知aeb=bfc=90，ab=bc，结合abe=bcf，证明abebcf，可得ae=bf，于是ae2+cf2=bf2+cf2=bc2=16为常数；（2）设ap=x，则pd=4x，由已知dpm=pae=abp，pdmbap，列出关于x的一元二次函数，求出dm的最大值【解答】解：（1）由已知aeb=bfc=90，ab=bc，又abe+fbc=bcf+fbc，abe=bcf，在abe和bcf中，abebcf（aas），ae=bf，ae2+cf2=bf2+cf2=bc2=16为常数；（2）设ap=x，则pd=4x，由已知dpm=pae=abp，pdmbap，=，即=，dm=xx2，当x=2时，即点p是ad的中点时，dm有最大值为1【点评】本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知识，此题有一定的难度，是一道不错的中考试题18如图正方形abcd的边长为4，e、f分别为dc、bc中点（1）求证：adeabf（2）求aef的面积【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【专题】几何图形问题【分析】（1）由四边形abcd为正方形，得到ab=ad，b=d=90，dc=cb，由e、f分别为dc、bc中点，得出de=bf，进而证明出两三角形全等；（2）首先求出de和ce的长度，再根据saef=s正方形abcdsadesabfscef得出结果【解答】（1）证明：四边形abcd为正方形，ab=ad，d=b=90，dc=cb，e、f为dc、bc中点，de=dc，bf=bc，de=bf，在ade和abf中，adeabf（sas）；（2）解：由题知abf、ade、cef均为直角三角形，且ab=ad=4，de=bf=4=2，ce=cf=4=2，saef=s正方形abcdsadesabfscef=44424222=6【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大19如图1，在正方形abcd中，e、f分别是边ad、dc上的点，且afbe（1）求证：af=be；（2）如图2，在正方形abcd中，m、n、p、q分别是边ab、bc、cd、da上的点，且mpnqmp与nq是否相等？并说明理由【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】（1）根据正方形的性质可得ab=ad，bae=d=90，再根据同角的余角相等求出abe=daf，然后利用“角边角”证明abe和daf全等，再根据全等三角形的证明即可；（2）过点a作afmp交cd于f，过点b作benq交ad于e，然后与（1）相同【解答】（1）证明：在正方形abcd中，ab=ad，bae=d=90，daf+baf=90，afbe，abe+baf=90，abe=daf，在abe和daf中，abedaf（asa），af=be；（2）解：mp与nq相等理由如下：如图，过点a作afmp交cd于f，过点b作benq交ad于e，abcd，adbc，四边形ampf与四边形bnqe是平行四边形，af=pm，be=nq，在正方形abcd中，ab=ad，bae=d=90，daf+baf=90，afbe，abe+baf=90，abe=daf，在abe和daf中，abedaf（asa），af=be；mp=nq【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用20如图，在正方形abcd中，p是对角线ac上的一点，点e在bc的延长线上，且pe=pb（1）求证：bcpdcp；（2）求证：dpe=abc；（3）把正方形abcd改为菱形，其它条件不变（如图），若abc=58，则dpe=58度【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质【专题】证明题【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得bc=dc，对角线平分一组对角可得bcp=dcp，然后利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得cbp=cdp，根据等边对等角可得cbp=e，然后求出dpe=dce，再根据两直线平行，同位角相等可得dce=abc，从而得证；（3）根据（2）的结论解答【解答】（1）证明：在正方形abcd中，bc=dc，bcp=dcp=45，在bcp和dcp中，bcpdcp（sas）；（2）证明：由（1）知，bcpdcp，cbp=cdp，pe=pb，cbp=e，1=2（对顶角相等），1801cdp=1802e，即dpe=dce，abcd，dce=abc，dpe=abc；（3）解：与（2）同理可得：dpe=abc，abc=58，dpe=58故答案为：58【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出bcp=dcp是解题的关键21在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结ad、cf，经测量发现ad=cf（1）他将正方形odef绕o点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断ad与cf还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形odef绕o点逆时针旋转，使点e旋转至直线l上，如图3，请你求出cf的长【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）根据正方形的性质可得ao=co，od=of，aoc=dof=90，然后求出aod=cof，再利用“边角边”证明aod和cof全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出cf=ad，连接df交oe于g，根据正方形的对角线互相垂直平分可得dfoe，dg=og=oe，再求出ag，然后利用勾股定理列式计算即可求出ad【解答】解：（1）ad=cf理由如下：在正方形abco和正方形odef中，ao=co，od=of，aoc=dof=90，aoc+cod=dof+cod，即aod=cof，在aod和cof中，aodcof（sas），ad=cf；（2）与（1）同理求出cf=ad，如图，连接df交oe于g，则dfoe，dg=og=oe，正方形odef的边长为，oe=od=2，dg=og=oe=2=1，ag=ao+og=3+1=4，在rtadg中，ad=，cf=ad=【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键22如图，在边长为3的正方形abcd中，点e是bc边上的点，be=1，aep=90，且ep交正方形外角的平分线cp于点p，交边cd于点f，（1）的值为；（2）求证：ae=ep；（3）在ab边上是否存在点m，使得四边形dmep是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定【分析】（1）由正方形的性质可得：b=c=90，由同角的余角相等，可证得：bae=cef，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在ba边上截取bk=be，连接ke，根据角角之间的关系得到ake=ecp，由ab=cb，bk=be，得ak=ec，结合kae=cep，证明akeecp，于是结论得出；（3）作dmae于ab交于点m，连接me、dp，易得出dmep，由已知条件证明admbae，进而证明md=ep，四边形dmep是平行四边形即可证出【解答】（1）解：四边形abcd是正方形，b=d，aep=90，bae=fec，在rtabe中，ae=，sinbae=sinfec=，=，解法二：由上得bae=fec，bae=fec，b=dcb，abeecf，=，（2）证明：在ba边上截取bk=be，连接ke，b=90，bk=be，bke=45，ake=135，cp平分外角，dcp=45，ecp=135，ake=ecp，ab=cb，bk=be，abbk=bcbe，即：ak=ec，由第一问得kae=cep，在ake和ecp中，akeecp（asa），ae=ep；（3）答：存在证明：作dmae交ab于点m，则有：dmep，连接me、dp，在adm与bae中，admbae（asa），md=ae，ae=ep，md=ep，mdep，四边形dmep为平行四边形【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择23如图所示，在正方形abcd中，点g是边bc上任意一点，deag，垂足为e，延长de交ab于点f在线段ag上取点h，使得ag=de+hg，连接bh求证：abh=cde【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】根据正方形的性质可得ab=ad，abg=daf=90，再根据同角的余角相等求出1=2，然后利用“角边角”证明abg和daf全等，根据全等三角形对应边相等可af=bg，ag=df，全等三角形对应角相等可得afd=bga，然后求出ef=hg，再利用“边角边”证明aef和bhg全等，根据全等三角形对应角相等可得1=3，从而得到2=3，最后根据等角的余角相等证明即可【解答】证明：在正方形abcd中，ab=ad，abg=daf=90，deag，2+ead=90，又1+ead=90，1=2，在abg和daf中，abgdaf（asa），af=bg，ag=df，afd=bga，ag=de+hg，ag=df=de+ef，ef=hg，在aef和bhg中，aefbhg（sas），1=3，2=3，2+cde=adc=90，3+abh=abc=90，abh=cde【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角或同角的余角相等的性质，本题难点在于两次证明三角形全等，用阿拉伯数字加弧线表示角可以更形象直观24正方形abcd的顶点a在直线mn上，点o是对角线ac、bd的交点，过点o作oemn于点e，过点b作bfmn于点f（1）如图1，当o、b两点均在直线mn上方时，易证：af+bf=2oe（不需证明）（2）当正方形abcd绕点a顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段af、bf、oe之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明【考点】正方形的性质；矩形的性质；旋转的性质【专题】证明题【分析】（1）过点b作bgoe于g，可得四边形bgef是矩形，根据矩形的对边相等可得ef=bg，bf=ge，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得o