湖北省高二数学下学期期中试卷 文（含解析）.doc

2016-2017学年湖北省高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1i是虚数单位， =（）a1ib1ic1+id1+i2若ab0，则下列不等式中不能成立的是（）abc|a|b|da2b23我国南宋数学家秦九韶所著数学九章中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）a164石b178石c189石d196石4在平面直角坐标系xoy中，满足x2+y21，x0，y0的点p（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点p（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）abcd5若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是（）abcd6某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（） a4b2c4d87如图，已知一个八面体各棱长均为1，四边形abcd为正方形，则下列命题中不正确的是（）a不平行的两条棱所在直线所成的角为60或90b四边形aecf为正方形c点a到平面bce的距离为d该八面体的顶点在同一个球面上8已知椭圆c： +=1（ab0），点m，n，f分别为椭圆c的左顶点、上顶点、左焦点，若mfn=nmf+90，则椭圆c的离心率是（）abcd9已知函数f（x）与f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）a（0，4）bcd（0，1），（4，+）10给出定义：设f（x）是函数y=f（x）的导函数，f（x）是函数f（x）的导函数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”已知函数f（x）=3x+4sinxcosx的拐点是m（x0，f（x0），则点m（）a在直线y=3x上b在直线y=3x上c在直线y=4x上d在直线y=4x上11已知函数f（x）=ax24axlnx，则f（x）在（1，3）上不单调的一个充分不必要条件是（）aa（，）ba（，+）ca（，）da（，+）12设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导函数为f（x），对xr，不等式f（x）f（x）恒成立，则的最大值为（）a +2b2c2+2d22二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置上）13已知复数z为纯虚数，且z（2+i）=1+ai，则实数a的值为 14若关于x的不等式|x+1|x3|m的解集为空集，则m的取值范围为 15已知f是双曲线的右焦点，p为左支上任意一点，点，当paf的周长最小时，点p坐标为 16已知函数，若关于x的方程f（x）m+1=0恰有三个不等实根，则实数m的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上）17（10分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax23x，函数g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行于x轴（1）求a的值；（2）求函数g（x）的极值18（10分）已知命题p：方程a2x2+ax2=0在区间0，1上有解，命题q：对于xr，不等式sinx+cosxa恒成立若命题pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围19（12分）如图，在边长为3的菱形abcd中，abc=60，pa平面abcd，且pa=3，e为pd中点，f在棱pa上，且af=1（1）求证：ce平面bdf；（2）求点p到平面bdf的距离20（12分）为了传承经典，促进学生课外阅读，某校从高中年级和初中年级各随机抽取100名学生进行有关对中国四大名著常识了解的竞赛图1和图2分别是高中年级和初中年级参加竞赛的学生成绩按照40，50），50，60），60，70），70，80）分组，得到的频率分布直方图（1）分别计算参加这次知识竞赛的两个学段的学生的平均成绩；（2）规定竞赛成绩达到75，80）为优秀，经统计初中年级有3名男同学，2名女同学达到优秀，现从上述5人中任选两人参加复试，求选中的2人恰好都为女生的概率；（3）完成下列22的列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对四大名著的了解有差异”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计初中年级高中年级合计附：k2=临界值表：p（k2k0）0.100.050.01k02.7063.8416.63521（13分）如图，已知点f1，f2是椭圆c1： +y2=1的两个焦点，椭圆c2： +y2=经过点f1，f2，点p是椭圆c2上异于f1，f2的任意一点，直线pf1和pf2与椭圆c1的交点分别是a，b和c，d，设ab、cd的斜率为k，k（1）求证kk为定值；（2）求|ab|cd|的最大值22（13分）已知函数f（x）=1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设m0，求函数f（x）在区间m，2m上的最大值；（3）证明：对nn*，不等式ln（1+n）en+1+恒成立2016-2017学年湖北省华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1i是虚数单位， =（）a1ib1ic1+id1+i【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果【解答】解： =1+i，故选c【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题2若ab0，则下列不等式中不能成立的是（）abc|a|b|da2b2【考点】3f：函数单调性的性质【分析】由于ab0，利用函数单调性可以比较大小【解答】解：ab0，f（x）=在（，0）单调递减，所以成立；ab0，0aba，f（x）=在（，0）单调递减，所以，故b不成立；f（x）=|x|在（，0）单调递减，所以|a|b|成立；f（x）=x2在（，0）单调递减，所以a2b2成立；故选：b【点评】本题考查了函数单调性与数值大小的比较，属于基础题3我国南宋数学家秦九韶所著数学九章中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）a164石b178石c189石d196石【考点】b2：简单随机抽样【分析】根据216粒内夹谷27粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为=，则由此估计总体中谷的含量约为1512=189石故选：c【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础4在平面直角坐标系xoy中，满足x2+y21，x0，y0的点p（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点p（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）abcd【考点】f3：类比推理【分析】类似的，在空间直角坐标系oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点p（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论【解答】解：类似的，在空间直角坐标系oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点p（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：b【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）5若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是（）abcd【考点】cf：几何概型；54：根的存在性及根的个数判断【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（a，b）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解【解答】解：如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2（图中矩形所示）其面积为6构成事件“关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根”的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab（如图阴影所示）所以所求的概率为=故选b【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据p=求解6某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（） a4b2c4d8【考点】lf：棱柱、棱锥、棱台的体积；l!：由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是长方体的三分之二，依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，即可求出几何体的体积【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是223=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的三分之二，如图所示，则这个几何体的体积为12=8故选d【点评】此题考查了棱柱的体积和表面积，由三视图判断几何体，考查三视图的读图能力，计算能力，空间想象能力7如图，已知一个八面体各棱长均为1，四边形abcd为正方形，则下列命题中不正确的是（）a不平行的两条棱所在直线所成的角为60或90b四边形aecf为正方形c点a到平面bce的距离为d该八面体的顶点在同一个球面上【考点】mk：点、线、面间的距离计算【分析】由已知求出图中任意两棱所成角的大小判断a、b正确；再由等积法求出点a到平面bce的距离说明c错误；由abcd为正方形，aecf为正方形，且两正方形边长相等，中心都为ac的中点说明d正确【解答】解：八面体的各条棱长均为1，四边形abcd为正方形，在四棱锥eabcd中，相邻两条侧棱所成的角为60，ae=ce=1，ac=，满足ae2+ce2=ac2，aece，同理afcf，则四边形aecf是正方形再由异面直线所成角概念可知，图中每一条棱与和其异面的棱所成角为60故a、b正确；设点a到平面bce的距离h，由veabcd=2vabce，得11=2，解得h=，点a到平面bce的距离为，故c错误；由abcd为正方形，aecf为正方形，且两正方形边长相等，中心都为ac的中点，该八面体的顶点在以ac中点为球心，以为半径的球面上，故d正确不正确的命题是c故选：c【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查立体几何中线线关系以及线面关系，利用了等积法求点到平面的距离，是中档题8已知椭圆c： +=1（ab0），点m，n，f分别为椭圆c的左顶点、上顶点、左焦点，若mfn=nmf+90，则椭圆c的离心率是（）abcd【考点】k4：椭圆的简单性质【分析】由题意画出图形，结合已知可得a，b，c的关系，进一步结合隐含条件可得关于离心率e的方程求解【解答】解：如图，tannmf=，tannfo=，mfn=nmf+90，nfo=180mfn=90nmf，即tannfo=，则b2=a2c2=ac，e2+e1=0，得e=故选：a【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题9已知函数f（x）与f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）a（0，4）bcd（0，1），（4，+）【考点】6b：利用导数研究函数的单调性【分析】结合函数图象求出f（x）f（x）0成立的x的范围即可【解答】解：结合图象：x（0，1）和x（4，+）时，f（x）f（x）0，而g（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+）递减，故选：d【点评】本题考查了数形结合思想，考查函数的单调性问题，是一道基础题10给出定义：设f（x）是函数y=f（x）的导函数，f（x）是函数f（x）的导函数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”已知函数f（x）=3x+4sinxcosx的拐点是m（x0，f（x0），则点m（）a在直线y=3x上b在直线y=3x上c在直线y=4x上d在直线y=4x上【考点】63：导数的运算【分析】求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决【解答】解：f（x）=3+4cosx+sinx，f（x）=4sinx+cosx=0，4sinx0cosx0=0，所以f（x0）=3x0，故m（x0，f（x0）在直线y=3x上故选：b【点评】本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题11已知函数f（x）=ax24axlnx，则f（x）在（1，3）上不单调的一个充分不必要条件是（）aa（，）ba（，+）ca（，）da（，+）【考点】6b：利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，问题转化为函数f（x）=ax24axlnx与x轴在（1，3）有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可【解答】解：f（x）=2ax4a=，若f（x）在（1，3）上不单调，令g（x）=2ax24ax1，则函数g（x）=2ax24axl与x轴在（1，3）有交点，a=0时，显然不成立，a0时，只需，解得：a，故选：d【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题12设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导函数为f（x），对xr，不等式f（x）f（x）恒成立，则的最大值为（）a +2b2c2+2d22【考点】7f：基本不等式；63：导数的运算；6b：利用导数研究函数的单调性【分析】由二次函数f（x）=ax2+bx+c，可得导函数为f（x）=2ax+b，于是不等式f（x）f（x）化为ax2+（b2a）x+cb0由于对xr，不等式f（x）f（x）恒成立，可得，化为b24ac4a2可得=，令，可得=，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：由二次函数f（x）=ax2+bx+c，可得导函数为f（x）=2ax+b，不等式f（x）f（x）化为ax2+（b2a）x+cb0对xr，不等式f（x）f（x）恒成立，化为b24ac4a2=，令，则=，当且仅当时 取等号的最大值为2故选：b【点评】本题考查了导数的运算法则、一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置上）13已知复数z为纯虚数，且z（2+i）=1+ai，则实数a的值为2【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】复数z为纯虚数，设z=xi（xr，x0）代入利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数z为纯虚数，设z=xi（xr，x0）z（2+i）=1+ai，xi（2+i）=1+ai，2xix=1+ai，解得a=2故答案为：2【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14若关于x的不等式|x+1|x3|m的解集为空集，则m的取值范围为（，4）【考点】r5：绝对值不等式的解法【分析】利用绝对值不等式的几何意义，求解即可【解答】解：|x+1|x3|的几何意义就是数轴上的点1的距离与到3的距离的差，差是4，若关于x的不等式|x+1|x3|m的解集为空集，故m4，故答案为：（，4）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，考查计算能力15已知f是双曲线的右焦点，p为左支上任意一点，点，当paf的周长最小时，点p坐标为【考点】kc：双曲线的简单性质【分析】求出左焦点h的坐标，由双曲线的定义可得|pf|+|pa|=2a+|ph|+|pa|2a+|ah|，求得2a+|ah|的值，即可求出paf周长的最小值，同时求出直线ah的方程，联立双曲线的方程，解方程可得p的坐标【解答】解：f是双曲线的右焦点，a=1，b=2，c=3，f（3，0 ），左焦点为h（3，0），由双曲线的定义可得|pf|ph|=2a=2，（p在左支上），又点，|pf|+|pa|=2a+|ph|+|pa|2a+|ah|=2+=2+15=17，|af|=15，当且仅当a，p，h共线时，paf周长取得最小值为17+15=32由直线ah： +=1，代入双曲线，解得x=2，y=2，即有p（2，2），故答案为：（2，2）【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|pf|+|pa|化为2a+|ph|+|pa|是解题的关键16已知函数，若关于x的方程f（x）m+1=0恰有三个不等实根，则实数m的取值范围为【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】当x0时， =为（，0上的减函数，由函数的单调性求其最小值；当x0时，利用导数研究函数的单调性并求得极值，画出简图，把关于x的方程f（x）m+1=0恰有三个不等实根转化为y=f（x）与y=m1的图象有3个不同交点，数形结合得答案【解答】解：当x0时， =为（，0上的减函数，f（x）min=f（0）=0；当x0时，f（x）=，f（x）=则x（，+）时，f（x）0，x（0，）时，f（x）0f（x）在（，+）上单调递减，在（0，）上单调递增f（x）的极大值为f（）=其大致图象如图所示：若关于x的方程f（x）m+1=0恰有三个不等实根，即y=f（x）与y=m1的图象有3个不同交点，则0m1得1m实数m的取值范围为，故答案为：【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的极值，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上）17（10分）（2017春武昌区校级期中）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax23x，函数g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行于x轴（1）求a的值；（2）求函数g（x）的极值【考点】6d：利用导数研究函数的极值【分析】（1）求导数，利用函数g（x）=lnx+ax23x，在点（1，f（1）处的切线平行于x轴直线，求a的值；（2）利用导数的正负，求函数g（x）的极值【解答】解：（1）函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax23x，g（x）=lnx+ax23x，g（x）=+2ax3，函数g（x）在点（1，g（1）处的切线平行于x轴，r（1）=2+2a=0，a=1；（2）g（x）=+2x3（x0），由g（x）0可得x1或x（0，），函数的单调增区间为（1，+），（0，），单调减区间为（，1）x=1时，函数取得极小值g（1）=2，x=时，极大值为：ln2【点评】本题考查满足条件的实数的求法，考查函数的单调区间的求法解题时要认真题，仔细解答，注意函数的导数、切线方程和单调性等知识点的综合运用18（10分）（2017春武昌区校级期中）已知命题p：方程a2x2+ax2=0在区间0，1上有解，命题q：对于xr，不等式sinx+cosxa恒成立若命题pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围【考点】2e：复合命题的真假【分析】分别求出命题p，q为真时，实数a的取值范围结合命题pq为真命题，pq为假命题，可得答案【解答】（本题满分10分）解：方程a2x2+ax2=0的两根为，（2分）由题意知，解得a2或a1，即命题p为真命题时a的取值集合为a=（，21，+）（4分）sinx+cosxa恒成立，所以即命题q为真命题时a的取值集合为（7分）又命题pq为真命题，pq为假命题，所以a的取值范围为（r a）b）（r b）a）=（2，）1，+）（10分）【点评】本题考查的知识点是复合命题，方程根的个数及判断，函数恒成立问题，难度中档19（12分）（2017春武昌区校级期中）如图，在边长为3的菱形abcd中，abc=60，pa平面abcd，且pa=3，e为pd中点，f在棱pa上，且af=1（1）求证：ce平面bdf；（2）求点p到平面bdf的距离【考点】mk：点、线、面间的距离计算；ls：直线与平面平行的判定【分析】（1）取pf中点g，连接ac交bd于o点，连接fo，gc，eg证明gefd，fogc，然后证明面egc平面bdf，推出ce平面bdf（2）由题意知点p到平面bdf的距离等于a到平面bdf的距离的两倍，记a到平面bdf的距离为h，则在四面体fabd中，利用等体积法求解p到平面bdf的距离【解答】（本题满分12分）解：（1）证明：取pf中点g，连接ac交bd于o点，连接fo，gc，eg由题意易知g为pf中点，又e为pd中点，所以gefd，故fo为三角形agc的中位线，所以fogc，所以面egc平面bdf，ecegc，ce平面bdf（6分）（2）由题意知点p到平面bdf的距离等于a到平面bdf的距离的两倍，记a到平面bdf的距离为h，则在四面体fabd中，易求得，由体积自等得，p到平面bdf的距离等于（12分）（向量做法相应给分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）（2017春武昌区校级期中）为了传承经典，促进学生课外阅读，某校从高中年级和初中年级各随机抽取100名学生进行有关对中国四大名著常识了解的竞赛图1和图2分别是高中年级和初中年级参加竞赛的学生成绩按照40，50），50，60），60，70），70，80）分组，得到的频率分布直方图（1）分别计算参加这次知识竞赛的两个学段的学生的平均成绩；（2）规定竞赛成绩达到75，80）为优秀，经统计初中年级有3名男同学，2名女同学达到优秀，现从上述5人中任选两人参加复试，求选中的2人恰好都为女生的概率；（3）完成下列22的列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对四大名著的了解有差异”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计初中年级高中年级合计附：k2=临界值表：p（k2k0）0.100.050.01k02.7063.8416.635【考点】bl：独立性检验【分析】（1）由题意求得；（2）由古典概型公式，选中的2人恰好都是女生的概率为（3）由列联表求得，故有99%的把握认为“两个学段的学生对四大名著的了解有差异”【解答】解：（1），（2）从5名同学中任选2人参加复试的所有基本事件数有10个，其中选中的2人恰好都是女生的基本事件只有1个，故选中的2人恰好都是女生的概率为（3）列联表如下成绩小于6（0分）人数成绩不小于6（0分）人数合计初中年级5050100高中年级7030100合计12080200，故有99%的把握认为“两个学段的学生对四大名著的了解有差异”【点评】本题考查独立性检验，考查概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于基础题21（13分）（2016黄冈模拟）如图，已知点f1，f2是椭圆c1： +y2=1的两个焦点，椭圆c2： +y2=经过点f1，f2，点p是椭圆c2上异于f1，f2的任意一点，直线pf1和pf2与椭圆c1的交点分别是a，b和c，d，设ab、cd的斜率为k，k（1）求证kk为定值；（2）求|ab|cd|的最大值【考点】k4：椭圆的简单性质【分析】（1）求得椭圆c1的焦点，代入椭圆c2，可得=，设p（m，n），即有m2+2n2=1，再