湖北省高一数学下学期期中试卷（含解析）.docVIP

2016-2017学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知等比数列an满足：a3a7=，则cosa5=（）abcd2abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，a=，b=，b=45，则角c的大小为（）a15b75c15或75d60或1203已知向量=（1，2），=（3，1），=（k，4），且（），则（+）=（）a（2，12）b（2，12）c14d104已知数列an的通项为an=，则满足an+1an的n的最大值为（）a3b4c5d65abc的三内角a，b，c所对边的长分别为a，b，c设向量=（a+c，b），=（ba，ca），若向量，则角c的大小是（）abcd6等差数列an的前n项和为sn，已知a5=8，s3=6，则s10s7的值是（）a24b48c60d727已知=（1，1），=， =+，若oab是以点o为直角顶点的等腰直角三角形，则oab的面积为（）a2b4c2d8一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7a132b261c262d5179在abc中，三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知2acosb=c，且满足 sinasinb（2cosc）=sin2+，则abc为（）a锐角非等边三角形b等边三角形c等腰直角三角形d钝角三角形10在abc中，ab=2，bc=3，abc=60，ad为bc边上的高，o为ad的中点，若，则+=（）a1bcd11设数列an满足a1=2，an+1=1，记数列an的前n项之积为tn，则t2018=（）a1b2cd12已知abc周长为6，a，b，c分别为角a，b，c的对边，且a，b，c成等比数列，则的取值范围为（）a2，18）b（，2c2，）d（2，93）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知向量，满足=（1，），（）=3，则向量在方向上的投影为 14已知数列an的前n项和sn=3n2，求an的通项公式15如图，在山脚a测得山顶p的仰角为60，沿倾斜角为15的斜坡向上走200米到b，在b处测得山顶p的仰角为75，则山高h= 米16已知数列an的前n项和为sn，对任意nn+，sn=（1）nan+n3且（tan+1）（tan）0恒成立，则实数t的取值范围是 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设正项等比数列an的前n项和为sn，且满足s3=3a3+2a2，a4=8（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn=log2an，数列bn的前n项和为tn，求使得tn取最大值的正整数n的值18在abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，（1）求角a的度数；（2）若，求abc的面积19已知向量满足，|=1，|k+|=|k|，k0 （1）求与的夹角的最大值；（2）若与共线，求实数k的值20如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道mn，且两边是两个关于走道mn对称的三角形（amn和amn）现考虑方便和绿地最大化原则，要求点m与点a，b均不重合，a落在边bc上且不与端点b，c重合，设amn=（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求an，an的长度最短，求此时绿地公共走道mn的长度21已知数列an满足（nn*），a1=1（1）证明：数列为等差数列，并求数列an的通项公式；（2）若记bn为满足不等式的正整数k的个数，数列的前n项和为sn，求关于n的不等式sn4032的最大正整数解22已知数列an满足a1=1，点（an，an+1）在直线y=2x+1上（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1=a1， =+（n2且nn*），求bn+1an（bn+1）an+1的值；（3）对于（2）中的数列bn，求证：（1+b1）（1+b2）（1+bn）b1b2bn（nn*）2016-2017学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知等比数列an满足：a3a7=，则cosa5=（）abcd【考点】88：等比数列的通项公式；gi：三角函数的化简求值【分析】直接利用等比数列的性质结合已知求得则答案可求【解答】解：在等比数列an中，由a3a7=，得，cosa5=cos（）=故选：b2abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，a=，b=，b=45，则角c的大小为（）a15b75c15或75d60或120【考点】hp：正弦定理【分析】由已知及正弦定理可得sina=，结合范围a（45，180），可求a，利用三角形内角和定理可求c 的值【解答】解：a=，b=，b=45，由正弦定理可得：sina=，a（45，180），a=60，或120，c=180ab=15或75故选：c3已知向量=（1，2），=（3，1），=（k，4），且（），则（+）=（）a（2，12）b（2，12）c14d10【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】由已知求出，的坐标，再由（）列式求得k值，得到，然后利用数量积的坐标运算求得（+）【解答】解： =（1，2），=（3，1），=（k，4），=（4，1），=（2，3），（），4k+4=0，解得k=1，则（+）=（1，4）（2，3）=12+43=14故选：c4已知数列an的通项为an=，则满足an+1an的n的最大值为（）a3b4c5d6【考点】82：数列的函数特性【分析】an=，an+1an，化为：对n分类讨论即可得出【解答】解：an=，an+1an，化为：由92n0，112n0，112n92n，解得n由92n0，112n0，解得，取n=5由92n0，112n0，112n92n，解得n因此满足an+1an的n的最大值为5故选：c5abc的三内角a，b，c所对边的长分别为a，b，c设向量=（a+c，b），=（ba，ca），若向量，则角c的大小是（）abcd【考点】hr：余弦定理；96：平行向量与共线向量【分析】因为，根据向量平行定理可得（a+c）（ca）=b（ba），展开即得b2+a2c2=ab，又根据余弦定理可得角c的值【解答】解：（a+c）（ca）=b（ba）b2+a2c2=ab2cosc=1c=故选b6等差数列an的前n项和为sn，已知a5=8，s3=6，则s10s7的值是（）a24b48c60d72【考点】8f：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和【分析】利用条件a5=8，s3=6，计算等差数列的首项，公差，进而可求s10s7的值【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为da5=8，s3=6，s10s7=a8+a9+a10=3a1+24d=48故选b7已知=（1，1），=， =+，若oab是以点o为直角顶点的等腰直角三角形，则oab的面积为（）a2b4c2d【考点】9v：向量在几何中的应用【分析】根据oab是以o为直角顶点的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模长相等的条件，利用向量数量积的定义进行求解即可【解答】解：若oab是以o为直角顶点的等腰直角三角形，则，即=0，则（）（+）=0，即|2|2=0，则|=|=，又|=|，即|=|+|，平方得|2+|22=|2+|2+2，得=0，则|2=|2+|22=|2+|2=2+2=4，则|=2，则oab的面积s=|=22=2故选：a8一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7a132b261c262d517【考点】f1：归纳推理【分析】先根据题意可知第n行有2n1个数，此行最后一个数的为2n1，求出第8行的最后一个数，从而求出所求【解答】解：根据题意可知第n行有2n1个数，此行最后一个数的为2n1那么第8行的最后一个数是281=255，该数表中第9行的第6个数是261，故选：b9在abc中，三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知2acosb=c，且满足 sinasinb（2cosc）=sin2+，则abc为（）a锐角非等边三角形b等边三角形c等腰直角三角形d钝角三角形【考点】hp：正弦定理【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到a=b，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将a+b=c，ab=0代入计算求出cosc的值为0，进而确定出c为直角，即可确定出三角形形状【解答】解：将已知等式2acosb=c，利用正弦定理化简得：2sinacosb=sinc，sinc=sin（a+b）=sinacosb+cosasinb，2sinacosb=sinacosb+cosasinb，即sinacosbcosasinb=sin（ab）=0，a与b都为abc的内角，ab=0，即a=b，已知第二个等式变形得：sinasinb（2cosc）=（1cosc）+=1cosc， cos（a+b）cos（ab）（2cosc）=1cosc，（cosc1）（2cosc）=1cosc，即（cosc+1）（2cosc）=2cosc，整理得：cos2c2cosc=0，即cosc（cosc2）=0，cosc=0或cosc=2（舍去），c=90，则abc为等腰直角三角形故选：c10在abc中，ab=2，bc=3，abc=60，ad为bc边上的高，o为ad的中点，若，则+=（）a1bcd【考点】97：相等向量与相反向量【分析】通过解直角三角形得到bd=bc，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出，值【解答】解：在abd中，bd=1又bc=3所以bd=o为ad的中点故选d11设数列an满足a1=2，an+1=1，记数列an的前n项之积为tn，则t2018=（）a1b2cd【考点】8h：数列递推式【分析】依题意，数列an是以4为周期的函数数列，可求得a1a2a3a4=a5a6a7a8=a2013a2014a2015a2016=1，从而可得答案【解答】解：a1=2，an+1=1，a2=，a3=，a4=3，a5=2，即an+4=an，数列an是以4为周期的函数，又a1a2a3a4=a5a6a7a8=a2005a2006a2007a2008=1，tn为数列an的前n项之积，t2018=（a1a2a3a4）（a5a6a7a8）（a2013a2014a2015a2016）a2017a2018=a1a2=，故选：d12已知abc周长为6，a，b，c分别为角a，b，c的对边，且a，b，c成等比数列，则的取值范围为（）a2，18）b（，2c2，）d（2，93）【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】由已知a+b+c=6，且b2=ac，由基本不等式及三角形中的边角关系求得b的范围得到b的范围，代入数量积公式可得=（b+3）2+27则的取值范围可求【解答】解：由题意可得a+b+c=6，且b2=ac，b=，从而0b2再由|ac|b，得（ac）2b2，（a+c）24acb2，（6b）24b2b2，得b2+3b90，又b0，解得b，b2，cosb=，=accosb=（b+3）2+27则2故选：c二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知向量，满足=（1，），（）=3，则向量在方向上的投影为【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】求出向量b的模，向量a，b的数量积，再由向量在方向上的投影，计算即可得到【解答】解： =（1，），则|=2，（）=3，则=3=43=1，即有向量在方向上的投影为=故答案为：14已知数列an的前n项和sn=3n2，求an的通项公式【考点】8h：数列递推式【分析】首先求出n=1时a1的值，然后求出n2时an的数列表达式，最后验证a1是否满足所求递推式，于是即可求出an的通项公式【解答】解：当n=1时，a1=s1=1，当n2时，an=snsn1=3n23n1+2=23n1，当n=1时，a1=1不满足此递推式，故an=15如图，在山脚a测得山顶p的仰角为60，沿倾斜角为15的斜坡向上走200米到b，在b处测得山顶p的仰角为75，则山高h=150（+）米【考点】hu：解三角形的实际应用【分析】用h表示出bc，aq，列方程解出h【解答】解：cq=200sin15=50（），aq=h，bc=（2）h50（35），h（2）h+50（35）=200cos15=50（+），解得h=150（+）故答案为：150（+）16已知数列an的前n项和为sn，对任意nn+，sn=（1）nan+n3且（tan+1）（tan）0恒成立，则实数t的取值范围是（，）【考点】8h：数列递推式【分析】由数列递推式求出首项，写出n2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数an=1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=，函数an=3（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，再由（tan+1）（tan）0恒成立求得实数t的取值范围【解答】解：由sn=（1）nan+n3，得a1=；当n2时，an=snsn1=（1）nan+n3（1）n1an1（n1）+3=（1）nan+（1）nan1+1，若n为偶数，则an1=1，an=1（n为正奇数）；若n为奇数，则an1=2an+1=2（1）+1=3，an=3（n为正偶数）函数an=1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=，函数an=3（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，若（tan+1）（tan）0恒成立，则a1ta2，即t故答案为：（，）三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设正项等比数列an的前n项和为sn，且满足s3=3a3+2a2，a4=8（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn=log2an，数列bn的前n项和为tn，求使得tn取最大值的正整数n的值【考点】8i：数列与函数的综合；8e：数列的求和【分析】（1）利用已知条件求出数列的公比，然后求解通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用，求解数列的最大项，即可得到结果（法二利用二次函数的性质求解）【解答】解：（1）设正项等比数列an的公比为q，则q0，由已知的s3=3a3+2a2有2a3+a2a1=0，即2a1q2+a1qa1=0，又a10，2q2+q1=0，故q=或q=1（舍），an=a4qn4=（）n7，6 分（2）由（1）知bn=log2an=7n，设tn为其最大项，则有：即，得6n7，故当n=6或7时，tn达到最大（法2），亦可给分18在abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，（1）求角a的度数；（2）若，求abc的面积【考点】hr：余弦定理【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得4cos2a4cosa+1=0，解得：cosa=，结合a为三角形内角可求a的值（2）由余弦定理得b2+c2a2bc=0，结合已知可求c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）依题意可得：，整理可得4cos2a4cosa+1=0，解得：cosa=，（2）由余弦定理得：cosa=，b2+c2a2bc=0，3+c2（c）2=0，3c2+3=0，c=，19已知向量满足，|=1，|k+|=|k|，k0 （1）求与的夹角的最大值；（2）若与共线，求实数k的值【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】（1）利用向量的模，平方展开，推出向量的数量积，然后求解向量的夹角的最大值（2）通过，说明与夹角为0或，利用数量积列出方程求解即可【解答】解：（1）即.，当且仅当且k0即k=1时等号成立.此时又y=cos在0，上单调递减，从而（2），与夹角为0或，又k0，20如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道mn，且两边是两个关于走道mn对称的三角形（amn和amn）现考虑方便和绿地最大化原则，要求点m与点a，b均不重合，a落在边bc上且不与端点b，c重合，设amn=（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求an，an的长度最短，求此时绿地公共走道mn的长度【考点】hu：解三角形的实际应用【分析】（1）由题意可知a=，故amn为等边三角形，根据bm与am的关系得出am，代入面积公式计算；（2）用 表示出am，利用正弦定理得出an关于的函数，利用三角恒等变换求出an取得最小值对应的值，再计算mn的长【解答】解：（1）amnamn，amn=amn=，bma=，bm=am=amam=，ab=a，bc=，b=，a=，amn是等边三角形，s=2samn=2=（2）bma=2，am=am，bm=amcosbma=amcos2am+bm=a，即am（1cos2）=a，am=在amn中，由正弦定理可得：，令f（）=2sinsin（）=2sin（cos+sin）=sin2+=sin（2）+，当即时f（）取最大值，当=时an最短，此时amn是等边三角形，21已知数列an满足（nn*），a1=1（1）证明：数列为等差数列，并求数列an的通项公式；（2）若记bn为满足不等式的正整数k的个数，数列的前n项和为sn，求关于n的不等式sn4032的最大正整数解【考点】8e：数列的求和；8h：数列递推式【分析】（1）对条件式取倒数，移项即可得出=，故而数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出即可得