湖北省宜昌市高三数学上学期元月调考试题 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖北省宜昌市高三（上）元月调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合u=1，2，3，4，5，a=1，2，3，b=2，5，则a（ub）=（）a2b2，3c3d1，32给出下列四个命题：若集合a，b满足ab=a，则ab；给定命题p，q，若“pq”为真，则“pq”为真；设a，b，mr，若ab，则am2bm2；若直线l1：ax+y+1=0与直线l2：xy+1=0垂直，则a=1其中正确命题的个数是（）a1b2c3d43若a、b为两条异面直线，且分别在两个平面、内，若=l，则直线l（）a与a、b 都相交b与a、b都不相交c至少与a、b中的一条相交d至多与a、b中的一条相交4sin45cos105+sin45sin15=（）a0bcd15现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共1升，最下面3节的容积共2升，第5节的容积是（）升a0.2b0.5c0.75d1.56已知定义在r上的函数f（x）=（）|xm|（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.23），b=f（log56），c=f（m），则a，b，c 的大小关系为（）aabcbacbcbacdcba7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）a1000b200cd8已知f1，f2分别是椭圆+=1（abc）的左、右焦点，a是椭圆上位于第一象限内的一点，o为坐标原点， =|2，若椭圆的离心率等于，则直线oa的方程是（）ay=by=xcy=xdy=x9已知函数f（x）=asin（x+）（其中a0，0，0）的部分图象如图所示，f（）=，f（）=0，f（）=0，则a=（）a1bxc0d 10实数x，y满足不等式组，且z=x+y的最大值为9，则m=（）abcd11各项为正数的数列an前n项和为sn，且sn+1=a2sn+a1，nn*，当且仅当n=1和n=2时sn3成立，那么a2的取值范围是（）a1，2）b（1，2c1，2d（1，2）12在abc中，ad为bc边上的高，且ad=bc，b，c分别表示角b，c所对的边长，则的最大值是（）a2bcd二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置.）13函数y=f（x）与函数y=g（x） 互为反函数，且f（x）=2x，则函数y=g（x21）的定义域是14已知向量，满足|=2，|=1，与的夹角为，则与+2的夹角为15由曲线y=x2+x+2与其在点a（2，0）和点b（1，0）处的切线所围成图形的面积为16已知函数f（x）=，若对于正数kn（nn*），关于x的函数g（x）=f（x）knx的零点个数恰好为2n+1个，则k+k+=三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17（12分）（2015秋宜昌月考）abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且c=asincccosa（1）求a；（2）若a=1，abc的面积为，求b，c18（12分）（2016怀化二模）在等比数列an中，公比q1，等差数列bn满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记cn=（1）nbn+an，求数列cn的前n项和sn19（12分）（2015秋宜昌月考）如图，四棱锥pabcd的底面是直角梯形，abcd，abad，pab和pad是两个边长为2的正三角形，dc=4，点o为bd的中点，e为pa的中点（1）求证：pooa；（2）求证：oe平面pdc；（3）求直线cb与平面pdc所成角的正弦值20（12分）（2015秋宜昌月考）已知椭圆c两焦点坐标为（1，0）和（1，0），点p（1，）在椭圆上（1）求椭圆c的标准方程；（2）若线段ab是椭圆c的一条动弦，且|ab|=2，求坐标原点o到直线ab距离的最大值21（12分）（2015长沙校级一模）已知函数f（x）=ln|x|x2+ax，其中ar（1）当a=1时，求函数的单调增区间（2）l为f（x）在x=x0处的切线，且f（x）图象上的点都不在l的上方，求x0的取值范围请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22（10分）（2014新课标ii）如图，p是o外一点，pa是切线，a为切点，割线pbc与o相交于点b，c，pc=2pa，d为pc的中点，ad的延长线交o于点e，证明：（）be=ec；（）adde=2pb2选修4-4：坐标系与参数方程23（2015滑县校级模拟）在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴，圆c的极坐标方程为x（）将圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；（）过点p（2，0）作斜率为1直线l与圆c交于a，b两点，试求的值选修4-5：不等式选讲24（2015贵州模拟）选修45：不等式选讲已知函数f（x）=|2xa|+|x1|（1）当a=3时，求不等式f（x）2的解集；（2）若f（x）5x对xr恒成立，求实数a的取值范围2015-2016学年湖北省宜昌市高三（上）元月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合u=1，2，3，4，5，a=1，2，3，b=2，5，则a（ub）=（）a2b2，3c3d1，3【分析】由题意全集u=1，2，3，4，5，b=2，5，可以求出集合cub，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解：u=1，2，3，4，5，b=2，5，cub=1，3，4a=3，1，2a（cub）=1，3故选d【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题2给出下列四个命题：若集合a，b满足ab=a，则ab；给定命题p，q，若“pq”为真，则“pq”为真；设a，b，mr，若ab，则am2bm2；若直线l1：ax+y+1=0与直线l2：xy+1=0垂直，则a=1其中正确命题的个数是（）a1b2c3d4【分析】由集合交集和包含关系的定义可以判断；考查复合命题真值表；考查不等式性质，可取特值进行否定；直接利用两直线垂直，斜率之积等于1【解答】解：abb，而条件ab=a，故ab正确；若“pq”为真只要p和q中有一个为真即可，而“pq”为真需要p和q都真，故命题错误；m=0时不成立，故结论错误；两直线垂直，斜率之积等于1，命题正确故选b【点评】本题以命题为载体考查集合的关系、不等式性质、两直线垂直等知识点，考查面较广3若a、b为两条异面直线，且分别在两个平面、内，若=l，则直线l（）a与a、b 都相交b与a、b都不相交c至少与a、b中的一条相交d至多与a、b中的一条相交【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：对于a，al，bl=a，满足题意，故a不正确；对于b，l与a、b都不相交，则l与a、b都平行，所以a，b平行，与异面矛盾，故b不正确，c正确；对于d，l可以与a、b都相交，交点为不同点即可，故d不正确故选：c【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养4sin45cos105+sin45sin15=（）a0bcd1【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果【解答】解：sin45cos105+sin45sin15=sin45cos（90+15）+sin45sin15=sin45sin15+sin45sin15=0，故选：a【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题5现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共1升，最下面3节的容积共2升，第5节的容积是（）升a0.2b0.5c0.75d1.5【分析】设自上而下各节的容积成等差数列an，由题意可得：a1+a2+a3=1，a7+a8+a9=2，相加利用等差数列的通项公式的性质即可得出【解答】解：设自上而下各节的容积成等差数列an，由题意可得：a1+a2+a3=1，a7+a8+a9=2，相加可得：a1+a2+a3+a7+a8+a9=6a5=3，解得a5=故选：b【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6已知定义在r上的函数f（x）=（）|xm|（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.23），b=f（log56），c=f（m），则a，b，c 的大小关系为（）aabcbacbcbacdcba【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而得到f（x）=，这样便知道f（x）在0，+）上单调递减，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间0，+）上，然后再比较自变量的值，根据f（x）在0，+）上的单调性即可比较出a，b，c的大小【解答】解：f（x）为偶函数，f（x）=f（x）=（）|xm|，|xm|=|xm|解得：m=0f（x）=在0，+）上单调递减，并且a=f（log0.23）=f（log53），b=f（log56），c=f（0）0log53log56，bac故选：c【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）a1000b200cd【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为a1b的中点，因为a1b=10，所以外接球的半径为5，体积为=故选：d【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目8已知f1，f2分别是椭圆+=1（abc）的左、右焦点，a是椭圆上位于第一象限内的一点，o为坐标原点， =|2，若椭圆的离心率等于，则直线oa的方程是（）ay=by=xcy=xdy=x【分析】设f2（c，0），令x=c，代入椭圆方程求得y=，运用向量的数量积的定义可得af2f1f2，可得a（c，），运用离心率公式和直线的斜率公式，计算即可得到所求直线方程【解答】解：设f2（c，0），令x=c，代入椭圆方程可得y=b=，由=|2，即为|cosaof2=|2，则|cosaof2=|，即有af2f1f2，可得a（c，），又e=，可得=，则直线oa的方程为y=x，即为y=x故选：b【点评】本题考查直线方程的求法，注意运用向量的数量积的定义和椭圆的离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题9已知函数f（x）=asin（x+）（其中a0，0，0）的部分图象如图所示，f（）=，f（）=0，f（）=0，则a=（）a1bxc0d 【分析】首先，根据图象得到函数周期，利用周期公式可求，由题意可得点（，a）在函数图象上，可得=2k，kz，结合范围0，即可求，由f（）=可求a的值【解答】解：根据图象得到：a=2，t=2（）=，=3，f（x）=asin（3x+），由题意可得，点（，a）在函数图象上，可得：asin（3+）=a，即：sin（3+）=1，解得：=2k，kz，0，=，又f（）=asin（3+）=a（）=，解得：a=故选：d【点评】本题重点考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质及其运用，由点（，a）在函数图象上求是解题的关键，属于中档题10实数x，y满足不等式组，且z=x+y的最大值为9，则m=（）abcd【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，z=x+y的最大值为9，平面区域在直线x+y=9的下方，由图象可知当直线y=x+z经过点b时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由得，即b（6，3），同时b也在直线x2my+2=0上，代入得66m+2=0，解得m=，故选：c【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键11各项为正数的数列an前n项和为sn，且sn+1=a2sn+a1，nn*，当且仅当n=1和n=2时sn3成立，那么a2的取值范围是（）a1，2）b（1，2c1，2d（1，2）【分析】各项为正数的数列an满足：sn+1=a2sn+a1，nn*，当n=1时，可得：a1=1；当且仅当n=1和n=2时sn3成立，可得a1+a23，s3=a2（a2+1）+13，解出即可得出【解答】解：sn+1=a2sn+a1，nn*，当n=1时，可得：a1+a2=a1a2+a1，解得a1=1，当且仅当n=1和n=2时sn3成立，a1=10，a1+a23，s3=a2（a2+1）+13，解得：1a22a2的取值范围是1，2），故选：a【点评】本题考查了递推关系、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12在abc中，ad为bc边上的高，且ad=bc，b，c分别表示角b，c所对的边长，则的最大值是（）a2bcd【分析】由三角形的面积公式和余弦定理列出方程，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的性质将方程转化为不等式，设=t代入不等式求出解集，即可得到答案【解答】解：ad是bc边上的高，且ad=bc=a，abc的面积s=，则a2=bcsina，由余弦定理得，a2=b2+c22bccosa，化简得b2+c2bc（sina+2cosa）=0，两边同除bc得，sina+2cosa=，sina+2cosa=（其中tan=2），设=t（t0），则，即，解得t，则，的最大值是，故选：b【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质和换元法，考查化简、变形能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置.）13函数y=f（x）与函数y=g（x） 互为反函数，且f（x）=2x，则函数y=g（x21）的定义域是（，1）（1，+）【分析】利用反函数概念得出g（x）=log2x，利用对数函数性质转化为不等式x210求解即可【解答】解：函数y=f（x）与函数y=g（x） 互为反函数，且f（x）=2x，g（x）=log2x，定义域为（0，+）函数y=g（x21）的定义域满足；x210，即x1或x1，定义域为：（，1）（1，+）故答案为；（，1）（1，+）【点评】本题考查了反函数的概念性质，对数函数的性质，不等式的运用，属于容易题14已知向量，满足|=2，|=1，与的夹角为，则与+2的夹角为【分析】根据向量的数量积公式以模的计算公式和向量的夹角公式即可求出【解答】解：|=2，|=1，与的夹角为，=|cos=21=1，（+2）=|2+2=4+21=6，|+2|2=2+42+4=4+4+4=12，|+2|=2，设与+2的夹角为，cos=，0，=，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题15由曲线y=x2+x+2与其在点a（2，0）和点b（1，0）处的切线所围成图形的面积为【分析】欲求切线的方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合a（2，0）和点b（1，0）都在抛物线上，即可求出切线的方程，然后可得直线与抛物线的交点的坐标和两切线与x轴交点的坐标，最后根据定积分在求面积中的应用公式即可求得所围成的面积s即可【解答】解：对y=x2+x+2求导可得，y=2x+1抛物线=x2+x+2在点a（2，0）和点b（1，0）处的两条切线的斜率分别为3，3从而可得曲线y=x2+x+2在点a（2，0）和点b（1，0）处的两条切线方程分别为l1：3x+y6=0，l2：3xy+3=0联立，求得交点c（，）所以s=sabc（x2+x+2）dx=（x3+x2+2x）=故答案为：【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分在求面积中的应用等基础知识，考查运算求解能力属于中档题16已知函数f（x）=，若对于正数kn（nn*），关于x的函数g（x）=f（x）knx的零点个数恰好为2n+1个，则k+k+=【分析】函数g（x）=f（x）knx 的零点个数可化为函数f（x）与y=knx的图象的交点的个数；作函数f（x）与y=knx的图象，结合图象可得y=knx的图象与（x）=的图象相切，从而可得，从而解得kn=，从而可得kn2=，从而利用裂项求和法解得【解答】解：函数g（x）=f（x）knx 的零点个数可化为函数f（x）与y=knx的图象的交点的个数；作函数f（x）与y=knx的图象如下，关于x的函数g（x）=f（x）knx 的零点个数恰好为2n+1个，y=knx的图象与y=的图象相切，x=，kn=，kn2=，k12+k22+kn2=，故答案为：【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了数列的性质与应用及裂项求和法的应用三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17（12分）（2015秋宜昌月考）abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且c=asincccosa（1）求a；（2）若a=1，abc的面积为，求b，c【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sinc=sinasincsinccosa，又sinc0，利用三角函数恒等变换的应用可得sin（a）=，结合a的范围，即可得解a的值（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=1，利用余弦定理可求得b+c=2，联立方程即可得解b，c的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知结合正弦定理可得sinc=sinasincsinccosa，（2分）sinc0，1=sinacosa=2sin（a），即sin（a）=，（4分）又a（0，），a（，），a=，a=，（6分）（2）s=bcsina，即=bc，bc=1，（7分）又a2=b2+c22bccosa=（b+c）22bc2bccos，即1=（b+c）23，且b，c为正数，b+c=2，（10分）由两式解得b=c=1（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题18（12分）（2016怀化二模）在等比数列an中，公比q1，等差数列bn满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记cn=（1）nbn+an，求数列cn的前n项和sn【分析】（）设等比数列an的公比为q（q1），等差数列bn的公差为d，根据b1=a1，b4=a2，b13=a3及等差、等比数列的通项公式列关于q，d的方程组解出即得q，d，再代入通项公式即可；（）由（）知，sn=c1+c2+cn=（3+5）+（7+9）+（1）n1（2n1）+（1）n（2n+1）+3+32+3n，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可；【解答】解：（） 设等比数列an的公比为q（q1），等差数列bn的公差为d由已知得：，b1=3，b4=3+3d，b13=3+12d，所以或 q=1（舍去），所以，此时 d=2，所以，bn=2n+1；（） 由题意得：，sn=c1+c2+cn=（3+5）+（7+9）+（1）n1（2n1）+（1）n（2n+1）+3+32+3n，当n为偶数时，当n为奇数时，所以，【点评】本题考查等差、等比数列的综合及数列求和，考查方程思想，若数列an等差数列，则数列（1）nan的前n项和并项法求和，按n为奇数、偶数讨论19（12分）（2015秋宜昌月考）如图，四棱锥pabcd的底面是直角梯形，abcd，abad，pab和pad是两个边长为2的正三角形，dc=4，点o为bd的中点，e为pa的中点（1）求证：pooa；（2）求证：oe平面pdc；（3）求直线cb与平面pdc所成角的正弦值【分析】（1）取cd的中点f，连接bf，则可证四边形abfd为菱形，利用勾股定理计算oa，op，即可得出oa2+op2=pa2，结论得证；（2）连结pf，根据中位线定理得出oepf，得出oe平面pdc；（3）以o为原点，以od、of，op为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面pbc的法向量，由于cbof，故而cb与平面pdc所成角的正弦值为|cos|【解答】证明：（1）取cd的中点f，连接bf，则df=ababad，ab=ad，abdc，四边形abfd为正方形o为bd的中点，o为af，bd的交点，pd=pb=2，pobd，bd=2，po=，ao=，po2+oa2=pa2=4，poao（2）连接pf，o是af的中点，e为pa中点，oepf，又oe平面pdc，pf平面pdc，oe平面pdc（3）由（1）知poao，且pobd，po平面abcd，以o为原点，以od、of，op为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则o（0，0，0），p（0，0，），d（，0，0），f（0，0），=（0，0），=（，0），=（，0，）设平面pdc的法向量为=（x，y，z），则， =0即，令z=1，得=（1，1，1）=，|=，|=，cos=o，f分别是bd，cd的中点，cbof直线cb与平面pdc所成角的正弦值为【点评】本题考查了线面平行的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题20（12分）（2015秋宜昌月考）已知椭圆c两焦点坐标为（1，0）和（1，0），点p（1，）在椭圆上（1）求椭圆c的标准方程；（2）若线段ab是椭圆c的一条动弦，且|ab|=2，求坐标原点o到直线ab距离的最大值【分析】（1）由题意列关于a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）分动弦ab垂直于x轴和动弦ab与x轴不垂直讨论，当动弦ab与x轴不垂直时，设出ab所在直线方程y=kx+b，与椭圆方程联立，由弦长得到k与b的关系，然后利用点到直线的距离公式得到原点o到直线ab的距离为h关于b的函数，利用配方法求得最值【解答】解：（1）设椭圆c的标准方程为，（1分）由题可得，（2分）解得a2=2，b2=1（3分）椭圆c的标准方程为（4分）（2）若动弦ab垂直于x轴，此时ab为椭圆的短轴，原点到直线ab的距离为0（5分）若动弦ab与x轴不垂直，设直线ab的方程为y=kx+b，原点o到直线ab的距离为h，由消去y，得（1+2k2）x2+4kbx+2b22=0直线l与圆c交于a、b两点，=16k2b28（1+2k2）（b21）0，即b22k2+1（）（7分）设a（x1，y1），b（x2，y2），则，（8分）|ab|=2，整理得，（9分）1+k21，0，即02（1b2）1，即满足式（10分）=当时，h2取得最大值，且最大值为，即h的最大值为故坐标原点到动弦ab的最大距离为（12分）【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，训练了直线与圆锥曲线位置关系的应用，是中档题21（12分）（2015长沙校级一模）已知函数f（x）=ln|x|x2+ax，其中ar（1）当a=1时，求函数的单调增区间（2）l为f（x）在x=x0处的切线，且f（x）图象上的点都不在l的上方，求x0的取值范围【分析】（1）先求出函数f（x）的定义域，当a=1是求出f（x）的导数，得到极值点，写出单调区间即可（2）表示出f（x）在x=x0处的切线，构造新的函数g（x），则由题意知g（x）0恒成立，求解即可【解答】解：（1）定义域为x|x0，xr，当x0；当x0故，从而f（x）的单调递增区间为（2），l：y=f（x0）（xx0）+f（x0）令g（x）=f（x）f（x0）（xx0）f（x0），由题意，g（x）0恒成立g（x）=f（x）f（x0）=x00时：若x0，则g（x）max=g（x0），若x0，则x00时：若x0，则，若x0，则g（x）max=g（x0）综上，原条件等价于g（x0）0且，易得g（x0）=0符合题意故令t=设h（t）=ln（2t）+th（t），又【点评】本题主要考查利用导数求函数的单调区间以及利用导数证明函数小于零或者大于零的问题，属于难题，在高考中作压轴题出现请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22（10分）（2014新课标ii）如图，p是o外一点，pa是切线，a为切点，割线pbc与o相交于点b，c，pc=2pa，d为pc的中点，ad的延长线交o于点e，证明：（）be=ec；（）adde=2pb2【分析】（）连接oe，oa，证明oebc，可得e是的中点，从而be=ec；（）利用切割线定理证明pd=2pb，pb=bd，结合相交弦定理可得adde=2pb2【解答】证明：（）连接oe，oa，则oae=oea，oap=90，pc=2