高中数学：2.5 平面向量的应用举例.doc

学英语报社 全新课标理念，优质课程资源 2.5平面向量的应用举例 2.5.1平面几何中的向量方法 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。BC例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图2.5.1,=+,=-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？DA分析：不妨设=，=，则 =+，=-， =，=。涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算与解：= =（+）（-）=+=+2+。同理 =-2+。观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得+=2（+）=2（+）。即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。思考 如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？ 平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：（1） 建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。C例2 如图2.5-2，连接ABCD的一个顶点至AD、DC边的中点E、F，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？DABEFRT分析：由于R、T是对角线AC上的两点要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可。又因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断、之间的关系即可。解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：设=，=，=，=，则=+。 第二步，通过向量计算，研究几何元素之间的关系：由于与共线，所以，我们设=n（+），n是实数，又因为 =-=-与共线，所以我们设 =m（-） 因为=+，所以 =+m（-）。 因此， n（+）= +m（-）即 （n-m） +（n+ ） = 由于向量、不共线，要使上式为，必须 解得 n=m=所以 = =第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： AR=RT=TC 思考 用演绎证明的方法如何证明本题的结论？ 2.5.2向量在物理中的应用举例例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型。只要分析清楚F、G和角度三者之间的关系（其中F为F、F的合力），就得到了问题的数学解释。解：不妨设| F|=| F|,由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识可以知道 探究 （1） 为何值时， |F1|最小，最小值是多少？（2） |F1|能等于|G|吗？为什么？例4分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图解：|v|=（km/h）， 所以 t=60=3.1（min）.答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.小结：物理问题(实际问题）向量问题