高中数学 1.5.2.2平面与平面平行的性质课件 北师大版必修2 .ppt

1 利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤 1 先找两个平面 使这两个平面分别经过这两条直线中的一条 2 判定这两个平面平行 3 再找一个平面 使这两条直线都在这个平面上 4 由定理得出结论 由面面平行证明线线平行 2 面面平行的性质定理的本质化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质 而转化的关键是作辅助平面 通过作辅助平面得到交线 就可把面面平行化为线面平行 进而化为线线平行 例1 如图 已知 点p是平面 外的一点 不在 与 之间 直线pb pd分别与 相交于点a b和c d 1 求证 ac bd 2 已知pa 4cm ab 5cm pc 3cm 求pd的长 审题指导 由pb与pd相交于点p可知pb pd确定一个平面 结合 可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系 这样就转化为平面问题 规范解答 1 pb pd p 直线pb和pd确定一个平面 则 ac bd 又 ac bd 2 由 1 得ac bd 互动探究 例题中若p在 与 之间 在第 2 问条件下求cd的长 解析 如图 pb pc p pb pc确定平面 ac bd ac bd pac pbd 即 误区警示 解答此类问题时 容易忽视对题目条件的分析 导致画图不准确而出错 1 对 面面平行 线面平行 的理解因为两个平行平面没有公共点 所以当两个平面平行时 其中一个平面内的任何一条直线必与另一个平面无公共点 所以可得线面平行关系 由面面平行证明线面平行 2 对 线线平行 线面平行 面面平行 之间的关系认识 三者之间的转化关系如图所示 从线线平行 线面平行 面面平行之间的关系可以看出 证明立体几何问题所用的核心思想是转化思想 例2 如图 在四棱锥o abcd中 底面abcd是边长为1的菱形 m为oa的中点 n为bc的中点 证明 直线mn 平面ocd 审题指导 解题的关键是构造过mn与平面ocd平行的平面 根据题目条件中m为oa的中点 n为bc的中点 可利用三角形中位线的性质构造平面 规范解答 如图 取ob的中点e 连接me ne 则me ab 又ab cd me cd 又 ne oc me ne e 平面mne 平面ocd 又直线mn 平面mne mn 平面ocd 变式训练 在长方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是ae cd1的中点 ad aa1 a ab 2a 求证 mn 平面add1a1 解题提示 可证过mn的平面与平面add1a1平行 由m n是中点 可取cd中点g 然后证明平面mng 平面add1a1 证明 取cd的中点g 连接mg ng m n g分别是ae cd1 cd的中点 ng dd1 gm ad 且ng gm g dd1 ad d 平面mng 平面add1a1 又直线mn 平面mng mn 平面add1a1 探索性问题的解题策略 1 解探索性问题应注意三个基本问题 认真审题 确定目标 深刻理解题意 开阔思路 发散思维 探索性问题 2 解立体几何探索性问题的常用方法 特殊值探路 一般化证明 从最简单 最特殊的情况出发 有时也借助直觉观察或判断 推测出结论 充分利用线线平行 线面平行 面面平行的转化关系进行联想和推测 例3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g h分别是棱cc1 c1d1 d1d cd的中点 n是bc的中点 点m在四边形efgh的边上及其内部运动 则点m 时 mn 平面b1bdd1 审题指导 解答本题时一方面要通过观察特殊位置 如点h 推测点m的位置 另一方面要联想过点m与平面bb1d1d平行的直线所在位置的特征 规范解答 平面bdd1b1是正方体abcd a1b1c1d1的对角面 探究过点n且与平面bdd1b1平行的直线 可取b1c1的中点n1 连接n1n 则nn1 平面bdd1b1 连接nh 则nh 平面bdd1b1 nh nn1 n 连接fh fn1 平面nn1fh 平面bdd1b1 因为平面nn1fh 平面efgh fh 所以当点m在线段hf上运动时 总有mn 平面bdd1b1 答案 线段hf 变式训练 在正方体abcd a b c d 中 点m在cd 上 试判断直线b m与平面a bd的位置关系 并说明理由 解析 直线b m 平面a bd 理由如下连接b c b d 在正方体abcd a b c d 中 bb dd 四边形bb d d是平行四边形 b d bd 又b d 平面a bd bd 平面a bd b d 平面a bd 同理可证b c 平面a bd 又b d b c b b d 平面b cd b c 平面b cd 平面b cd 平面a bd 又b m 平面b cd b m 平面a bd 对几何体截面的认识1 作几何体截面的依据 1 用公理2及其他确定平面的方法 2 用公理3确定平面与平面交线的位置 3 用面面平行的性质 画出截面与几何体中平行表面的交线 作几何体的截面 2 作几何体的截面的意义解立体几何问题的关键是化空间问题为平面问题 因此通常要作辅助平面 或者在某一个特定平面中解决问题 所以作出这些截面就成了很关键的问题 例 如图所示 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 a1b1的中点是p 过点a1作与截面pbc1平行的截面 能否确定截面的形状 如果能 求出截面的面积 审题指导 解答本题可考虑面面平行的判定定理 只需过点a1作一个平面保证平面pbc1内有两条相交直线与该平面平行即可 于是可分别取棱ab c1d1的中点m n 连接a1m a1n cm cn 平面a1mcn即为所作平面 规范解答 能 取ab c1d1的中点m n 连接a1m mc cn na1 a1n pc1且a1n pc1 pc1 mc pc1 mc 四边形a1mcn是平行四边形 又 a1n pc1 a1m bp a1n a1m a1 c1p pb p 平面a1mcn 平面pbc1 因此 过点a1与截面pbc1平行的截面是平行四边形 连接mn 作a1h mn于点h 故 所求截面的面积为 变式备选 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别是a1d1 c1d1 cc1的中点 试作出e f g三点确定的平面与正方体表面的交线 并判断该截面的形状 解析 画法 1 延长fg交dc的延长线于点o 2 连接ac 过点o作ac的平行线 交bc于点h 交ab于点i 3 取aa1的中点j 连接gh ij je正六边形efghij为所求作截面 理由如下 记此截面为 为画出 与平面abcd的交线 可先确定两个平面的一个公共点 即点o 然后根据平面abcd 平面a1b1c1d1 判断 与这两个平面的交线平行 因此过点o作oi ac 这是因为ac a1c1 ef所以oi ef 同理 截面 与正方体的每一对相对表面的交线都是互相平行的 可以画出交线ij je 典例 12分 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 点n在bd上 点m在b1c上 且cm dn 求证 mn 平面aa1b1b 审题指导 证明本题的关键是作辅助线 如果能作出过mn与平面aa1b1b平行的平面 就可以证明本题 规范解答 方法一 如图 作mp bb1 交bc于点p 连接np 2分 mp bb1 bd b1c dn cm b1m bn np cd ab 8分 np mp p 平面mnp 平面aa1b1b 10分 mn 平面mnp mn 平面aa1b1b 12分 方法二 如图 作me bc 交bb1于e 作nf ad 交ab于f 则me nf 2分连接ef 则ef 平面aa1b1b bd b1c dn cm b1m bn me nf 又me nf 四边形nfem为平行四边形 mn ef 8分 mn 平面aa1b1b ef 平面aa1b1b mn 平面aa1b1b 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为平行四边形 e f g分别是pc pd bc的中点 求证 pa 平面efg 证明 e f分别是pc pd的中点 ef cd 底面abcd为平行四边形 ab cd ef ab 又ef 平面pab ab 平面pab ef 平面pab e g分别是pc bc的中点 eg pb 又eg 平面pab pb 平面pab eg 平面pab 又ef eg e 平面pab 平面efg 又pa 平面pab pa 平面efg 1 若 直线a 平面 点b 则在平面 内与过b的所有直线中 a 不一定存在与a平行的直线 b 只有两条与a平行的直线 c 存在无数条与a平行的直线 d 存在唯一与a平行的直线 解析 选d 由已知得ba 因此b与a可以确定唯一平面 此平面与平面 的交线是直线a和平面 内过点b的直线 由面面平行的性质知这两条直线平行 2 若 a 下列四个说法正确的是 a与 内所有直线平行 a与 内的无数条直线平行 a与 内的任何一条直线都不垂直 a与 无公共点 a b c d 解析 选b 过a作平面 使 b 因为 所以a b 根据公理4知在平面 内与b平行的直线都与a平行 其他直线与a异面 所以 错误 正确 在平面 内与b垂直的直线都与a垂直 错误 正确 3 如图 在三棱锥o abc中 d e f分别是棱oa ob oc上的点 且平面def 平面abc 则角一定相等的有 对 解析 因为平面def 平面abc 所以de ab ef bc df ac def abc 所以相等的角有9对 答案 9 4 过正方体abcd a1b1c1d1的顶点a1 c1 b的平面与底面abcd所在平面的交线为l 则l与a1c1的位置关系是 解题提示 用两个平面平行的性质去判断 解析 由于平面abcd 平面a1b1c1d1 平面a1b1c1d1 平面a1c1b a1c1 平面abcd 平面a1c1b l 由面面平行的性质知l a1c1 答案 平行 5 求证 夹在两个平行平面间的平行线段相等 证明 如图 平面 平面 设a d b c 且ab cd 则由ab cd可确定一平面 且 与 分别交于ad bc ad bc 四边形abcd为平行四边形 ab cd 即夹在两个平行平面间的平行线段相等 一 选择题 每题4分 共16分 1 下图中给出的是长方体木料 想象沿图中平面所示位置截长方体 那么截面图形是下面四个图形的 解析 选c 长方体的相对表面互相平行 因此由面面平行的性质知本题中的截面是平行四边形 2 如图所示 abc a b c 分别在 内 线段aa bb cc 交于点o o在 之间 若ab 2 ac 1 bac 90 oa oa 3 2 则 a b c 的面积为 a 1 b 2 解析 选c 因为aa 与bb 相交于点o 所以aa bb 确定一个平面 由 ab a b 由 知ab a b 所以 oab oa b ab a b oa oa 3 2 同理可证ac a c 3 2 bc b c 3 2 所以 abc a b c 相似比是3 2 所以s abc s a b c 9 4 所以 3 m n p为三个不重合的平面 a b c为三条不同的直线 则有下列说法 不正确的是 a b c d 解析 选c 分别是直线平行和平面平行的传递性 正确 中a与b还可能异面或相交 中m与n还可能相交 中还可能a m 中可能还有a m 方法技巧 面面平行的性质 荟萃 如果两个平面平行 那么除了面面平行的性质定理之外 我们还可以得到如下结论 1 如果两个平面平行 那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 2 如果两个平面分别平行于第三个平面 那么这两个平面平行 3 夹在两个平行平面之间的平行线段相等 4 两条直线被三个平行平面所截 截得的对应线段成比例 4 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为12 g f分别是c1d1 bc的中点 过a1 g f三点的平面与正方体的底面abcd的交线是ef 其中点e在ab上 则be a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选c 因为平面abcd 平面a1b1c1d1所以a1g ef 取dc ab的中点g h连接ag ch 可证a1g ag ag ch 所以ef ch 又f为bc的中点 所以e是bh的中点 所以 二 填空题 每题4分 共8分 5 棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 m是棱aa1的中点 过c m d1作正方体的截面 则截面的面积是 解析 由面面平行的性质知截面与面ab1的交线mn是 aa1b的中位线 所以截面是梯形cd1mn 易求其面积为答案 6 已知平面 两条直线l m分别与平面 相交于点a b c和点d e f 已知ab 6 而则ac 解析 连接af交 于点g 连接bg ge ad cf bg cf ge ad ab 6 ac 15 答案 15 三 解答题 每题8分 共16分 7 2011 孝感高一检测 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 点d e f分别是ab aa1 cc1的中点 p是cd上的点 求证 直线pe 平面a1bf 解题提示 要证直线pe 平面a1bf可以转化为证明平面edc 平面a1bf 证明 如图所示 连接de ce d e f分别是所在棱的中点 de a1b a1ecf 四边形a1ecf是平行四边形 ec a1f 又de ce e a1b a1f a1 平面edc 平面a1bf 又pe 平面edc pe 平面a1bf 8 几何体abcd a1b1c1d1是棱长为a的正方体 m n分别是棱a1b1 b1c1的中点 p是ad上的一点 过p m n的平面交底面abcd于pq q在cd上 求pq的长度 解题提示 解答本题的关键是利用面面平行的性质及空间线线平行的传递性证明pq ac 解析 连接ac a1c1 平面ab