高中数学 2.2.2圆的一般方程课件 北师大版必修2 .pptVIP

二元二次方程同圆的关系 1 二元二次方程ax2 by2 cxy dx ey f 0表示圆的等价条件是 二元二次方程同圆的关系 2 对于二元二次方程中变量系数含参数的 在求解时 常结合分类讨论的思想分析方程反映的曲线特征 3 研究二元二次方程同圆的关系时常有配方法和验证d2 e2 4f x2 y2的系数为1 的符号两种方法 例1 下列方程能否表示圆 若能表示圆 求出圆心和半径 1 x2 2y2 7x 5 0 2 x2 xy y2 3x 5y 0 3 x2 y2 2x 4y 10 0 4 2x2 2y2 10y 0 审题指导 解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般式的特征 规范解答 1 由于x2 y2的系数不相等 故不表示圆 2 由于该方程中含有xy这样的二次项 故不表示圆 3 方程x2 y2 2x 4y 10 0可化为 x 1 2 y 2 2 5 0 显然不表示圆 4 方程 2x2 2y2 10y 0可化为所以其可以表示以为圆心 以为半径的圆 变式训练 若关于x y的方程x2 y2 mxy 2x y n 0表示的曲线是圆 则m n的取值范围是 解析 选a x2 y2 mxy 2x y n 0表示圆 解得 误区警示 本题在求解中常因不明确圆的一般方程的形式而出错 1 用待定系数法求圆的方程的步骤 1 根据题意选择圆的方程的形式 标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 3 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 利用待定系数法求圆的方程 2 对圆的一般方程和标准方程的选择 1 如果由已知条件容易求得圆心坐标 半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题 一般采用圆的标准方程 再用待定系数法求出a b r 2 如果已知条件和圆心或半径都无直接关系 一般采用圆的一般方程 再利用待定系数法求出常数d e f 1 求圆的方程无论选择一般式还是标准式都需要三个独立的条件 2 已知三点或已知圆在坐标轴上的截距求圆的方程时常常选择圆的一般式 例2 已知一圆过p 4 2 q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为求圆的方程 审题指导 解答本题的关键是应用条件 在y轴上截得的线段长为 常见思路有两种 1 设圆的方程的一般式x2 y2 dx ey f 0 令x 0利用及p q两点满足圆的方程求解参数d e f 2 设圆心坐标 a b 利用直角三角形建立半径及弦长的关系求解 规范解答 方法一 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 将点p q的坐标分别代入 得 令x 0 由 得y2 ey f 0 由已知其中y1 y2是方程 的两根 所以 y1 y2 2 y1 y2 2 4y1y2 e2 4f 48 解 组成的方程组得d 2 e 0 f 12 或d 10 e 8 f 4 故所求圆的方程为x2 y2 2x 12 0或x2 y2 10 x 8y 4 0 方法二 设圆心坐标为c a b 由题意可知c a b 在线段pq的中垂线y x 1上 b a 1 又圆在y轴上截得的线段长为由圆的几何性质可得a2 12 a 1 2 b 3 2 把b a 1代入 解得a 1或a 5 圆的圆心坐标为 1 0 半径为或圆心坐标为 5 4 半径为故所求圆的方程为 x 1 2 y2 13或 x 5 2 y 4 2 37 互动探究 把条件 在y轴上截得的线段长为 换成 在x轴上截得的线段长为 求相应问题 解题提示 设圆的方程的一般式或标准形式利用待定系数法求解 解析 方法一 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 将点p q的坐标分别代入 得 令y 0 由 得x2 dx f 0 由已知其中x1 x2是方程 的两根 所以 解 组成的方程组得d 4 e 2 f 8 故所求圆的方程为x2 y2 4x 2y 8 0 方法二 设圆心坐标为c a b 由题意可知c a b 在线段pq的中垂线y x 1上 b a 1 又圆在x轴上截得的线段长为由圆的几何性质可得b2 12 a 1 2 b 3 2 解得a 2 b 1 圆的圆心坐标为 2 1 半径为故所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 13 1 求轨迹方程的一般步骤 1 建立适当的直角坐标系 用有序实数对 x y 表示动点p的坐标 2 写出适合条件的点p的集合m p m p 3 用坐标表示条件m p 列出方程f x y 0 4 化方程f x y 0为最简形式 5 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 坐标法求动点的轨迹 步骤 5 可省略不写 但必要时要验证有无漏点或多点的情形 2 轨迹与轨迹方程的异同 求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事 求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程 然后由方程研究轨迹图形 求动点的轨迹方程有时先由已知条件判断出轨迹图形 然后由图形求方程 轨迹 是图形 要指出形状 位置 大小 范围 等特征 轨迹方程 是方程 等式 不仅要给出方程 还要指出变量的取值范围 例 等腰三角形的顶点是a 4 2 底边一个端点是b 3 5 求另一个端点c的轨迹方程 并说明它的轨迹是什么 审题指导 解答本题可利用求轨迹的方法 设出c点的坐标 x y 根据 ab ac 列方程化简整理 即可得点c的轨迹方程 然后由轨迹方程指明轨迹 规范解答 设另一端点c的坐标为 x y 依题意 得 ac ab 由两点间距离公式 得两边平方 得 x 4 2 y 2 2 4 3 2 2 5 2 整理得 x 4 2 y 2 2 10 这是以点a 4 2 为圆心 以为半径的圆 如图所示 又因为a b c为三角形的三个顶点 所以a b c三点不共线 即点b c不能重合且b c不能为 圆a的一直径的两个端点 因为点b c不能重合 所以点c的坐标不能为 3 5 又因为点b c不能为一直径的两个端点 所以点c的坐标不能为 5 1 故端点c的轨迹方程是 x 4 2 y 2 2 10 x 3且x 5 c的轨迹是以a 4 2 为圆心 为半径的圆 但除去 3 5 和 5 1 两点 变式备选 一动点m到a 4 0 的距离是到b 2 0 的距离的2倍 求动点m的轨迹方程 解析 设动点m的坐标 x y 则 ma 2 mb 即整理得x2 y2 8x 0 所求动点的轨迹方程为x2 y2 8x 0 典例 12分 2011 常州高二检测 设 abc的顶点坐标为其中a 0 圆m为 abc的外接圆 1 求圆m的方程 2 当a变化时 圆m是否过某一定点 请说明理由 审题指导 圆m过点a b c 利用待定系数法求圆的方程 探究圆m是否过某一定点 就是探究当a变化时圆m的特性 故可类比直线恒过定点进行求解 规范解答 1 设圆m的方程为x2 y2 dx ey f 0 圆m过点 3分解得d 0 e 3 a f 3a 5分 圆m的方程为x2 y2 3 a y 3a 0 6分 2 圆m的方程可化为 3 y a x2 y2 3y 0 8分由 10分解得x 0 y 3 圆m过定点 0 3 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 在平面直角坐标系xoy中 二次函数f x x2 2x b x r 与两坐标轴有三个交点 记过三个交点的圆为圆c 1 求圆c的方程 2 圆c是否经过定点 与b的取值无关 证明你的结论 解题提示 设出圆的一般方程x2 y2 dx ey f 0 利用f x x2 2x b x r 与两坐标轴有三个交点求d e f 解析 1 设所求圆的一般方程为x2 y2 dx ey f 0 令y 0 得x2 dx f 0 这与x2 2x b 0是同一个方程 故d 2 f b 令x 0 得y2 ey b 0 此方程有一个根为b 代入得e b 1 所以圆c的方程为x2 y2 2x b 1 y b 0 2 圆c的方程可化为 1 y b x2 y2 2x y 0 由解得x 0 y 1或x 2 y 1 圆m过定点 0 1 2 1 1 圆心为 2 3 且与y轴相切的圆的方程是 a x2 y2 4x 6y 9 0 b x2 y2 4x 6y 4 0 c x2 y2 4x 6y 9 0 d x2 y2 4x 6y 4 0 解析 选a 由已知可知圆的半径为2 所以圆的方程为 x 2 2 y 3 2 4 整理得x2 y2 4x 6y 9 0 2 圆x2 y2 2x 6y 8 0的周长为 a b 2 c d 4 解析 选c 圆的方程可化为 x 1 2 y 3 2 2 所以圆的半径周长为 3 圆心为 2 4 半径为4的圆的一般方程为 解析 由题设可得圆的标准方程为 x 2 2 y 4 2 16 展开可得x2 y2 4x 8y 4 0 即为所求的圆的一般方程 答案 x2 y2 4x 8y 4 0 4 直线y x b经过x2 y2 8x 2y 8 0的圆心 则b 解析 圆x2 y2 8x 2y 8 0化为圆的标准方程为 x 4 2 y 1 2 9 则圆心为 4 1 过直线y x b 则b 3 答案 3 5 判断下列方程分别表示什么图形 1 x2 y2 2x 4y 6 0 2 x2 y2 2ax b2 0 解析 1 方程x2 y2 2x 4y 6 0可化为 x 1 2 y 2 2 11 所以 该方程表示以 1 2 为圆心 以为半径的圆 2 方程x2 y2 2ax b2 0可化为 x a 2 y2 a2 b2 当a b 0时 表示原点 0 0 当a b不全为0时 表示以 a 0 为圆心 以为半径的圆 一 选择题 每题4分 共16分 1 2011 赤壁高二检测 圆x2 y2 4x 6y 3 0的圆心坐标和半径分别是 a 2 3 和4 b 2 3 和4 c 2 3 和4 d 2 3 和 解析 选c 圆x2 y2 4x 6y 3 0可化为 x 2 2 y 3 2 16 圆心为 2 3 半径r 4 2 2011 福州模拟 已知圆c x2 y2 mx 4 0上存在两点关于直线x y 3 0对称 则实数m的值为 a 8 b 4 c 6 d 无法确定 解析 选c 因为圆上两点a b关于直线x y 3 0对称 所以直线x y 3 0过圆心从而即m 6 3 2011 辽阳高一检测 若方程a2x2 a 2 y2 2ax a 0表示圆 则a的值为 a 1 b 2 c 1或2 d 不存在 解析 选a 要使方程表示圆 需解得a 1 4 已知a 0 0 b 6 0 c 1 7 则 abc的外接圆的方程是 a x 3 2 y 4 2 5 b x 3 2 y 4 2 25 c x 3 2 y 4 2 25 d x 3 2 y 4 2 5 解析 选c 设圆的方程是x2 y2 dx ey f 0 将a b c三点带入得d 6 e 8 f 0 从而圆的方程为x2 y2 6x 8y 0 化为标准式可知c正确 二 填空题 每题4分 共8分 5 2010 上海高考 圆c x2 y2 2x 4y 4 0的圆心到直线l 3x 4y 4 0的距离d 解题提示 先求出圆心坐标 再利用点到直线的距离公式求值 解析 由圆的方程可知圆心坐标为c 1 2 由点到直线的距离公式 可得答案 3 6 方程x2 y2 2ax 4ay 4a2 1 0表示圆心在第一象限的圆 则实数a的范围为 解析 圆x2 y2 2ax 4ay 4a2 1 0可化为 x a 2 y 2a 2 a2 1 其圆心坐标为 a 2a 又该方程表示圆心在第一象限的圆 所以解得a 1 答案 1 误区警示 本题在求解过程中极易漏掉验证半径大于0这一条件 三 解答题 每题8分 共16分 7 求过三点a 1 12 b 7 10 c 9 2 的圆的方程 并求出圆的圆心与半径 解析 设所求的圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 依题意有 解得d 2 e 4 f 95 于是所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 95 0 将上述方程配方得 x 1 2 y 2 2 100 于是 圆的圆心坐标为 1 2 半径为10 8 若直线l ax by 1 0始终平分圆m x2 y2 4x 2y 1 0的周长 求 a 2 2 b 2 2的最小值 解析 由题意知 圆心坐标为 2 1 2a b 1 0 表示点 a b 与点 2 2 的距离 的最小值为所以 a 2 2 b 2 2的最小值为5 挑战能力 10分 已知方程表示一个圆 1 求实数m的取值范围 2 求该圆的半径r的取值范围 3 求圆心c的轨迹方程 解析 1 要使方程表示圆 则8 2m 3 2 4 1 4m2 2 4 16m4 9 0