高中数学 第一部分 第一章 §2 2.1 第二课时 等差数列性质的应用课件 北师大版必修5.ppt

2 1等差数列 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第一章数列 考点一 考点三 考点二 第二课时等差数列性质的应用 2 1等差数列 第二课时等差数列性质的应用 已知一个无穷等差数列 an 的首项为a1 公差为d 问题1 将数列中的前m项去掉 其余各项按原来的次序组成一个新的数列 这个新数列是等差数列吗 如果是 它的首项与公差分别是多少 提示 是 首项为am 1 公差为d 问题2 取出数列中的所有奇数项 按原来的次序组成一个新的数列 这个新数列是等差数列吗 如果是 它的首项与公差分别是多少 提示 是 首项是a1 公差为2d 问题3 2a5 a3 a7是否成立 2a5 a1 a9呢 提示 两个等式都成立 问题4 a3 a10 a2 a11是否成立 若m n p q时 am an ap aq成立吗 提示 都成立 am an 2a1 m n 2 d ap aq 2a1 p q 2 d m n p q am an ap aq 问题5 an am n m d成立吗 数列 2an 1 是等差数列吗 提示 都成立 an a1 n 1 d am a1 m 1 d 两式相减 an am n m d 又 2an 1 1 2an 1 2 an 1 an 2d 2an 1 是等差数列 等差数列的常用性质 1 m n p q am an ap aq 特别地若m n 2p 则am an 2ap 2 若m p n成等差数列 则am ap an也成等差数列 3 若数列 an 成等差数列 则an pn q p q r 4 若数列 an 成等差数列 则数列 an b b为常数 仍为等差数列 5 an 和 bn 均为等差数列 则 an bn 也是等差数列 1 等差数列的通项公式可以推广为an am n m d 它反映了等差数列中 任意两项之间的关系 当等差数列给出其中两项时 使用非常方便 2 等差数列性质的应用非常灵活 在解题中常能起到事半功倍的效果 例1 在公差为d的等差数列 an 中 1 已知a2 a3 a23 a24 48 求a13 2 已知a2 a3 a4 a5 34 a2 a5 52 求d 思路点拨 解答本题可以直接转化为基本量的运算 求出a1和d后再解决其他问题 也可以利用等差数列的性质来解决 精解详析 法一 1 化成a1和d的方程如下 a1 d a1 2d a1 22d a1 23d 48 即4 a1 12d 48 4a13 48 a13 12 一点通 利用等差数列性质解题是处理等差数列问题的技巧方法 利用好性质可以使计算过程大大简化 在等差数列中 一般存在两种运算方法 一是利用基本量运算 借助于a1 d建立方程组进行运算 二是利用性质运算 运用等差数列的性质 往往会有事半功倍的效果 答案 a 2 2011 重庆高考 在等差数列 an 中 a3 a7 37 则a2 a4 a6 a8 解析 依题意得a2 a4 a6 a8 a2 a8 a4 a6 2 a3 a7 74 答案 74 3 数列 an 为等差数列 已知a2 a5 a8 9 a3a5a7 21 求数列 an 的通项公式 解 a2 a8 2a5 3a5 9 a5 3 a2 a8 a3 a7 6 又a3a5a7 21 a3a7 7 由 解得a3 1 a7 7或a3 7 a7 1 a3 1 d 2 或a3 7 d 2 由通项公式的变形公式an a3 n 3 d 得an 2n 7或an 2n 13 例2 某公司经销一种数码产品 第1年可获利200万元 从第2年起 由于市场竞争等方面的原因 其利润每年比上一年减少20万元 按照这一规律 如果公司不开发新产品 也不调整经营策略 从哪一年起 该公司经销这一产品将亏损 思路点拨 根据题意 可以将该实际问题转化为一个等差数列问题进行求解 精解详析 设从第1年起 第n年的利润为an 则由题意知a1 200 an an 1 20 n 2 n n 所以每年的利润an可构成一个等差数列 an 且公差d 20 从而an a1 n 1 d 220 20n 若an11 即从第12年起 该公司经销此产品将亏损 一点通 解决实际应用问题 首先要认真领会题意 根据题目条件 寻找有用的信息 若一组数按次序 定量 增加或减少时 则这组数成等差数列 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键 在解题过程中 一定要分清首项 项数等关键的问题 4 梯子的最高一级宽33cm 最低一级宽110cm 中间还有10级 各级宽度依次成等差数列 计算中间各级的宽度 解 设梯子的第n级的宽为ancm 其中最高一级为a1cm 则数列 an 是等差数列 由题意 得a1 33 a12 110 n 12 则a12 a1 11d 所以有110 33 11d 解得d 7 所以a2 33 7 40 a3 40 7 47 a11 96 7 103 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm 47cm 54cm 61cm 68cm 75cm 82cm 89cm 96cm 103cm 5 假设某市2011年新建住房400万平方米 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米 那么从哪一年开始 该市每年新建住房的面积大于820万平方米 一点通 等差数列是一种特殊的数列 要熟练掌握等差数列的基本运算和性质并会判定或证明等差数列 对于本题这种探索性问题 一般先假设其成立 然后按常规来解 如果得到的结果符合条件 则结论成立 否则结论不成立 6 成等差数列的四个数之和为26 第二个数与第三个数之积为40 求这四个数 7 两个等差数列5 8 11 和3 7 11 都共有100项 问它们有多少个共同的项 解 设两个数列分别为 an 与 bk n 100k 100 则a1 5 d1 8 5 3 通项an 5 n 1 3 3n 2 b1 3 d2 7 3 4 通项bk 3 k 1 4 4k 1 设数列 an 的第n项与 bk 的第k项相同 1 等差数列的 子数列 的性质 若数列 an 是公差为d的等差数列 则 1 an 去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列 2 奇数项数列 a