高考数学得分技巧整理

欢迎关注微信公众号（QQ群）：高中数学解题研究群416652117高考数学得分技巧整理（完整版）目 录高考数学得分技巧整理（完整版）1第1讲选择题的解题方法与技巧2一、题型特点概述2二、解题方法例析2三、知能提升演练10第2讲填空题的解题方法与技巧15一、题型特点概述15二、解题方法例析16三、知能提升演练23第3讲解答题答题模板28模板1三角函数的单调性及求值问题28模板2解析几何中的探索性问题29模板3由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an31模板4函数的单调性、最值、极值问题31第4讲 考前急训：答题规范33一、概念、符号应用要规范34二、结论表示要规范34三、书写格式要规范36四、几何作图要规范37五、解题步骤要规范3942第1讲选择题的解题方法与技巧一、题型特点概述选择题是高考数学试卷的三大题型之一选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是：(1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段二、解题方法例析题型一直接对照法直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，则f(99)等于()A13 B2 C. D.思维启迪先求f(x)的周期解析f(x2)，f(x4)f(x)函数f(x)为周期函数，且T4.f(99)f(4243)f(3).探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有的结论，迅速得到所需结论如本题通过分析条件得到f(x)是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键变式训练1 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)的值为()A5 B5 C. D解析由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(5)f(1)5，从而f(f(5)f(5)f(1).例2 设双曲线1的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A. B5C. D.思维启迪 求双曲线的一条渐近线的斜率即的值，尽而求离心率解析设双曲线的渐近线方程为ykx，这条直线与抛物线yx21相切，联立，整理得x2kx10，则k240，解得k2，即2，故双曲线的离心率e.探究提高 关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率变式训练2 已知双曲线C：1(a0，b0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()Aa Bb C. D.解析1的其中一条渐近线方程为：yx，即bxay0，而焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离db.故选B.题型二概念辨析法概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”例3 已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，给出下列条件，akb(kR)；x1x2y1y20；(a3b)(2ab)；ab|a|b|；xyxy2x1x2y1y2.其中能够使得ab的个数是()A1 B2 C3 D4解析显然是正确的，这是共线向量的基本定理；是错误的，这是两个向量垂直的条件；是正确的，因为由(a3b)(2ab)，可得(a3a)(2ab)，当时，整理得ab，故ab，当时也可得到ab；是正确的，若设两个向量的夹角为，则由ab|a|b|cos ，可知cos 1，从而0，所以ab；是正确的，由xyxy2x1x2y1y2，可得(x1y2x2y1)20，从而x1y2x2y10，于是ab.探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解共线向量变式训练3 关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：若abac，则bc.若a(1，k)，b(2,6)，ab，则k3.非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.则假命题为()A B C DB解析abaca(bc)0，a与bc可以垂直，而不一定有bc，故为假命题ab，162k.k3.故为真命题由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60，ab为其对角线上的向量，a与ab夹角为30，故为假命题题型三数形结合法“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论例4 (2009海南)用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为()A4 B5 C6 D7C思维启迪 画出函数f(x)的图象，观察最高点，求出纵坐标即可本题运用图象来求值，直观、易懂解析由题意知函数f(x)是三个函数y12x，y2x2，y310x中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点变式训练4 (2010湖北）设集合A，B，则AB的子集的个数是( )A4 B3 C2 D1A解析集合A中的元素是椭圆1上的点，集合B中的元素是函数y3x的图象上的点由数形结合，可知AB中有2个元素，因此AB的子集的个数为4.例5 函数f(x)1|2x1|，则方程f(x)2x1的实根的个数是（ ）A0 B1 C2 D3C思维启迪 若直接求解方程显然不可能，考虑到方程可转化为f(x)x，而函数yf(x)和yx的图象又都可以画出，故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象交点的个数确定相应方程的根的个数解析方程f(x)2x1可化为f(x)x，在同一坐标系下分别画出函数yf(x)和yx的图象，如图所示可以发现其图象有两个交点，因此方程f(x)x有两个实数根探究提高 一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围问题，要多考虑利用数形结合法方程f(x)0的根就是函数yf(x)图象与x轴的交点横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数yf(x)和yg(x)图象的交点横坐标利用数形结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我们熟知的或容易画出的，如果一开始给出的方程中涉及的函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的变形，使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解变式训练5 函数y|log x|的定义域为a，b，值域为0,2，则区间a，b的长度ba的最小值是 ( )A2 B. C3 D.D解析作出函数y|log x|的图象，如图所示，由y0解得x1；由y2，解得x4或x.所以区间a，b的长度ba的最小值为1.题型四特例检验法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略例6 已知A、B、C、D是抛物线y28x上的点，F是抛物线的焦点，且0，则|的值为()A2 B4 C8 D16D解析取特殊位置，AB，CD为抛物线的通径，显然0，则|4p16，故选D.探究提高 本题直接求解较难，利用特殊位置法，则简便易行利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件变式训练6 已知P、Q是椭圆3x25y21上满足POQ90的两个动点，则等于()A34 B8 C. D.B解析取两特殊点P(，0)、Q(0，)即两个端点，则358.故选B.例7 数列an成等比数列的充要条件是 ( )Aan1anq(q为常数) Baanan20Cana1qn1(q为常数) Dan1B解析考查特殊数列0,0，0，不是等比数列，但此数列显然适合A，C，D项故选B.探究提高 判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定义法，也就是看是否为常数，但应注意检验一个数列为等比数列的必要条件是否成立变式训练7 已知等差数列an的前n项和为Sn，若，则的值为()A2 B3 C4 D8解析方法一(特殊值检验法)取n1，得，4，于是，当n1时，4.方法二(特殊式检验法)注意到，取an2n1，4.方法三(直接求解法)由，得，即，an，于是，224.C题型五筛选法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论例8 方程ax22x10至少有一个负根的充要条件是()A0a1 Ba1Ca1 D0a1或a5，故选D.规律方法总结1解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和数形结合法但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法2由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃3作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.三、知能提升演练1已知集合A1,3,5,7,9，B0,3,6,9,12，则A(NB)等于A1,5,7 B3,5,7C1,3,9 D1,2,3解析由于3NB，所以3A(NB) 排除B、C、D，故选A.2已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向 Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向 Dk1且c与d反向解析当k1时，cab，不存在实数，使得ab.所以c与d不共线，与cd矛盾排除A、B；当k1时，cab(ab)d，所以cd，且c与d反向故应选D.3已知函数ytan x在内是减函数，则()A01 B10时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，排除A、C，又当|1时正切函数的最小正周期长度小于，ytan x在内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D，故选B.4已知函数f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A(0,2) B(0,8) C(2,8) D(，0)解析当m1时，f(x)2x26x1，g(x)x，由f(x)与g(x)的图象知，m1满足题设条件，故排除C、D.当m=2时，f(x)=4x2-4x+1,g(x)=2x,由其图象知，m=2满足题设条件，故排除A.因此，选项B正确5已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，则向量与向量的夹角的取值范围是()A0， B，C， D，解析|=，A的轨迹是C，半径为.由图可知COB，设向量与向量的夹角为，则，故选D.答案D6设函数yf(x)在(，)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)取函数f(x)2|x|，当K时，函数fK(x)的单调递增区间为()A(，0) B(0，)C(，1) D(1，)解析函数f(x)2|x|()|x|，作图f(x)Kx(，11,),故在(,1)上是单调递增的,选C项7设x，yR，用2y是1x和1x的等比中项，则动点(x，y)的轨迹为除去x轴上点的 ( )A一条直线 B一个圆C双曲线的一支 D一个椭圆解析(2y)2(1x)(1x)(y0)得x24y21(y0)8设A、B是非空数集，定义A*Bx|xAB且xAB，已知集合Ax|y2xx2，By|y2x，x0，则A*B等于()A0,1(2，) B0,1)(2，)C(，1 D0,2解析AR，B(1，)，故A*B(，1，故选C.9(2010福建)若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，)C，) D，)B解析由c2得a214，a23，双曲线方程为y21.设P(x，y)(x)，(x，y)(x2，y)x22xy2x22x1x22x1(x)令g(x)x22x1(x)，则g(x)在，)上单调递增g(x)ming()32.的取值范围为32，)10已知等差数列an满足a1a2a1010，则有( ) Aa1a1010 Ba2a1020Ca3a990 Da5151解析取满足题意的特殊数列an0，则a3a990，故选C.11在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为A4 B6 C8 D10解析令等差数列an为常数列an16.显然a7a81688.故选C.12若0，则下列不等式：ab|b|；a2中，正确的不等式是()A B C D解析取a1，b2，则、不正确，所以A、B、D错误，故选C.13.(2010全国)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()解析观察并联想P运动轨迹与d的关系，当t0时，d，排除A、D；当开始运动时d递减，排除B.C14若函数f(x)4a的最小值等于3，则实数a的值等于A. B1 C. 或1 D不存在这样的a解析方法一直接对照法令t，则t0,1)若a1，则f(x)|ta|4a5at不存在最小值；若0a1，则f(x)|ta|4a，当ta时取得最小值4a，于是4a3，得a符合题意；若a4，显然函数的最小值不是3，故排除选项B、C；若a，f(x)3，这时只要令0，即x，函数可取得最小值3，因此A项正确，D项错误A15已知sin ，cos ()，则tan等于()A. B| C. D5D解析由于受条件sin2cos21的制约，故m为一确定的值，于是sin ，cos 的值应与m的值无关，进而tan 的值与m无关，又，1，故选D项16已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如下图，那么yf(x)，yg(x)图象可能是( )解析从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B项，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出yf(x)的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除A、C两项，最后只有D项，可以验证yg(x)导函数是增函数，增加越来越快答案D第2讲填空题的解题方法与技巧一、题型特点概述填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，属于客观性试题它只要求写出结果而不需要写出解答过程在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等不同省份的试卷所占分值的比重有所不同1. 填空题的类型填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写2填空题的特征填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”填空题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 (既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫3解填空题的基本原则解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是 “巧做”解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等二、解题方法例析题型一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法例1 在等差数列an中，a13,11a55a813，则数列an的前n项和Sn的最小值为_思维启迪计算出基本量d，找到转折项即可 解析设公差为d，则11(34d)5(37d)13，d.数列an为递增数列令an0，3(n1)0，n，nN*.前6项均为负值，Sn的最小值为S6.答案探究提高 本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值变式训练1 设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7_.49解析方法一S749.故填49.方法二由可得a716213.S749.故填49.题型二特殊值法特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效例2 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin Asin B，则C_.思维启迪 题目中给出了ABC的边和角满足的一个关系式，由此关系式来确定角C的大小，因此可考虑一些特殊的三角形是否满足关系式，如：等边三角形、直角三角形等，若满足，则可求出此时角C的大小解析容易发现当ABC是一个等边三角形时，满足sin Asin B，而此时C60，故角C的大小为60.答案60探究提高 特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立，我们就可以利用填空题不需要过程只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求值在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题时，可根据题意，选择其中的特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题此题还可用直接法求解如下：由sin Asin B可得ab，整理得，a2c2abb2，即a2b2c2ab.由余弦定理，得cos C，所以C60.变式训练2 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则_.解析方法一取特殊值a3，b4，c5，则cos A，cos C0，.方法二取特殊角ABC，cos Acos C，.例3 如图所示，在ABC中,AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且2,过点K的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn_.思维启迪题目中过点K的直线是任意的，因此m和n的值是变化的，但从题意看mn的值是一个定值，故可取一条特殊的直线进行求解解析当过点K的直线与BC平行时，MN就是ABC的一条中位线(2，K是AO的中点)这时由于有m，n，因此mn2，故mn4.答案4探究提高 本题在解答中，充分考虑了“直线虽然任意,但mn的值却是定值”这一信息，通过取直线的一个特殊位置得到了问题的解,显得非常简单,在求解这类填空题时，就要善于捕捉这样的有效信息,帮助我们解决问题变式训练3 设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_解析采用特殊位置，可令ABC为正三角形，则根据2可知，O是ABC的中心，则OAOBOC，所以AOBAOC，即AOB与AOC的面积之比为1.题型三图象分析法(数形结合法)依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅显易懂，又能节省时间利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容例4 已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|的值等于_思维启迪考虑到原方程的四个根，其实是抛物线yx22xm与yx22xn和x轴四个交点的横坐标，所以可以利用图象进行求解解析如图所示，易知抛物线yx22xm与yx22xn有相同的对称轴x1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.因为xA，则xD.又|AB|BC|CD|，所以xB，xC.故|mn|.探究提高 本题是数列问题，但由于和方程的根有关系，故可借助数形结合的方法进行求解，因此在解题时，我们要认真分析题目特点，充分挖掘其中的有用信息，寻求最简捷的解法变式训练4 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m0)，在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.-8解析因为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x)，所以f(4x)f(x)因此，函数图象关于直线x2对称且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,0上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3,x4，不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248.例5 函数yf(x)的图象如图所示，其定义域为4,4，那么不等式0的解集为_4，)(，0)，)解析0或在给出的坐标系中，再作出ysin x在4,4上的图象，如图所示,观察图象即可得到所求的解集为4，)(，0)，)探究提高 与函数有关的填空题，依据题目条件，灵活地应用函数图象解答问题，往往可使抽象复杂的代数问题变得形象直观，使问题快速获解变式训练5 不等式（|x|- ）sin x0，x-,2的解集为 .解析 在同一坐标系中分别作出y=|x|- 与y=sin x的图象：根据图象可得不等式的解集为：题型四等价转化法将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式通过转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果例6 设函数f(x)，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)f(x2)f(x3)，则x1x2x3的取值范围是_思维启迪将问题转化为ym与yf(x)有三个不同的交点，再研究三个交点的横坐标之和的取值范围解析本题可转化为直线ym与函数f(x)的图象有三个交点,yx24x6在0,)的最小值为f(2)2，故2m0，由于yx24x6的对称轴为x2,则x1x24，令3x42，得x，则x30，故4x1x2x304，即x1x2x3的取值范围是(，4)答案(，4)探究提高 等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转化的目标本题转化的关键就是将研究x1x2x3的取值范围问题转化成了直线ym与曲线yf(x)有三个交点的问题，将数的问题转化成了形的问题，从而利用图形的性质解决变式训练6 已知关于x的不等式0的解集是(,1)(，)，则a的值为_题型五构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决例7 函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.思维启迪直接求f(x)的最大值、最小值显然不可取化简f(x)1，构造新函数g(x)利用g(x)的奇偶性求解解析根据分子和分母同次的特点，分子展开，得到部分分式，f(x)1，f(x)1为奇函数，则m1(M1)，Mm2.探究提高 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解变式训练7 已知函数f(x)sin xcos x3，若f(lg a)4，则f(lg )的值等于_解析f(x)sin xcos x3sin 2xtan x3，若令g(x)sin 2xtan x，则g(x)是一个奇函数由f(lg a)4,得g(lg a)34,g(lg a)1.于是g(lg )=g(lg a)g(lg a)1，故f(lg )g(lg )3132.例8 已知a、b是正实数，且满足abab3，则ab的取值范围是_思维启迪考虑到已知条件中出现了两个正数a和b的乘积ab以及和ab，可与一元二次方程的根联系起来构造方程进行求解解析a、b是正实数且abab3，故a、b可视为一元二次方程x2mxm30的两个根，其中abm，abm3.要使方程有两个正根，应有解得m6，即ab6，故ab的取值范围是6，)变式训练8 若抛物线yx2ax2总在直线y3x1的下方，则实数a的取值范围是_解析构造不等式，依题意知，不等式x2ax20在R上恒成立故(3a)240，即a26a50，解得1a0，UA 1，n，则m2n2_.解析由UA1,n,知A(，1)(n,)，即不等式0的解集为(,1)(n，),所以n1,m1，因此m1，n1，故m2n22.2在各项均为正数的等比数列an中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10_.解析特殊化法：尽管满足a5a69的数列有无穷多，但所求结果应唯一的，故只需选取一个满足条件的特殊数列a5a63，则公比q1就可以了原式log3(3333)log331010.3在数列an中，若a11，an12an3(n1)，则该数列的通项an_.解析由an12an3，则有an132(an3)，即2.所以数列an3是以a13为首项、公比为2的等比数列，即an342n12n1，所以an2n13.4设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则cosa，b_.解析设正三角形ABC中，a，b，c，所以与的夹角为120，所以cosa，bcos 120.5设等差数列an，bn的前n项的和分别为Sn与Tn，若，则_.解析因为等差数列的前n项和公式为Sna1nn2(a1d)n，故可设Sn2nn，Tn(3n1)n，则可得an4n2，bn6n2，.6ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，m()，则实数m_.解析(特殊值法)当B90时,ABC为直角三角形,O为AC中点AB、BC边上高的交点H与B重合，m1.7(2010湖南)若数列an满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为an*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2,3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，.已知对任意的nN*，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.解析由(an)*的定义知，要求(a5)*只需寻找满足am5的m的个数即可由于1215,2245，故(a5)*2.an1,22,32，n2，(a1)*)*1，(a2)*)*422，(a3)*)*932，(an)*)*n2.8直线ykx3k2与直线yx1的交点在第一象限，则k的取值范围是_解析因为ykx3k2，即yk(x3)2，故直线过定点P(3，2)，而定直线yx1在两坐标轴上的交点分别为A(4,0)，B(0,1)如图所示，求得k0，anan1，于是an是等差数列，故an1(n1).14已知f(x)xlog2，则f(1)f(2)f(3)f(8)的值为_解析由于