湖北省襄阳市枣阳一中高二数学下学期3月月考试题 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1双曲线的焦距是（）a4bc8d与m有关2抛物线的焦点坐标为（）abcd3f1、f2是双曲线的两个焦点，点p在双曲线上且满足|pf1|pf2|=32，则f1pf2是（）a钝角b直角c锐角d以上都有可能4已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点f，且两曲线的一个交点为p，若|pf|=5，则双曲线的渐近线方程为（）abcd5若点p到点f（4，0）的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则p点的轨迹方程是（）ay2=16xby2=32xcy2=16xdy2=32x6下列说法中错误的个数为（）一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；是的充要条件；与a=b是等价的；“x3”是“|x|3”成立的充分条件a2b3c4d57给出下列命题：已知椭圆=1两焦点f1，f2，则椭圆上存在六个不同点m，使得f1mf2为直角三角形；已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于a，b两点，则|ab|的最小值为2；若过双曲线c： =1（a0，b0）的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为m，o为坐标原点，则|om|=a；根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20%和18%，两地同时下雨的概率为12%，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60%其中正确命题的序号是（）abcd8已知双曲线=1，（a0，b0）的左，右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|=4|pf2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（）abc2d9已知椭圆的右焦点为f1，左焦点为f2，若椭圆上存在一点p，满足线段pf1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段pf1的中点，则该椭圆的离心率为（）abcd10已知p是双曲线y2=1上任意一点，过点p分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为a、b，则的值是（）abcd不能确定11在双曲线=1（a0，b0）中，c2=a2+b2，直线x=与双曲线的两条渐近线交于a，b两点，且左焦点在以ab为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围（）a（0，）b（1，）c（，1）d（，+）12已知抛物线x2=4py（p0）的焦点f，直线y=x+2与该抛物线交于a，b两点，m是线段ab的中点，过m作x轴的垂线，垂足为n，若+（+）=15p2，则p的值为（）abc1d2二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13设o为原点，p是抛物线x2=4y上一点，f为焦点，|pf|=5，则|op|=14抛物线y2=16x上一点p到x轴的距离为12，则点p与焦点f间的距离|pf|=15设p是双曲线上一点，m，n分别是两圆：（x5）2+y2=4和（x+5）2+y2=1上的点，则|pm|pn|的最大值为16以下四个关于圆锥曲线的命题中：设a，b为两个定点，k为非零常数，|pa|pb|=k，则动点p的轨迹为双曲线；设圆c：（x1）2+y2=1，过原点o作圆的任意弦oa，则弦oa中点p的轨迹为椭圆；方程2x25x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点其中真命题的序号为（2013秋海陵区校级期末）已知p：|1|2；q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围18抛物线的顶点在原点，它的准线过双=1（a0，b0）曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为（，），求抛物线的方程和双曲线的方程19已知点p是圆f1：（x+1）2+y2=8上任意一点，点f2与点f1关于原点对称线段pf2的中垂线m分别与pf1、pf2交于m、n两点（1）求点m的轨迹c的方程；（2）斜率为1的直线l与曲线c交于a，b两点，若=0（o为坐标原点），求直线l的方程20已知椭圆c：的右焦点为f（1，0），且点（1，）在椭圆c上（1）求椭圆c的标准方程；（2）已知动直线l过点f，且与椭圆c交于a，b两点，试问x轴上是否存在定点q，使得恒成立？若存在，求出点q的坐标，若不存在，请说明理由21如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点p（1，2），a（x1，y1），b（x2，y2）均在抛物线上（）写出该抛物线的方程及其准线方程；（）当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线ab的斜率22已知a（x0，0），b（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|ab|=1，若动点p（x，y）满足（i）求出动点p的轨迹对应曲线c的标准方程；（）一条纵截距为2的直线l1与曲线c交于p，q两点，若以pq直径的圆恰过原点，求出直线方程；（）直线l2：x=ty+1与曲线c交于a、b两点，e（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2，使abe的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1双曲线的焦距是（）a4bc8d与m有关【分析】由双曲线的方程可先根据公式c2=a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c【解答】解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+12+4m2=16c=4 焦距2c=8故选c【点评】本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关键熟练掌握基本结论：c2=a2+b2，属于基础试题2抛物线的焦点坐标为（）abcd【分析】先将抛物线方程化为标准方程，由于不知抛物线的开口方向，故讨论m的正负，利用抛物线的几何性质求其焦点坐标即可【解答】解：抛物线的标准方程为x2=my，若m0，则抛物线开口向上，焦点坐标为（0，）若m0，则抛物线开口向下，焦点坐标为（0，），即（0，）m0时，抛物线的焦点坐标为为故选 d【点评】本题考查了抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，求抛物线的焦点坐标要先“定位”，再“定量”，避免出错3f1、f2是双曲线的两个焦点，点p在双曲线上且满足|pf1|pf2|=32，则f1pf2是（）a钝角b直角c锐角d以上都有可能【分析】根据双曲线的标准方程求出焦点坐标，结合余弦定理进行求解即可【解答】解：由双曲线知f1（5，0），f2（5，0），则|f1f2|=10；点p在双曲线上，不妨设点p在右支上，则|pf1|pf2|=6，平方得，即；因为|pf1|pf2|=32，所以，又由余弦定理得，即cosf1pf2=0，所以f1pf2=90故选：b【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线的定义结合余弦定理是解决本题的关键考查学生的运算和转化能力4已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点f，且两曲线的一个交点为p，若|pf|=5，则双曲线的渐近线方程为（）abcd【分析】由抛物线y2=8x得出其焦点坐标，由|pf|=5结合抛物线的定义得出点p的坐标，代入双曲线的方程，从而得到关于a，b 的方程，求出a，b的值，进而求出双曲线的渐近线方程【解答】解：由于双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点f，且抛物线y2=8x得出其焦点坐标（2，0）故双曲线的半焦距c=2，又|pf|=5，设p（m，n），由抛物线的定义知|pf|=m+2m+2=5，m=3，点p的坐标（3，），解得：，则双曲线的渐近线方程为，故选：a【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，求出a，b的值是解题的关键5若点p到点f（4，0）的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则p点的轨迹方程是（）ay2=16xby2=32xcy2=16xdy2=32x【分析】根据题意，点p到直线x=4的距离等于它到点（4，0）的距离由抛物线的定义与标准方程，不难得到p点的轨迹方程【解答】解：点p到点（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，将直线x+5=0右移1个单位，得直线x+4=0，即x=4，可得点p到直线x=4的距离等于它到点（4，0）的距离根据抛物线的定义，可得点p的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x=4为准线的抛物线设抛物线方程为y2=2px，可得=4，得2p=16，抛物线的标准方程为 y2=16x，即为p点的轨迹方程故选：c【点评】本题给出动点p到定直线的距离比到定点的距离大1，求点p的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识，属于基础题6下列说法中错误的个数为（）一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；是的充要条件；与a=b是等价的；“x3”是“|x|3”成立的充分条件a2b3c4d5【分析】根据真假命题的判断方法和充要条件的定义逐个判断，确定个数【解答】解：一个命题的逆命题和它的否命题真假性相同正确一个命题的否命题和他它本身真假性不一定相同错误由不等式的基本性质，若则充分性成立，反之，取x=1，y=3，满足，但推不出，必要性不成立错误a=b，反之易知不成立错误取x=3，满足x3，但推不出“|x|3 错误故选c【点评】本题考查四种命题的关系，充要条件的判断是基础题目7给出下列命题：已知椭圆=1两焦点f1，f2，则椭圆上存在六个不同点m，使得f1mf2为直角三角形；已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于a，b两点，则|ab|的最小值为2；若过双曲线c： =1（a0，b0）的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为m，o为坐标原点，则|om|=a；根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20%和18%，两地同时下雨的概率为12%，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60%其中正确命题的序号是（）abcd【分析】判断过焦点和短轴短点的三角形的性质即可根据直线与抛物线的位置关系判断利用直线与双曲线的位置关系判断根据条件概率的定义判断【解答】解：椭圆的方程可知a=4，b=，c=2，则焦点和短轴短点的三角形的角为，则，则，所以，所以此时存在2个不同点m，使得f1mf2为直角三角形，当，则当f1mf2f1，或f2mf2f1，时，此时对应的m有四个，所以总共6个m，所以正确抛物线的标准方程为，所以2p=，根据抛物线的性质可知，过焦点的直线和抛物线相交，通径最最小，所以|ab|的最小值为，所以错误双曲线的渐进性方程为，不妨取bxay=0，焦点为（c，0），所以根据点到直线的距离公式得d=，所以|om|=，所以正确设一年中荆门下雨记为事件a，襄阳下雨记为事件b，则两市同时下雨记为事件ab，所以p（a）=20%，p（b）=18%，p（ab）=12%，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率为，所以正确故选a【点评】本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强8已知双曲线=1，（a0，b0）的左，右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|=4|pf2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（）abc2d【分析】先设p的坐标（x，y），焦半径得丨pf1丨=ex+a，丨pf2丨=exa，根据|pf1|=4|pf2|，进而可得e的关于x的表达式根据p在双曲线右支，进而确定x的范围，得到e的范围【解答】解：设p（x，y），由焦半径得丨pf1丨=ex+a，丨pf2丨=exa，ex+a=4（exa），化简得e=，p在双曲线的右支上，xa，e，即双曲线的离心率e的最大值为故选b【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线定义的灵活运用9已知椭圆的右焦点为f1，左焦点为f2，若椭圆上存在一点p，满足线段pf1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段pf1的中点，则该椭圆的离心率为（）abcd【分析】设以椭圆的短轴为直径的圆与线段pf1相切于点m，连结om、pf2，利用三角形中位线定理与圆的切线的性质，证出pf1pf2且|pf2|=2b，然后在rtpf1f2中利用勾股定理算出|pf1|=根据椭圆的定义，得|pf1|+|pf2|=2a，从而建立关于a、b、c的等式，解出b=a，进而可得椭圆的离心率的大小【解答】解：设以椭圆的短轴为直径的圆与线段pf1相切于点m，连结om、pf2，m、o分别为pf1、f1f2的中点，mopf2，且|pf2|=2|mo|=2b，又线段pf1与圆o相切于点m，可得ompf1，pf1pf2，rtpf1f2中，|f1f2|=2c，|pf2|=2b，|pf1|=，根据椭圆的定义，得|pf1|+|pf2|=2a，+2b=2a，即=ab，两边平方得：c2b2=（ab）2，即a22b2=（ab）2，化简得2ab3b2=0，解得b=a，因此，c=a，可得椭圆的离心率e=故选：a【点评】本题给出椭圆上一点与左焦点的连线是以短轴为直径的圆的切线，求椭圆的离心率着重考查了三角形的中位线定理、圆的切线的性质、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题10已知p是双曲线y2=1上任意一点，过点p分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为a、b，则的值是（）abcd不能确定【分析】设p（m，n），则n2=1，即m23n2=3，求出渐近线方程，求得交点a，b，再求向量pa，pb的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到【解答】解：设p（m，n），则n2=1，即m23n2=3，由双曲线y2=1的渐近线方程为y=x，则由解得交点a（，）；由解得交点b（，）=（，），=（，），则=+=故选：a【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题11在双曲线=1（a0，b0）中，c2=a2+b2，直线x=与双曲线的两条渐近线交于a，b两点，且左焦点在以ab为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围（）a（0，）b（1，）c（，1）d（，+）【分析】求出渐近线方程及准线方程，求得交点a，b的坐标，再利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出不等式，即可求出离心率的范围【解答】解：设双曲线的方程为=1（a0，b0），则渐近线方程为y=x，左准线方程为x=双曲线的左准线与它的两条渐近线交于a，b两点，a（，），b（，）左焦点为在以ab为直径的圆内，+c，bac22a21e故选：b【点评】本题考查双曲线的准线、渐近线方程，考查点圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题12已知抛物线x2=4py（p0）的焦点f，直线y=x+2与该抛物线交于a，b两点，m是线段ab的中点，过m作x轴的垂线，垂足为n，若+（+）=15p2，则p的值为（）abc1d2【分析】设a（x1，y1），b（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x24px8p=0利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x24px8p=0由韦达定理得x1+x2=4p，x1x2=8p，所以m（2p，2p+2），所以n点（2p，0）同理y1+y2=4p+4，y1y2=4+（+）=15p2，（x1，py1）（x2，py2）+（x1x2，2py1y2）（2p，p）=15p2，代入整理可得4p2+4p3=0，p=故选：b【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13设o为原点，p是抛物线x2=4y上一点，f为焦点，|pf|=5，则|op|=4【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得|pf|=yp+1=5，求得p的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到所求【解答】解：抛物线x2=4y的焦点f（0，1），准线方程为y=1，|pf|=yp+1=5，解得yp=4，xp=4，则|op|=4故答案为：4【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法解题，同时考查两点的距离公式的运用，属于基础题14抛物线y2=16x上一点p到x轴的距离为12，则点p与焦点f间的距离|pf|=13【分析】先把点p的纵坐标代入抛物线方程求得点p的横坐标，进而根据抛物线的定义求得答案【解答】解：依题意可知点p的纵坐标|y|=12，代入抛物线方程求得x=9抛物线的准线为x=4，根据抛物线的定义可知点p与焦点f间的距离9+4=13故答案为13【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义15设p是双曲线上一点，m，n分别是两圆：（x5）2+y2=4和（x+5）2+y2=1上的点，则|pm|pn|的最大值为9【分析】由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点p与m，b三点共线时使得|pm|pn|取最大值【解答】解：设两圆（x5）2+y2=4和（x+5）2+y2=1圆心分别为a，b，则a，b正好为双曲线两焦点，|pm|pn|pa|+2（|pb|1）=|pa|pb|+3=2a+3=6+3=9，即最大值为9，故答案为：9【点评】此问重点考查了利用几何知识及点p，m，的位置，利用三角形中两边之差小于第三边，进而求出最值16以下四个关于圆锥曲线的命题中：设a，b为两个定点，k为非零常数，|pa|pb|=k，则动点p的轨迹为双曲线；设圆c：（x1）2+y2=1，过原点o作圆的任意弦oa，则弦oa中点p的轨迹为椭圆；方程2x25x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）【分析】利用双曲线的定义中对a，c的要求即可判断由题意，cpoa，弦oa中点p的轨迹为以oc为直径的圆；方程2x25x+2=0的两根为：2，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率；求出双曲线的焦点是（4，0），椭圆的焦点（4，0），可得结论【解答】解：因为双曲线的定义中要求k|ab|，故不正确；由题意，cpoa，弦oa中点p的轨迹为以oc为直径的圆，故不正确；方程2x25x+2=0的两根为：2，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；中双曲线的焦点是（4，0），椭圆的焦点（4，0），正确故答案为：【点评】本题考查了椭圆，双曲线的定义，及圆锥曲线的共同特征离心率，考查了学生的灵活把握定义及基础知识的能了，是个中档题三、解答题（本大题共6个小题，满分70分17已知p：|1|2；q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围【解答】解：由|=，得|x4|6，即6x46，2x10，即p：2x10，由x2+2x+1m20得x+（1m）x+（1+m）0，即1mx1+m，（m0），q：1mx1+m，（m0），p是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件即，且等号不能同时取，解得m9【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将p是q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件是解决本题的关键18抛物线的顶点在原点，它的准线过双=1（a0，b0）曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为（，），求抛物线的方程和双曲线的方程【分析】首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点（，），求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a2+b2=c2，求解即可【解答】解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p=2c设抛物线方程为y2=4cx，抛物线过点（，），6=4cc=1，故抛物线方程为y2=4x又双曲线=1过点（，），又a2+b2=c2=1，=1a2=或a2=9（舍）b2=，故双曲线方程为：4x2=1【点评】本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧19已知点p是圆f1：（x+1）2+y2=8上任意一点，点f2与点f1关于原点对称线段pf2的中垂线m分别与pf1、pf2交于m、n两点（1）求点m的轨迹c的方程；（2）斜率为1的直线l与曲线c交于a，b两点，若=0（o为坐标原点），求直线l的方程【分析】（1）由题意判断点m的轨迹是以f1，f2为焦点的椭圆，进而可求点m的轨迹c的方程；（2）设直线l的方程为y=x+n，代入椭圆方程，利用0及韦达定理，结合=0，即可求得直线l的方程【解答】解：（1）由题意得，f1（1，0），f2（1，0），圆f1的半径为，且|mf2|=|mp|（1分）从而（3分）点m的轨迹是以f1，f2为焦点的椭圆，（5分）其中长轴，得到，焦距2c=2，则短半轴b=1椭圆方程为：（6分）（2）设直线l的方程为y=x+n，由可得3x2+4nx+2n22=0（8分）则=16n224（n21）0，即n23（9分）设a（x1，y1），b（x2，y2），则由可得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+n）（x2+n）=0（10分）整理可得化简可得3n2=4，满足式，故直线l的方程为：（12分）【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用椭圆的定义，联立直线与椭圆方程，属于中档题20已知椭圆c：的右焦点为f（1，0），且点（1，）在椭圆c上（1）求椭圆c的标准方程；（2）已知动直线l过点f，且与椭圆c交于a，b两点，试问x轴上是否存在定点q，使得恒成立？若存在，求出点q的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点q的坐标，再证明一般性也成立即可【解答】解：（1）由题意，c=1点（1，）在椭圆c上，根据椭圆的定义可得：2a=，a=b2=a2c2=1，椭圆c的标准方程为；（2）假设x轴上存在点q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，a（，0），b（，0），则=，m=当直线l的斜率不存在时，则=，m=或m=由可得m=下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，a（x1，y1），b（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty1=0，y1+y2=，y1y2=（x1，y1）（x2，y2）=（ty1）（ty2）+y1y2=（t2+1）y1y2t（y1+y2）+=+=综上，x轴上存在点q（，0），使得恒成立【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查存在性问题，解题的关键的先猜后证，有一定的难度21如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点p（1，2），a（x1，y1），b（x2，y2）均在抛物线上（）写出该抛物线的方程及其准线方程；（）当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线ab的斜率【分析】（i）设出抛物线的方程，把点p代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程（ii）设直线pa的斜率为kpa，直线pb的斜率为kpb，则可分别表示kpa和kpb，根据倾斜角互补可知kpa=kpb，进而求得y1+y2的值，把a，b代入抛物线