高三数学第一轮复习讲义11幂函数与双曲线函数.docx

2018届高三第一轮复习讲义【11】-幂函数与双曲线函数一、知识梳理：1. 幂的有关概念(1) 正整数指数幂: ;(2) 零指数幂: _(其中_); (3) 负整数指数幂: _(其中, );(4) 分数指数幂: _(其中, 且m, n既约).2. 幂的运算性质(1) _(, );(2) _(, );(3) _(, ).3. 幂函数的概念、图像与性质幂函数的定义形如, k为常数, k为有理数的函数叫做幂函数.幂函数 图像幂函数 图像幂函数的性质时, 在上是增函数; 时, 在上是减函数.4. 函数的图像与性质函数在区间部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线.主要性质如下:(1) 定义域:_;奇函数(2) 奇偶性: _;(3) 单调性: 在中, 在区间_上单调递减, 在区间_上单调递增;(4) 值域与最值: 在上时, 函数值的取值范围是_, 当_时, 取到最小值_. 5. 函数的图像与性质函数在区间部分函数的图像如右图所示, 它是一条双曲线.主要性质如下:(1) 定义域: _;奇函数(2) 奇偶性: _;与上分别(3) 单调性: 在_单调递增;值域为, 无最值(4) 值域与最值: _;(5) 零点: _.二、基础检测：1. 幂函数的图像经过点, 则_.2. 下列函数中, 既是偶函数又是上的增函数的是答 A. B. C. D. 3. 下列命题中, 正确的是答 A. 当时, 函数的图像是一条直线B. 幂函数的图像都经过点和C. 当时且是奇函数时, 是减函数D. 幂函数的图像不可能过第四象限4. 函数的值域是_.5. 函数在定义域上的最小值是, 则实数a的取值范围是_.6. 函数在上单调递增, 则实数c的取值范围是_.三、例题精讲：【例1】将下列函数图像的标号, 填入相应函数后面的横线上.(1): _; (2): _; (3): _; (4): _. 【例2】已知函数在区间上是减函数, 求m的最大值.解: 即考虑函数,若函数是奇函数, 由函数在递减, 可知其在上递减,则有,当时, , 是偶函数, 不合题意;若函数是偶函数, 由函数在递减, 可知其在上递增,则有,当时, , 是偶函数, 符合题意;综上所述, m的最大负整数值为.【例3】已知函数（1）画出它的图像；（2）判断它的奇偶性；（3）写出它的单调区间解：（1）(2) 是偶函数；(3) 在是增函数，是减函数【例4】已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数，求的值，并写出相应的函数解：因为在是增函数，所以， 即，解得，所以0、1、2 当0时，不是偶函数，故0舍去； 当1时，是偶函数，故1符合题意； 当2时，不是偶函数，故2舍去 综上1，【例5】已知满足（1）求的值；（2）是否存在正数，使的值域为？ 若存在，求出的范围；若不存在，说明理由解：（1）由且，知在上单调递增，故，因此或0； （2）， 对称轴为，则，得，与矛盾，所以不存在【例6】设，正数满足：，则之间的大小关系为_。解：在同一坐标系内作出函数的图像，与直线相交，得交点的横坐标分别为。由图像可以得出：。 【例7】根据下列条件, 求实数a的取值范围.(1);解: 由函数在和分别单调递减, 因此可知:情形一: ;情形二: 且, 无解;情形三: ;综上所述, a的取值范围是或者.(2).解: 由为偶函数且在上单调递增,故,两边平方得,解得.【例8】设函数的定义域为区间, 其中常数a为实数.(1) 当时, 求函数的最小值;(2) 若函数在区间上是减函数, 求实数a的取值范围;(3) 当时, 求函数的最小值.(1)解: 当时, ,由基本不等式: , 等号成立,当时, .(2)解: 当时, 由及均为上的增函数可知, 在单调递增, 不合题意;当时, 在单调递增, 不合题意;当时, ,由基本不等式可知在上单调递减, 在上单调递增,故有.(3)解: 当时, 由(2)可知, 当时, ;当时, .【例9】设函数，研究函数的基本性质。解：，则函数的图像可以由幂函数的图像变化得到：先将的图像向左平移2个单位，得到，再向上平移1个单位，即得到的图像。函数的定义域为；值域为，不存在最大值与最小值；函数图像关于直线对称，是非奇非偶函数；在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数。 【例10】设函数, 函数, 其中a为常数, 且. 令 为函数和的积函数.(1) 求函数的表达式, 并求出其定义域;(2) 当时, 求函数的值域;(3) 是否存在自然数a, 使得函数的值域恰为? 若存在, 试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合; 若不存在, 说明理由.(1)解: .(2)解: 令, 则, 且,代入得,当时, ,由基本不等式, , 等号成立,由此在上单调递减, 其值域为,因此函数的值域为.(3)解: 即的值域为的值域为,由, 等号成立, 可知;最大值应在区间端点处取得,当时, ; 当时, ,由函数在上单调递增, 可知,解不等式组得,结合, 得其组成集合为.四、难题突破：例1：已知函数是定义域在上的非常值函数，且对于任意的实数满足：。（1）求的值；（2）求证：对于任意的，；（3）若当时，求证：函数在上是增函数。解：（1）在中令得：，所以或。若，对于，所以，与是非常值函数矛盾。所以。在中令得：，所以或，若，则对于任意的，恒成立，与是非常值函数矛盾，所以。（2）对于任意的，则，若存在使得，则对于任意的，与是非常值函数矛盾。所以对于，知。（3）设，且，由（2）知，因为，则，所以，即，所以，知是上的增函数。例2：对于函数，甲、乙、丙三位同学分别给出了函数的三个不同性质：甲：函数的值域为；乙：若，则一定有；丙：若规定，则对于任意恒成立。你认为正确的结论有（）A、0个；B、1个；C、2个；D、3个。答案：选D；五、回顾总结：（1）幂函数定义：形如 的函数称为幂函数，其中为有理数（2）幂函数性质如下： 所有的幂函数在都有定义，并且图像都过点； 时，幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图像下凸；当时，幂函数的图像上凸； 时，幂函数的图像在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近轴正半轴六、课堂练习：1. 设, 已知幂函数是奇函数, 且在区间上是减函数, 则满足条件的的值是_.2. 要得到函数的图像, 可以先将函数的图像向_平移1个单位, 再以_轴为对称轴做对称变换.3. 已知幂函数(p,q为互质整数)的图像如图所示, 则答 A. p, q均为奇数B. p是奇数, q是偶数, 且C. p是偶数, q是奇数D. p是奇数, q是偶数, 且4. 已知, 求实数m的取值范围.5. 幂函数为偶函数, 且在上是减函数, 求的解析式, 并讨论函数的奇偶性.6. 函数的值域是_.7. 函数的值域是_.8. 若当时, 函数的图像总在直线的上方 , 则实数k的取值范围是_.9. 若关于x的方程在有解, 则实数a的取值范围是_.10. 已知函数(a, b为实常数), , 在上是减函数, 求b的取值范围.11. 设与是两个不同的幂函数, 记, 则M中元素个数是答 A. 0或1或2B. 1或2或3C. 1或2或3或4D. 0或1或2或312. 对于区间D上有定义的函数和, 如果对于任意, 都有, 那么称函数在区间D上可被函数替代.(1) 求证: 函数在区间上可被一次函数替代;(2) 试问函数在区间上是否可被常数函数替代? 说明理由.七、课后练习：1幂函数图像经过点，则 2已知幂函数的图像，当时，在直线的上方，当时，在直线的下方，则的取值范围是 3函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 4幂函数图象在一、二象限，不过原点，则的奇偶性为 5对于幂函数，若，则，大小关系是（ ）A B C D无法确定6. 下列命题中:幂函数的图像不可能出现在第四象限；当时，的图像时一条直线；幂函数的图像都经过点；若幂函数为奇函数，则在定义域内为增函数.其中正确的命题序号是_.7. 已知幂函数的图像关于y轴对称且与x轴无交点，求m的值.8. 已知幂函数的图像不经过原点，求m的值.9、对于幂函数，当时，则有理数的取值范围是_；10、若函数是幂函数，则该幂函数的解析式为_；11、已知幂函数的图像经过点，试求此函数的解析式，并写出这的定义域、值域，判断它的奇偶性，写出单调区间。【思考题】1、已知幂函数是偶函数，且在区间上是单调减函数。（1）求的解析式；（2）讨论函数的奇偶性。2、已知函数。（1）当为何值时，方程有解？（2）探讨函数与的奇偶性，并说