湖南省高三数学大联考（入学考试）试卷 理.doc

2018届新高三大联考(入学考试)理科数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：_班级：_考号：_祝考试顺利！第i卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项最符合题意。）1、设复数且，则的虚部为（ ）a. 2 b. 4 c. 2 d. 42、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是a.289 b.1024 c.1225 d.13783、70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成；如果是个偶数，则下一步变成.不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说，是无法逃出落入底部的循环，永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算，自然数经过十步运算得到的数为 ()a b c d4、已知双曲线： （， ）的左右焦点分别为、，点关于双曲线的一条渐近线的对称点在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（ ）a. b. c. 2 d. 5、已知向量，若与的夹角为60，且，则实数的值为（ ）a. b. c. 6 d. 4第6题图6、某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中的值为（ ）a b c. d7、已知函数，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为（ ）a. b. c. d. 8、对定义在上的连续非常函数，如果总成立，则称成等比函数.若成等比函数，则下列说法中正确的个数是（ ）若都是增函数，则是增函数；若都是减函数，则是减函数；若都是偶函数，则是偶函数；若都是奇函数，则是奇函数； a b c. d9、设，满足约束条件若的最大值为2，则的值为（ ）a b c d10、在中,内角的对边分别为是外接圆的圆心,若,且,则的值是( )a. b. c. d. 11、定义在上的函数满足，其中为的导函数，则下列不等式中，一定成立的是（ ）a b c d12、定义在上的函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）a. b. c. d. 第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题纸的对应位置上。）13、的展开式中的系数为_（用数字填写答案）14、已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_。（把你认为正确的答案全部写上）15、体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是_16、对于函数，下列5个结论正确的是_（把你认为正确的答案全部写上）(1)任取， ,都有；(2)函数在上单调递增；(3) ，对一切恒成立；(4)函数有3个零点；(5)若关于的方程有且只有两个不同的实根,，则.三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分10分）已知数列的前n项和（n为正整数）。（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，试比较与的大小，并予以证明。18、（本小题满分10分）2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有680人（）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；（）在等级为不满意市民中，老年人占.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记x为老年督导员的人数，求x的分布列及数学期望e(x)；（）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.19、（本小题满分12分）如图，已知矩形中， 、分别是、上的点， ， ， ， 、分别是、的中点，现沿着翻折，使得二面角大小为.（）求证： 平面；（）求二面角的余弦值.20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，动圆经过点，.其中.（）求动圆圆心的轨迹方程；（4分）（）过点作直线交轨迹于不同的两点，直线与直线分别交直线于两点，记与的面积分别为. 求的最小值.21、（本小题满分12分）已知，其中.（）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；（3分）（）求的极值；（）若函数有两个极值点， ，证明.22、（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为： ，直线的参数方程是（为参数， ）（）求曲线的直角坐标方程；(2分)（）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求（至少用2种方法解答才能得满分。写出一种得3分，两种得5分。两种以上的每多一种加3分。成绩计入总分。）23、（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲（）已知，证明： ；(3分)（）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.(4分)参考答案1. a 解析: 2.c 3.c 4. d 解析:设，渐近线方程，对称点， ， ，解得： ， ，代入到双曲线方程得: ,化简得： ，选. 5.a 【解析】，故选a.6.c7.a 【解析】, 的图象与的图象重合，说明函数的周期，由于， ， ， ,， ，则， ，选 8.a 9.c10、c 解析:因为，由余弦定理得，整理得，所以，即，因为是的外心，则对于平面内任意点，均有： ，令与重合，及得，故选c三角形的四心与向量关系：（1）是重心，是平面内任一点， 是重心（2）是垂心，若是垂心，则（3）是外心，若是外心，则若是外心，则对于平面内任意点，均有： （4）是内心是内心，是内心11、b12 d【解析】由于定义在上的函数的图象关于轴对称，则函数为偶函数.，原不等式化为： 偶函数在上单调增，则在上单调减，图象关于轴对称，则： ， ， ,故 ， ，设 ， ，易知当 时， ，则 ；令 ， ， ， ， 在 上是减函数， ，则 ，综上可得： ，选d.13、-29解：由题意可知： ，其中分子的展开式的通项公式为： ，满足题意时，分子为取 ，此时： ，则实数 的取值可以是： ，据此可得系数为： .14、【答案】4、5、32(不全不得分)【解析】（1）若为偶数，则为偶, 故当仍为偶数时， 故当为奇数时，故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=515.【答案解析】设，如图，设的中心为，连接.设三棱锥的高为,在中，由勾股定理可得，即，即又，所以所以，解得，故易得，所以，当截面与垂直时，截面圆的面积有最大值，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为，当截面经过平均发展速度时，截面圆的面积最大 ，且最大值为.16【答案】（1）（4）（5）【解析】由题意，得的图象如图所示， 由图象 ，则任取， ,都有故（1）正确；函数在上先增后减，故（2）错误；当时， ，即，故（3）错误；在同一坐标系中作出和的图象，可知两函数图象有三个不同公共点，即函数有3个零点，故（4）正确；在同一坐标系中作出和的图象，由图象可知当且仅当 时，关于的方程有且只有两个不同的实根,，且,关于对称，即；故（5）正确17.（i）在中，令n=1，可得，即当时，. 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是.(ii)由（i）得，所以由-得 于是确定的大小关系等价于比较的大小由 可猜想当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设时所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时18解(1)由频率分布直方图可知则10(0.035a0.0200.0140.0040.002)1，所以a0.025，所以市民非常满意的概率为0.02510.2分又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率p1c04c131.4分(2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽155人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为c，由题知x的可能取值为0,1,2,3，p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3)，6分x分布列为x0123p所以e(x)01231.8分(3)由频率分布直方图，得(450.002550.004650.014750.02850.035950.025)1080.7，所以估计市民满意度程度的平均得分为80.7.因此市民满意度指数为0.8070.8，所以该项目能够通过验收.12分19、）取的中点，连接， ，又为的中点，所以， 平面， 平面，所以平面，同理可证， 平面，又因为，所以平面平面， 平面，所以平面.（）在平面内，过点作的垂线，易证明这条垂线垂直平面，因为二面角大小为，所以，建立空间直角坐标系如图所示，则， ， ， ， ，则， ， ，设平面的一个法向量，根据 ，令，则， ，所以，设平面的一个法向量，根据 ，令，则， ，所以，所以 ，所以二面角的余弦值为.变式 如图，直角三角形abc中，a60，abc90，ab2，e为线段bc上一点，且bebc，沿ac边上的中线bd将abd折起到pbd的位置(1)求证：bdpe；(2)当平面pbd平面bcd时，求二面角cpbd的余弦值解由已知得dcpdpbbd2，bc2.1分(1)证明：取bd的中点o，连接oe，po.ob1，be且obe30，oe，oebd.3分pbpd，o为bd的中点，pobd.又pooeo，bd平面poe.pe平面poe，bdpe.5分(2)平面pbd平面bcd，平面pbd平面bcdbd，pobd，po平面bcd，oe，ob，op两两垂直，如图以o为坐标原点，以oe，ob，op所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则b(0,1,0)，p(0,0，)，c(，2,0)，(0，1，)，(，3,0).7分设平面pbc的法向量为n(x，y，z)，则不妨令y，得n(3，1).10 又平面pbd的一个法向量为m(1,0,0)，cosm，n，故二面角cpbd的余弦值为.1220、解：（1）设动圆的圆心为e则即： 即：动圆圆心的轨迹e的方程为.4分（2）当直线ab的斜率不存在时，abx轴，此时， .5分当直线ab的斜率存在时，设直线ab的斜率为k，则，直线ab的方程是，.设，联立方程，消去y，得：，即：， 由知，直线ac的方程为，直线ac的方程为， ，.9分令，则，由于 函数在上是增函数11分 综上所述，的最小值为12分21、（）当时， ， ，1分所以切线的斜率，又直线过原点，所以，由得， .所以，故切线的方程为，即.3分（）由 ，可得，当时 ， ， 在上单调递增，在上单调递减，在时取到极小值，且， 没有极大值；.4分当时 或， . 在， 上单调递增，在上单调递减， 在时取到极大值，且， 在时取到极小值，且；5分当时恒成立， 在上单调递增， 没有极大值也没有极值；6分当时 或， ， 在， 上单调递增，在上单调递减， 在时取到极小值，且. 在时取到极大值，且.7分综上可得，当时， 在时取到极小值， 没有极大值；当时， 在时取到极大值，在时取到极小值；当时， 没有极大值也没有极小值；当时， 在时取到极小值.在时取到极大值.8分（）由（）知当且时， 有两个极值点， ，且 .所以 ，10分设，则，所以在上单调递减，在