湖南省常德一中高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省常德一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析在这个问题中，5000名学生成绩的全体是（）a总体b个体c从总体中抽取的一个样本d样本的容量2 =（）aib2icid2i3设命题p：有的三角形是等边三角形；命题q：每一个四边形的四顶点共圆则下列复合命题是真命题的是（）apqbpqcpqdpq4抛物线的准线方程是（）abcx=1dy=15下列说法错误的是（）a与众数、中位数相比，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息b标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小c人体的脂肪含量y与年龄x满足回归方程=0.577x0.448，当x=37时， =0.209，这表明某人37岁时，其体内的脂肪含量一定是20.9%d在样本数据较少时，用茎叶图表示数据不但可以保留数据的全部信息，而且可以随时记录6双曲线9x216y2=144的离心率是（）abcd7已知，则的最小值是（）abcd8由2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在不同层离开电梯的概率是（）abcd9函数y=2xlnx的图象在x=1处切线的斜率为（）a0b2c1d2ln210abc的三边a，b，c成等差数列，则角b的范围是（）abcd11已知椭圆，点p在椭圆c上，且oppa，其中o为坐标原点，则点p的坐标为（）abcd12已知，f（x）在x=x0处取得最大值，以下各式中正确的序号为（）f（x0）x0；f（x0）=x0；f（x0）x0；abcd二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=14平行六面体abcda1b1c1d1中，底面是边长为1的正方形，侧棱aa1的长为2，且a1ab=a1ad=120，则ac1的长为15由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是16数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则a1+a3=，an的80项和为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数，其中a，b为实数 （1）求f（x）为奇函数的充要条件； （2）若令b=1，任取a0，4，求f（x）在r上是增函数的概率18某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：树干周长（单位：cm）30，40）40，50）50，60）60，70）杉树61921x槐树420y6（1）求x，y值及估计槐树树干周长的众数；（2）如果杉树的树干周长超过60cm就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？（3）树干周长在30cm到40cm之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止求排查的树木恰好为2株的概率19已知数列an的前n项和为（1）计算s1，s2，s3，s4；（2）猜想sn的表达式，并证明你的结论20如图，四面体dabc中，ab，bc，bd两两垂直，且ab=bc=2，点e是ac的中点，g是abd的重心，异面直线ad与be所成的角为，且（1）求证bc平面edg；（2）求平面ebg与平面acd所成的锐二面角的余弦值21直线l与抛物线y2=4x交于a，b两点，且oaob，其中o为坐标原点（1）直线l是否过定点？证明你的结论；（2）若，求aob的外接圆的方程22设函数（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）比较1.712.71与2.711.71的大小，并说明理由（3）证明当x（0，2）时，2015-2016学年湖南省常德一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析在这个问题中，5000名学生成绩的全体是（）a总体b个体c从总体中抽取的一个样本d样本的容量【考点】用样本的频率分布估计总体分布【分析】在统计里面，我们把所要考察对象的全体称为总体总体【解答】解：由总体的定义知，5000名学生成绩的全体是总体，故选：a2 =（）aib2icid2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法法则进行化简【解答】解： =i，故选c3设命题p：有的三角形是等边三角形；命题q：每一个四边形的四顶点共圆则下列复合命题是真命题的是（）apqbpqcpqdpq【考点】复合命题的真假【分析】先判定命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p：有的三角形是等边三角形，是真命题；命题q：每一个四边形的四顶点共圆，是假命题则下列复合命题是真命题的只有pq故选：a4抛物线的准线方程是（）abcx=1dy=1【考点】抛物线的简单性质【分析】先把其转化为标准形式，求出p即可得到其准线方程【解答】解：由题得：x2=4y，所以：2p=4，即p=2所：， =1故准线方程为：y=1故选d5下列说法错误的是（）a与众数、中位数相比，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息b标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小c人体的脂肪含量y与年龄x满足回归方程=0.577x0.448，当x=37时， =0.209，这表明某人37岁时，其体内的脂肪含量一定是20.9%d在样本数据较少时，用茎叶图表示数据不但可以保留数据的全部信息，而且可以随时记录【考点】命题的真假判断与应用【分析】分别根据命题的条件进行判断即可【解答】解：a与众数、中位数相比，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，正确b标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小，正确，c当当x=37时， =0.209，这表明某人37岁时，其体内的脂肪含量可能是20.9%，并非一定是，故c错误，d在样本数据较少时，用茎叶图表示数据不但可以保留数据的全部信息，而且可以随时记录，正确，故选：c6双曲线9x216y2=144的离心率是（）abcd【考点】双曲线的简单性质【分析】双曲线方程化为标准方程，可得a=4，b=3，c=5，从而可求双曲线的离心率【解答】解：双曲线9x216y2=144可化为，所以a=4，b=3，c=5，所以离心率e=故选：b7已知，则的最小值是（）abcd【考点】两向量的和或差的模的最值【分析】求出的坐标，根据向量的模的定义求出的值【解答】解：=（2，t，t）（1t，2t1，0）=（1+t，1t，t ），=故当t=0时，有最小值等于，故选c8由2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在不同层离开电梯的概率是（）abcd【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】求出两人在同一层离开电梯的概率，则在不同层离开电梯的概率为1减去两人在同一层离开电梯的概率【解答】解：由于每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，故两人离开电梯的所有可能情况有=49而两人在同一层离开电梯的可能情况有=7两人在同一层离开电梯的概率为两人在不同层离开电梯的概率为1故选：b9函数y=2xlnx的图象在x=1处切线的斜率为（）a0b2c1d2ln2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可【解答】解：函数的定义域为（0，+），则函数的导数为f（x）=2xln2lnx+，当x=1时，f（1）=21ln2ln1+2=2，即，函数y=2xlnx的图象在x=1处切线的斜率k=f（1）=2，故选：b10abc的三边a，b，c成等差数列，则角b的范围是（）abcd【考点】余弦定理；等差数列的通项公式【分析】设出三角形的三边分别为a，b，c，由三边成等差数列，利用等差数列的性质可知2b等于a+c，利用余弦定理表示出cosb，然后把b等于a+c的一半代入，利用基本不等式即可求出cosb的最小值，根据b的范围及余弦函数在此区间为减函数即可得到b的范围【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，由三边成等差数列可知：b=，由余弦定理得：cosb=，当且仅当a=c时取等号，又b（0，），且余弦函数在此区间为减函数，所以b（0，故选：a11已知椭圆，点p在椭圆c上，且oppa，其中o为坐标原点，则点p的坐标为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【分析】设p（x，y），则=0，与=1联立解得即可得出【解答】解：设p（x，y），则=（x，y）（2x，y）=x（2x）y2=0，与=1联立解得：，p故选：a12已知，f（x）在x=x0处取得最大值，以下各式中正确的序号为（）f（x0）x0；f（x0）=x0；f（x0）x0；abcd【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】求导函数，可得令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，代入验证，即可得到结论【解答】解：求导函数，可得令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，x01=lnx0f（x0）=x0，即正确=x01=lnx0，=x=时，f（）=0=f（x0）x0在x=左侧x012x000正确综上知，正确故选b二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4【考点】程序框图【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断s=0.8时，n+1的值【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断s=0.8时，n+1的值当n=2时，当n=3时，此时n+1=4故答案为：414平行六面体abcda1b1c1d1中，底面是边长为1的正方形，侧棱aa1的长为2，且a1ab=a1ad=120，则ac1的长为【考点】棱柱的结构特征【分析】利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出【解答】解：=+，|=|=1，|=2，=|cos120=1=，=（+）2=2+2+2+2+2+2=1+1+22+0+2（1）+2（1）=2|=故答案为：15由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是22【考点】余弦函数的图象【分析】三角函数的对称性可得s=2，求定积分可得【解答】解：由三角函数的对称性和题意可得s=2=2（sinx+cosx）=2（+）2（0+1）=22故答案为：2216数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则a1+a3=2，an的80项和为3240【考点】数列的求和；数列递推式【分析】通过an+1+（1）nan=2n1计算可知从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2、从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8位首项、以16为公差的等差数列，进而计算可得结论【解答】解：an+1+（1）nan=2n1，a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a50a49=97，a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2；从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8位首项、以16为公差的等差数列s80=202+（208+16）=3240故答案为2，3240三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数，其中a，b为实数 （1）求f（x）为奇函数的充要条件； （2）若令b=1，任取a0，4，求f（x）在r上是增函数的概率【考点】几何概型；函数奇偶性的判断【分析】（1）由函数为奇函数得到f（x）+f（x）=0恒成立即2（a1）x2=0恒成立，由此求得f（x）为奇函数的充要条件是a=1；（2）把b=1代入原函数，求导后利用导函数在r上恒大于等于0求得a的取值范围，再由几何概型概率计算公式求得f（x）在r上是增函数的概率【解答】解：（1）f（x）为奇函数f（x）+f（x）=0恒成立2（a1）x2=0恒成立a=1，f（x）为奇函数的充要条件是a=1（2）b=1时，f（x）=x22（a1）x+1，f（x）在r上为奇函数f（x）0在r上恒成立，即x22（a1）x+10在r上恒成立，则=2（a1）240，解得：0a2记事件a：“f（x）在r上是增函数”，则，f（x）在r上是增函数的概率是18某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：树干周长（单位：cm）30，40）40，50）50，60）60，70）杉树61921x槐树420y6（1）求x，y值及估计槐树树干周长的众数；（2）如果杉树的树干周长超过60cm就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？（3）树干周长在30cm到40cm之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止求排查的树木恰好为2株的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；众数、中位数、平均数【分析】（1）首先求出样本中槐树和杉树的株数，继而求出x，y的值，根据的众数的定义可以轻松求出（2）根据用样本来估计总体的方法求得需要砍杀的杉树的株数（3）一一列举求取满足条件的基本事件，找到满足有虫的那株的基本事件，根据概率公式计算即可【解答】解（1）按分层抽样方法随机抽取100株，可得槐树为40株，杉树为60株，x=6061921=14，y=404206=10估计槐树树干周长的众数为45cm（2）600=140，估计该片园林可以砍伐的杉树有140株（3）设4株树为b1，b2，b3，d，设d为有虫害的那株，基本事件为（d），（b1，d），（b2，d），（b3，d），（b1，b2，d），（b1，b3，d），（b2，b1，d），（b2，b3，d），（b3，b1，d），（b3，b2，d），（b1，b2，b3），（b1，b3，b2），（b2，b1，b3），（b2，b3，b1），（b3，b1，b2），（b3，b2，b1）共16种，设事件a：排查的树木恰好为2株，事件a包含（b1，d），（b2，d），（b3，d）3种，p（a）=19已知数列an的前n项和为（1）计算s1，s2，s3，s4；（2）猜想sn的表达式，并证明你的结论【考点】数学归纳法；数列递推式【分析】（1）利用条件，代入计算，可得s1，s2，s3，s4；（2）猜想sn的表达式，运用数学归纳法证明步骤进行证明【解答】解：（1）s1=，s2，=，s3=，s4=（2）猜想下面用数学归纳法证明当n=1时，结论显然正确假设n=k，kn+时结论正确，即则当n=k+1时，n=k+1结论正确故对任意正整数n，都有20如图，四面体dabc中，ab，bc，bd两两垂直，且ab=bc=2，点e是ac的中点，g是abd的重心，异面直线ad与be所成的角为，且（1）求证bc平面edg；（2）求平面ebg与平面acd所成的锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）连dg并延长交ab于f，连结ef，推导出efbc，由此能证明bc面edg（2）以b为原点，bc，ba，bd所在直线分别为x，y，z轴，建立空间坐标系，利用向量法能求出面ebg与面acd所成的锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）连dg并延长交ab于f，连结ef，g是abd的重心，f是ab的中点，又e是ac之中点，efbc而ef面edg，bc面edg，bc面edg（2）以b为原点，bc，ba，bd所在直线分别为x，y，z轴，建立空间坐标系，则c（2，0，0），a（0，2，0），e（1，1，0），设d（0，0，h），由，解得h=4，由，得，由得，即面ebg与面acd所成的锐二面角的余弦值为21直线l与抛物线y2=4x交于a，b两点，且oaob，其中o为坐标原点（1）直线l是否过定点？证明你的结论；（2）若，求aob的外接圆的方程【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）设直线l：x=ty+m，代入抛物线y2=4x，利用韦达定理及向量数量积公式即可得到结论（2）根据弦长公式得到t=1，再分别求出相对应的aob的外接圆的方程【解答】解：（1）直线l过定点