围绕核心概念发展知识——章建跃20150416.doc

围绕核心概念发展知识章建跃20150416围绕核心概念，提出问题，建立知识的联系，发现新的知识，加深理解知识核心概念具有基础性、本质性，其自我生长能力强，迁移能力强，但只有孤立的核心概念，而不能以核心概念为中心，把相关概念有机地串联起来，形成命题系统，核心概念的教育价值将大打折扣。“运算”是代数的核心概念，“距离”、“角”是几何的核心概念，斜率是解析几何的核心概念如何利用这些核心概念，在坐标法思想指导下，提升对二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的认识水平，并在此基础上发现新性质、提出新命题？引导学生围绕圆锥曲线的要素、相关要素进行思考：焦点、顶点、轴、准线、弦及其中点、切线、焦距、长（短）轴的长、焦半径、面积、内接图形（特别是内接三角形）、角（与焦点、中心等相关）等等。用a，b，c，p等表示相关结论。1重新认识定义椭圆：动点到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹；双曲线：动点到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹；圆：到两定点距离之比等于定值（1）的点轨迹是圆；卡西尼卵形线：到两定点距离之积等于定长a2的点的轨迹。抛物线：动点到定点的距离等于到定直线的距离。围绕距离，通过运算运算中的不变性，得出定义。2统一定义动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹。点在运动过程中，与定点和定直线的距离的伸缩率保持不变。也是运算中的不变性。3以斜率为核心，通过运算发现性质（1）已知和是平面直角坐标系上的两点，动点分别与此两定点连线的斜率之积是1，则动点的轨迹方程是；从直径上的圆周角为直角可以想到，当学生往往“不是做不到，而是想不到”。（2）已知和是平面直角坐标系上的两点，动点分别与此两定点连线的斜率之积是，则动点的轨迹方程是；（3）已知和是平面直角坐标系上的两点，动点分别与此两定点连线的斜率之积是，则动点的轨迹方程是；（4）已知和是平面直角坐标系上的两点，动点分别与此两定点连线的斜率的平方之差为1，则动点的轨迹方程是。这一条不太好想用斜率和轨迹两个概念重新定义了圆及二次曲线。这种手法可以推广到大学数学。如拓扑学中，用开集定义拓扑空间。同样可以提出这样的问题：用其它类似的概念，如闭集是否可以定义拓扑空间？围绕几何性质向量化发现和提出命题几何的重要性在于它的直观性。几何性质既可用代数形式表达，也可用向量形式表达。用向量的观点研究几何，就在于把几何结构数量化。围绕这一点，可以提出系列问题，构造系列命题。两点A、B决定一条直线，言外之意是直线上的任一点C都可以由这两个点表示出来。这样在直线上可形成两个向量，。就此，我们可以提出问题：这两个向量之间究竟有什么关系？共线向量基本定理呼之欲出。以此为基础，再引入一点，不共线的三点A，B，C唯一确定一个平面，即平面上任意一点D都可以由这三个点表示。于是，我们可提出问题：如何把这个性质用向量的形式表达出来？平面向量基本定理水到渠成。空间向量基本定理的发现过程完全类似。共线向量基本定理指出，直线上任意一点都可以由两个不重合的基本点表示；平面向量基本定理指出，平面上任意一个向量都可以由两个不共线的基本向量表示；空间向量基本定理指出，空间中任意一个向量都可以由三个不共线的基本向量表示。基向量把表面上不同的事实统一起来了。向量形式揭示了代数解析形式不曾揭示过的内涵。“复数”的引入章建跃20150416目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。问题情景1 1545年，数学家Cardan在重要的艺术（1545）中出了这么一个题目：把10分为两部分，使其乘积为40。他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程为x(10x)=40。但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌。你知道这是为什么吗？设计意图：真实的历史故事引发兴趣，让学生自己发现根为515产生认知冲突。问题2 根据你的已有经验，你认为怎么办就可以解决Cardan的问题？提示：在正数范围内，方程x+2=0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，x2=2有解吗？我们又是怎样让它有解的？设计意图：使学生从(x5)215出发，自然想到只要“负数开方”行得通，这样的方程就能解了。问题3 为了使负数能够开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？这个新数应该服从什么规则？设计意图：把思路引导到“引进一个新数，使它的平方等于1”。问题4根据大家的想法，假设我们引进了一个新的“数”i，它服从i2=1。我们希望对i能与实数一起进行加、减、乘、除等运算，这样，你觉得会产生哪些类型的“新数”？设计意图：让学生自己“创造”出2i，3i，i，2+3i，23i。追问：（1）这些“新数”能用一种统一的形式表示吗？（2）如果把实数与i进行加、乘后得到的“数”的集合记作C，那么实数集与集合C有什么关系？设计意图：让学生自己得到“符号”a+bi，其中a，b为实数；实数集是C的子集。引导语：由有理数的研究经验，我们知道“引进一种新的数，就要定义