湖南省师大附中高二数学下学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1设集合u=1，2，3，4，5，a=1，3，5，b=2，5，则a（ub）等于（）a2b2，3c3d1，32下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）a圆柱b圆锥c球d三棱锥3函数的零点所在的一个区间是（）a（1，0）b（0，1）c（1，2）d（2，3）4化简：（sin+cos）2=（）a1+sin2b1sinc1sin2d1+sin5向量=（1，2），=（2，1），则（）abc与的夹角为60d与的夹角为306等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）a15b30c31d647下列坐标对应的点中，落在不等式x+y10表示的平面区域内的是（）a（0，0）b（2，4）c（1，4）d（1，8）8在abc中，已知a=120，b=1，c=2，则a=（）a b c d二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9比较大小：log25log23；（填“”或“”）10某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师人11某程序框图如图所示，若输入的a，b，c的值分别是3，4，5，则输出的y值为12a1，则的最小值是三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13已知sin=，0，求cos和sin（+）的值14已知在等差数列an中，a1=1，a3=3（1）求an；（2）令bn=2an，判断数列bn是等差数列还是等比数列，并说明理由15如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中（1）求证：ac平面b1bdd1；（2）求三棱锥bacb1体积16已知圆c经过a（3，2）、b（1，6），且圆心在直线y=2x上（）求圆c的方程（）若直线l经过点p（1，3）与圆c相切，求直线l的方程17已知函数f（x）=log2（x+1）（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式；（2）若关于x的函数y=g2（x）mg（x2）+3在1，4上的最小值为2，求m的值一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18函数f（x）=的大致图象是（）a b c d19已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an的前10项和等于（）a6（1310）b c3（1310）d3（1+310）20将函数的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）a b c d二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）21在abc中，已知a，b，c分别为角a，b，c所对的边，s为abc的面积若向量=（4，a2+b2c2），=（）满足，则c=22设函数f（x）的定义域为d，若存在非零实数l使得对于任意xm（md），有x+td，且f（x+t）f（x），则称f（x）为m上的t高调函数如果定义域为r的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2，且f（x）为r上的4高调函数，那么实数a的取值范围是三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23如图，在四棱锥abcde中，平面abc平面bcde，cde=bed=90，ab=cd=2，de=be=1，ac=（）证明：de平面acd；（）求二面角bade的大小24设函数f（x）=ax2+bx+clnx，（其中a，b，c为实常数） （）当b=0，c=1时，讨论f（x）的单调区间；（）曲线y=f（x）（其中a0）在点（1，f（1）处的切线方程为y=3x3，（）若函数f（x）无极值点且f（x）存在零点，求a，b，c的值；（）若函数f（x）有两个极值点，证明f（x）的极小值小于2015-2016学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1设集合u=1，2，3，4，5，a=1，3，5，b=2，5，则a（ub）等于（）a2b2，3c3d1，3【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先求出集合b在全集中的补集，然后与集合a取交集【解答】解：因为集合u=1，2，3，4，5，b=2，5，所以cub=1，3，4，又a=1，3，5，所以a（cub）=1，3，51，3，4=1，3故选d2下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）a圆柱b圆锥c球d三棱锥【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据空间几何体三视图的概念，对选项中的几何体三视图进行判断即可【解答】解：球的正视图、侧视图和俯视图都是半径相等的圆面，都相同故选：c3函数的零点所在的一个区间是（）a（1，0）b（0，1）c（1，2）d（2，3）【考点】函数零点的判定定理【分析】判断函数值，利用零点定理推出结果即可【解答】解：函数，可得：f（1）=50，f（0）=30，f（1）=0，f（2）=0，f（3）=0，由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内故选：d4化简：（sin+cos）2=（）a1+sin2b1sinc1sin2d1+sin【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用【分析】把（sin+cos）2 展开，利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式可求得结果【解答】解：（sin+cos）2 =1+2sincos=1+sin2，故选：a5向量=（1，2），=（2，1），则（）abc与的夹角为60d与的夹角为30【考点】平面向量的坐标运算；数量积表示两个向量的夹角【分析】运用数量积的坐标表示，求出两向量的数量积，再由夹角公式，判断两向量的位置关系【解答】解：向量=（1，2），=（2，1），=12+（2）1=0，夹角的余弦为0，故选b6等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）a15b30c31d64【考点】等差数列的性质【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8再由a4=1=a1+3d，可得 a1=，d=故 a12 =a1+11d=+=15，故选：a7下列坐标对应的点中，落在不等式x+y10表示的平面区域内的是（）a（0，0）b（2，4）c（1，4）d（1，8）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】分别把a，b，c，d四个点的坐标代入不等式x+y10进行判断，即能够求出答案【解答】解：把（0，0）代入不等式x+y10，得10，成立，点a在不等式x+y10表示的平面区域内；把（2，4）代入不等式x+y10，得50，不成立，点b在不等式x+y10表示的平面区域内；把（1，4）代入不等式x+y10，得20，不成立，点c不在不等式x+y10表示的平面区域内；把（1，8）代入不等式x+y10，得80，不成立，点d不在不等式x+y10表示的平面区域内故选a8在abc中，已知a=120，b=1，c=2，则a=（）a b c d【考点】正弦定理；余弦定理【分析】由a的度数求出cosa的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可求出a的值【解答】解：由b=1，c=2，a=120，根据余弦定理得：a2=b2+c22cbcosa=1+4+2=7，则c=故选c二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9比较大小：log25log23；（填“”或“”）【考点】对数函数的图象与性质；对数值大小的比较【分析】利用对数函数的单调性，判断即可【解答】解：因为y=log2x，是单调增函数，所以log25log23故答案为：10某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师100人【考点】分层抽样方法【分析】根据教师的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查已知从其他教师中共抽取了10人，从高级教师和中级教师中抽取了2010=10人，设全校共有老师x人，则全校人数为，即x=100，故答案为：10011某程序框图如图所示，若输入的a，b，c的值分别是3，4，5，则输出的y值为4【考点】程序框图【分析】算法的功能是求a，b，c的平均数，代入计算可得答案【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c的平均数，输出y=4故答案为：412a1，则的最小值是3【考点】函数的最值及其几何意义【分析】根据a1可将a1看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注意等号成立的条件即可【解答】解：a1，a10=a1+12+1=3当a=2时取到等号，故答案为3三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13已知sin=，0，求cos和sin（+）的值【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求得sin（+）的值【解答】解：因为：sin=，0，所以：cos=，（3）所以：sin（+）=sin=14已知在等差数列an中，a1=1，a3=3（1）求an；（2）令bn=2an，判断数列bn是等差数列还是等比数列，并说明理由【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的通项公式及其定义即可判断出结论【解答】解：（1）设数列an的公差是d，则，故an=1+2（n1）=2n3（2）由（1）可得，是一常数，故数列bn是等比数列15如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中（1）求证：ac平面b1bdd1；（2）求三棱锥bacb1体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）要证ac平面b1bdd1，只需证明ac垂直平面b1bd1d上的两条相交直线dd1，bd；即可（2）求三棱锥bacb1体积转化为b1abc的体积，直接求解即可【解答】（1）证明：dd1面abcdacdd1又bdac，且dd1，bd是平面b1bd1d上的两条相交直线ac平面b1bdd1解：（2）=（其他解法酌情给分）16已知圆c经过a（3，2）、b（1，6），且圆心在直线y=2x上（）求圆c的方程（）若直线l经过点p（1，3）与圆c相切，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）根据已知设出圆的标准方程，将点a，b的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆c的方程（）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程【解答】解：（）圆心在直线y=2x上，故可设圆心c（a，2a），半径为r则圆c的标准方程为（xa）2+（y2a）2=r2圆c经过a（3，2）、b（1，6），解得a=2，r=圆c的标准方程为（x2）2+（y4）2=5（）由（）知，圆c的圆心为c（2，4），半径r=直线l经过点p（1，3），若直线斜率不存在，则直线l：x=1圆心c（2，4）到直线l的距离为d=3r=，故直线与圆相交，不符合题意若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l：y3=k（x+1），即kxy+k+3=0圆心c（2，4）到直线l的距离为d=直线与圆相切，d=r，即=（3k1）2=5+5k2，解得k=2或k=直线l的方程为2xy+5=0或x+2y5=017已知函数f（x）=log2（x+1）（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式；（2）若关于x的函数y=g2（x）mg（x2）+3在1，4上的最小值为2，求m的值【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象与图象变化【分析】（1）根据函数图象平移关系进行求解即可（2）利用换元法，转化为一元二次函数，利用一元二次函数单调性和最值之间的关系进行求解即可【解答】解：（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位，得到y=log2（x1+1）=log2x即g（x）=log2x（x0）；（2），令t=log2x（t0，2）得y=t22mt+3=（tm）2+3m2若m0，则y=t22mt+3在t0，2上递增，当t=0时，ymin=32，无解；若0m2，则当t=m时，解得m=1，1（舍去），m=1若m2，则y=t22mt+3在t0，2上递减，当t=2时，ymin=74m=2，解得，不符合条件，舍去；综上可得m=1一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18函数f（x）=的大致图象是（）a b c d【考点】函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案【解答】解：因为0，所以f（x）在（0，+）上单调递减，排除选项b、c；又f（x）的定义域为（0，+），故排除选项d，故选a19已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an的前10项和等于（）a6（1310）b c3（1310）d3（1+310）【考点】等比数列的前n项和【分析】由已知可知，数列an是以为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0数列an是以为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，s10=3（1310）故选c20将函数的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）a b c d【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=asin（x+）的图象变换【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），图象向左平移m（m0）个单位长度得到y=2sin（x+m）+=2sin（x+m+），所得的图象关于y轴对称，m+=k+（kz），则m的最小值为故选b二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）21在abc中，已知a，b，c分别为角a，b，c所对的边，s为abc的面积若向量=（4，a2+b2c2），=（）满足，则c=【考点】余弦定理；平行向量与共线向量【分析】通过向量的平行的坐标运算，求出s的表达式，利用余弦定理以及三角形面积，求出c的正切值，得到c的值即可【解答】解：由，得4s=（a2+b2c2），则s=（a2+b2c2）由余弦定理得cosc=，所以s=又由三角形的面积公式得s=，所以，所以tanc=又c（0，），所以c=故答案为：22设函数f（x）的定义域为d，若存在非零实数l使得对于任意xm（md），有x+td，且f（x+t）f（x），则称f（x）为m上的t高调函数如果定义域为r的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2，且f（x）为r上的4高调函数，那么实数a的取值范围是1a1【考点】函数单调性的性质【分析】根据分段函数的意义，对f（x）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f（x）为r上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）f（x），结合图象分析可得44a2；解可得答案【解答】解：根据题意，当x0时，f（x）=|xa2|a2，则当xa2时，f（x）=x2a2，0xa2时，f（x）=x，由奇函数对称性，有则当xa2时，f（x）=x+2a2，a2x0时，f（x）=x，图象如图：易得其图象与x轴交点为m（2a2，0），n（2a2，0）因此f（x）在a2，a2是减函数，其余区间是增函数f（x）为r上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）f（x），故当2a2x0时，f（x）0，为保证f（x+4）f（x），必有f（x+4）0；即x+42a2；有2a2x0且x+42a2可得44a2；解可得：1a1；故答案为1a1三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23如图，在四棱锥abcde中，平面abc平面bcde，cde=bed=90，ab=cd=2，de=be=1，ac=（）证明：de平面acd；（）求二面角bade的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）依题意，易证ac平面bcde，于是可得acde，又dedc，从而de平面acd；（）作bfad，与ad交于点f，过点f作fgde，与ae交于点g，连接bg，由（）知dead，则fgad，所以bfg就是二面角bade的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得bf=，af=ad，从而gf=，cosbfg=，从而可求得答案【解答】证明：（）在直角梯形bcde中，由de=be=1，cd=2，得bd=bc=，由ac=，ab=2得ab2=ac2+bc2，即acbc，又平面abc平面bcde，从而ac平面bcde，所以acde，又dedc，从而de平面acd；（）作bfad，与ad交于点f，过点f作fgde，与ae交于点g，连接bg，由（）知dead，则fgad，所以bfg就是二面角bade的平面角，在直角梯形bcde中，由cd2=bc2+bd2，得bdbc，又平面abc平面bcde，得bd平面abc，从而bdab，由于ac平面bcde，得accd在rtacd中，由dc=2，ac=，得ad=；在rtaed中，由ed=1，ad=得ae=；在rtabd中，由bd=，ab=2，ad=得bf=，af=ad，从而gf=，在abe，abg中，利用余弦定理分别可得cosbae=，bg=在bfg中，cosbfg=，所以，bfg=，二面角bade的大小为24设函数f（x）=ax2+bx+clnx，（其中a，b，c为实常数） （）当b=0，c=1时，讨论f（x）的单调区间；（）曲线y=f（x）（其中a0）在点（1，f（1）处的切线方程为y=3x3，（）若函数f（x）无极值点且f（x）存在零点，求a，b，c的值；（）若函数f（x）有两个极值点，证明f（x）的极小值小于【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）分类讨论求解：当a0时，f（x）0恒成立，此时f（x）的单调递增区间是（0，+），无单调递减区间，当a0时，