浙江省杭州二中高一数学下学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在abc中，ab=，ac=1，b=，则abc的面积是（）abc或d或2已知p是边长为2的正abc的边bc上的动点，则（）a最大值为8b是定值6c最小值为2d是定值23数列an满足a1=2，则a2016=（）a2b1c2d4在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点p（sin，cos），则sin（2）=（）abcd5若0，0，cos（+）=，cos（）=，则cos（+）=（）abcd6在abc中，若acosa=bcosb，则abc的形状是（）a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰或直角三角形7已知函数f（x）=asinxbcosx（a，b为常数，xr）在x=处取得最小值，则函数y=f（x）的图象关于（）中心对称a（，0）b（，0）c（，0）d（，0）8若a，b是锐角三角形abc的两个内角，则以下选项中正确的是（）asinasinbbsinacosbctanatanb1dtanatanb19已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为an和bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是（）a5b4c3d210扇形oab中，aob=90，oa=2，其中c是oa的中点，p是上的动点（含端点），若实数，满足=+，则+的取值范围是（）a1，b1，c1，2d1，二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11 +=12已知数列an是等差数列，a2+a7=12，a4a5=35，则an=13已知，（0，），且cos=，sin（+）=，则cos=14在abc中，o为abc的外心，满足15+8+17=，则c=15已知rtabc中，两直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是16若正实数x，y，z满足x2+y2=9，x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，则2xy+xz+yz=三、解答题：本大题共4小题共46分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且（1）求角a的值；（2）若b=，bc边上中线am=，求abc的面积18己知等差数列an，设其前n项和为sn，满足s5=20，s8=4（1）求an与sn；（2）设cn=anan+1an+2，tn是数列cn的前n项和，若对任意nn+，tn恒成立，求实数m的取值范围19如图，某房产开发商计划在一正方形土地abcd内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿化，住宅区形状为三角形apq，其中p位于边cb上，q位于边cd上已知，paq=，设pab=，记绿化率l=1，若l越大，则住宅区绿化越好（1）求l（）关于的函数解析式；（2）问当取何值时，l有最大值？并求出l的最大值20已知=（sinx，cosx），=（sinx，k），=（2cosx，sinxk）（1）当x0，时，求|+|的取值范围；（2）若g（x）=（+），求当k为何值时，g（x）的最小值为2015-2016学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在abc中，ab=，ac=1，b=，则abc的面积是（）abc或d或【考点】正弦定理【分析】先由正弦定理求得sinc的值，进而求得c，根据三角形内角和求得a，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：由正弦定理知=，sinc=，c=，a=，s=abacsina=或c=，a=，s=abacsina=故选d2已知p是边长为2的正abc的边bc上的动点，则（）a最大值为8b是定值6c最小值为2d是定值2【考点】向量在几何中的应用【分析】先设=， =， =t，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案【解答】解：设=t则=，2=4=2=22cos60=2=+=+t=1t+t+=+=1t+t+=1t2+1t+t +t2=1t4+2+t4=6故选b3数列an满足a1=2，则a2016=（）a2b1c2d【考点】数列递推式【分析】数列an满足a1=2，求出前4项即可得出周期性【解答】解：数列an满足a1=2，a2=1，a3=，a4=2，an+3=an则a2016=a3672=a3=故选：d4在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点p（sin，cos），则sin（2）=（）abcd【考点】任意角的三角函数的定义【分析】利用三角函数的定义确定，再代入计算即可【解答】解：角的终边过点p（sin，cos），sin=cos，cos=sin，=+2k，sin（2）=sin（4k+）=sin=故选：a5若0，0，cos（+）=，cos（）=，则cos（+）=（）abcd【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+）和sin（）的值，进而利用cos（+）=cos（+）（）通过余弦的两角和公式求得答案【解答】解：0，0，+，sin（+）=，sin（）=cos（+）=cos（+）（）=cos（+）cos（）+sin（+）sin（）=故选c6在abc中，若acosa=bcosb，则abc的形状是（）a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2a=sin2b，由a和b都为三角形的内角，可得a=b或a+b=90，从而得到三角形abc为等腰三角形或直角三角形【解答】解：由正弦定理asina=bsinb化简已知的等式得：sinacosa=sinbcosb，sin2a=sin2b，sin2a=sin2b，又a和b都为三角形的内角，2a=2b或2a+2b=，即a=b或a+b=，则abc为等腰或直角三角形故选d7已知函数f（x）=asinxbcosx（a，b为常数，xr）在x=处取得最小值，则函数y=f（x）的图象关于（）中心对称a（，0）b（，0）c（，0）d（，0）【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：函数f（x）=asinxbcosx=sin（x+），其中，cos=，sin=，在x=处取得最小值，+=2k，kz，即 =2k则函数y=f（x）=sin（x+2k）=sin（x），故有f（）=0，故它的图象关于（，0）对称，故选：a8若a，b是锐角三角形abc的两个内角，则以下选项中正确的是（）asinasinbbsinacosbctanatanb1dtanatanb1【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数线【分析】根据题意，用特殊值代入法，即可判断选项的正误【解答】解：因为a，b是锐角三角形abc的两个内角，不妨令a=b=，则sina=sinb，a错误；sinacosb，b错误；tanatanb=31，d错误，c正确故选：c9已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为an和bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是（）a5b4c3d2【考点】等差数列的前n项和【分析】由于=6+，n的取值只要使得为正整数即可得出【解答】解： =6+，当n=1，2，4，10时，为正整数，即使得为整数的正整数n的值只有4个故选：b10扇形oab中，aob=90，oa=2，其中c是oa的中点，p是上的动点（含端点），若实数，满足=+，则+的取值范围是（）a1，b1，c1，2d1，【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】建立直角坐标系，分别表示向量=（1，0），=（0，2），由题意可知， =cos，u=sin，0，+=2cos+sin=sin（+），即可求得其最大值，当p与b重合时，即可求得其最小值【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立直角坐标系，a（2，0），b（0，2），c（1，0），=（1，0），=（0，2），设p（x，y），p在圆x2+y2=4，=+，（x，y）=（，0）+（0，2），02，01，设=cos，u=sin，0，=2cos，u=sin，+=2cos+sin=sin（+），tan=2，当+=时，+的最大值为，当p在b点时，=1，=0时+取最小值为1，故选：d二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11 +=2sin1【考点】三角函数的化简求值【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式，平方差（和）公式化简可得原式等于+，去根号可得：|sin1cos1|+|sin1+cos1|，利用sin1cos10去绝对值即可计算得解【解答】解：180=，可得：45160，sin1cos10，+=+=|sin1cos1|+|sin1+cos1|=sin1cos1+sin1+cos1=2sin1故答案为：2sin112已知数列an是等差数列，a2+a7=12，a4a5=35，则an=2n3或152n【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知得a4+a5=12，从而a4，a5是方程x212x+35=0的两个根，解方程x212x+35=0得a4=5，a5=7或a4=7，a5=5，由此能求出an【解答】解：数列an是等差数列，a2+a7=12，a4a5=35，a4+a5=12，a4，a5是方程x212x+35=0的两个根，解方程x212x+35=0得a4=5，a5=7或a4=7，a5=5，当a4=5，a5=7时，a1=1，d=2，an=1+（n1）2=2n3；a4=7，a5=5时，a1=13，d=2，an=13+（n1）（2）=152n故答案为：2n3或152n13已知，（0，），且cos=，sin（+）=，则cos=【考点】两角和与差的余弦函数【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin、cos（+）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos=cos（+）的值【解答】解：，（0，），且cos=，sin=，sin（+）=，sinsin（+），+为钝角，cos（+）=， 则cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=，故答案为：14在abc中，o为abc的外心，满足15+8+17=，则c=【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】设外接圆的半径为r，根据题意得15+8=17，两边平方得出=0，即aob=，再根据圆心角等于同弧所对的圆周的关系，得出角c的值【解答】解：设外接圆的半径为r，o为abc的外心，且15+8+17=，所以15+8=17，（15+8）2=（17）2，289r2+240=289r2，=0，aob=，根据圆心角等于同弧所对的圆周的关系，如图所示：所以abc中内角c的值为故答案为：15已知rtabc中，两直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是（1，【考点】正弦定理【分析】设a=，则h=bsin，a=btan，c=，代入所求，利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin（），根据角的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其范围【解答】解：如图所示，设a=，h=bsin，a=btan，c=sin+cos=sin（），（0，），+（，），sin（）（，1， sin（）（1，的取值范围是（1，故答案为：（1，16若正实数x，y，z满足x2+y2=9，x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，则2xy+xz+yz=18【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【分析】设=（x，y），=（x+，），=（y+，），则所求为，利用数量积公式可得所求【解答】解：由已知设=（x，y），=（x+，），=（y+，），则由x2+y2=9，x2+z2+xz=16，y2+z2+yz=25，得到2=9， =16， 2=25，9+16=25，所以，所以=xy+=35，所以2xy+xz+yz=29=18；故答案为：18三、解答题：本大题共4小题共46分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且（1）求角a的值；（2）若b=，bc边上中线am=，求abc的面积【考点】正弦定理【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosa=，从而可得a；（2）易求角c，可知abc为等腰三角形，在amc中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）由正弦定理，得，化简得cosa=，a=；（2）b=，c=ab=，可知abc为等腰三角形，在amc中，由余弦定理，得am2=ac2+mc22acmccos120，即7=，解得b=2，abc的面积s=b2sinc=18己知等差数列an，设其前n项和为sn，满足s5=20，s8=4（1）求an与sn；（2）设cn=anan+1an+2，tn是数列cn的前n项和，若对任意nn+，tn恒成立，求实数m的取值范围【考点】数列的求和【分析】（1）根据等差数列的性质建立方程组求出首项和公差即可求an与sn；（2）求出cn=anan+1an+2，的值，将tn恒成立转化为求（tn）max恒成立即可【解答】解：（1）s5=20，s8=4，即，得，则an=103（n1）=133n，sn=10n+（3）=n2+（2）设cn=anan+1an+2=（133n）（103n）（73n），要使若对任意nn+，tn恒成立，则只要若对任意nn+，（tn）max恒成立，则a1=10，a2=7，a3=4，a4=1，a5=2，a6=5，a7=8，a8=11，则c1=a1a2a3=280，c2=a2a3a4=28，c3=a3a4a5=8，c4=a4a5a6=10，c5=a5a6a7=80，则当n5时，cn0，则当n=4时，前四项和最大，此时t4=280+288+10=310，则由310得m1396，即实数m的取值范围是1396，+）19如图，某房产开发商计划在一正方形土地abcd内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿化，住宅区形状为三角形apq，其中p位于边cb上，q位于边cd上已知，paq=，设pab=，记绿化率l=1，若l越大，则住宅区绿化越好（1）求l（）关于的函数解析式；（2）问当取何值时，l有最大值？并求出l的最大值【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）设正方形的边长为a，由解直角三角形的余弦函数，求得ap，aq，运用三角形的面积公式和正方形的面积，即可得到所求函数l的解析式，注意定义域；（2）由正弦函数的值域，可得2+=，计算即可得到所求最大值及相应的的取值【解答】解：（1）设正方形的边长为a，在直角三角形apb中，ap=，在直角三角形adq中，aq=，可得l（）=1=1=1=1=1=1=1，0，（2）由（1）可得l（）=1，0，由2+=，即=0，时，l（）取得最大值，且为1=2则当取 时，l有最大值220已知=（sinx，cosx），=（sinx，k），=（2cosx，sinxk）（1）当x0，时，求|+|的取值