湖南省株洲市高二数学下学期期中试题 文.doc

湖南省株洲市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文考试时间：120 分钟总分：150 分一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1设集合 a = -1, 0,1, 2， b = x | x2 x ，则集合 a b = （b）36a.-1, 0,1b.-1, 2c.0,1, 2 d.-1,1, 22、设 i 是虚数单位，则复数2i1 + i在复平面内所对应的点位于（a ）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3、若 a b 0 ， c d b b.d ca b d.da b c d4、“|x1|2”是 x3 的 (a)a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4、若关于 x 的不等式 | ax - 2 | 3 的解集为 x | - 5 x 133，则 a = 【解题提示】求解绝对值不等式。【解析】由 | ax - 2 | 3 得到 - 3 ax - 2 3 ， -1 ax 5 ，又知道解集为 x | - 5 x 0, b 0)的离心率为 2 ，且双曲线与抛物线 x= -43y 的准线交于 a, b ， sdoab =3 ，则双曲线的实轴长（a）a 2 2b 4 2c 2d 412、已知函数 f ( x) = ( x2 + ax + b) ex ，当 b 100 ?否是输出结果 x ex15设 g ( x) = , x 0.则 g(g(0) = _。0lnx, x 0.16、函数 y = 1 + log ( x - 2) 的定义域是 。x + 1 2 x + 1, (x 0)11、设 f (x) = p , (x = 0) ，则 f f f (-1) = p +1 ；0, (x b 0) 的右顶点为 a ， p 是椭圆 c 上一点， o 为坐标原点.已知poa = 60，且 op ap ，则椭圆 c 的离心率为 .【解析】由题意可得 op = oa cos 60= a ， 易得 p( 1 a,3 a) ，因为 r 是椭圆 c 上一点，2 44所以 1 +3a 2= 1 ，即 a2 = 5b2 = 5(a2 - c2 ) ，所以离心率e = 2 5 .16 16b 2 5三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.（本题满分 10 分）命题 p : x2 - 2 x - 3 0;q : |x - 3| m ，若 p是q 的充分不必要条件，求 m 取值范围。18在某校对 30 名女生与 80 名男生进行是否有懒惰习惯进行调查，发现女生中有 15 人有懒惰习惯，男生中有 50 人有懒惰习惯。（1）请根据上述数据填写 22 列联表；懒惰不懒惰总计女男总计（2）能否判断懒惰是否与性别有关。（参考公式： k =n(ad - bc) 2）(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )临界值表p( k 2 k )00.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）懒惰不懒惰总计女151530男503080总计65451102（2）由列联表的数据可得： k = 110 (15 30 - 50 15)30 80 65 45 1.410 2.706(a + b)(a + c)(c + d )(d + b)20 40 80 100所以有 90%的把握认为猜对歌曲名称 与否和年龄有关-6 分()设事件 a 为 3 名幸运选手中至少有一人在 2030 岁之间，由已知得 2030 岁之间的人数为 2人，3040 岁之间的人数为 4 人，8 分 记 2030 岁之间的 2 人 a,b，3040 岁之间的 4 人数为 1234;(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(b，1)，(b，2)，b，3)，(b，4)， (1，2)，( 1，3)，(1，4)， (2，3)，(2，4)，(3，4)，共 15 种可能，9 分事件 a 的结果有 8 种，10 分8则 p( a) =1512 分19. （本小题 12 分）已知函数 f ( x) = l n x - 1 ax2 - 2x + 1, a r.2(1)若(2)若f ( x) 在 x = 2 处的切线与直线 2 x + y = 0 垂直，求 a 的值；f ( x) 存在单调递减区间，求 a 的取值范围 x = - y =21.（本小题 12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 5 + 2 t25 + 2 t2(t为参数)，为极点，若以 ox 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线 c 的极坐标方程为 r= 4 cosq（1）求曲线 c 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；1（2）将曲线 c 上的所有点的横坐标缩短为原来的 2 ，再将所得曲线向左平移 1 个单位，得到曲线 c1，求曲线 c1 上的点到直线 l 的距离的最小值21.解：（1）曲线 c 的直角坐标方程为：x2 + y 2 = 4x即： ( x - 2)2 + y 2 = 4直线 l 的普通方程为 x - y + 2 5 = 0 5 分1（2）将曲线 c 上的所有点的横坐标缩为原来的，得 (2x - 2)22 + y2= 4 ，即 ( x -1)2 y 2+= 14 y 22再将所得曲线向左平移 1 个单位，得 c1 ： x + = 14 x = cosq又曲线 c1 的参数方程为 y = 2 sin q（ q为参数），设曲线 c1 上任一点 p (cosq , 2 sin q )cosq - 2 sin q + 2 5 2 5 -5 sin (q + j )10 1则 d pl= = 2 2（其中 tan j =- ）2 2点 p 到直线 l 的距离的最小值为10 。12 分219、在平面直角坐标系 xoy 中，圆 c 的参数方程为 x = -5 + y = 3 +2 cos t(t为参数）,在以2 sin t原点 o 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为r cos(q + p ) = -42, a，b 两点的极坐标分别为 a(2, p ), b(2,p ) .2（1）求圆 c 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点 p 是圆 c 上任一点，求pab 面积的最小值.试题解析】（1）由 得消去参数 t，得，所以圆 c 的普通方程为由，得，即，换成直角坐标系为，所以直线 l 的直角坐标方程为- -6 分（2）化为直角坐标为在直线 l 上，并且， 设 p 点的坐标为，则 p 点到直线 l 的距离为， ，所以面积的最小值是-12 分19、)甲、乙两所学校高二年级分别有 1 200 人，1 000 人，为了了解两所学校全体 高二年级学生在该地区四校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 110 名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分70,80)80,90)90,100)100,110)110,120)120,130)130,140)140,150频3481515x32乙校：分70,80)80,90)90,100)100,110)110,120)120,130)130,140)140,150频12891010y3(1)计算 x，y 的值；(2)由以上统计数据填写下面的 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10 的前提下认为两所学校的数学成绩有差异.n(ad - bc)2k 2 =(a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) （注：参照第 5 题的临界值表）甲校乙校总计优秀非优秀总计1 200解：(1)从甲校抽取 1101 2001 00060(人)，1 000从乙校抽取 1101 2001 00050(人)，故 x10，y74 分.(2)表格填写如图，甲校乙校总计优秀152035非优秀453075总计60501102k2 的观测值 l 110 (15 30 - 20 45)60 50 35 752.8292.706，故在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为两个学校的数学成绩有差异12分18、某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士12369”的绿色环保活动小组对 2014 年 1 月2014 年 12 月（一年）内空气质量指数 api 进行监测，下表是在这一年随机抽取的 100 天的统计结果：指数api0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数413183091115（1）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失 p （单位：元）与空气质量指数 api （记为0, 0 t 100t ）的关系为： p = 4t - 400,100 300p ( 200, 600 元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季节，其中有 8 天为重度污染，完成2 2 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季节合计100下面临界值表供参考p( k 2 k )01501000500250010000500 01k20722706384150246635787910828参考公式： k 2 =n(ad - bc)2，其中 n = a + b + c + d (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )19、18. （本小题满分 12 分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全国实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平，为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了 200 位 30 到 40 岁的公务员，得到情况如下表：男公务员女公务员生二胎8040不生二胎4040（1）是否有 99 0 0 以上的把握认为“生二胎与性别有关” ，并说明理由；（2）把以上频率当概率，若从社会上随机抽取甲 、乙、丙 3 位 30 到 40 岁的男公务员，求这三人中至少有一人要生二胎的概率.n ( ad - bc )2附： k 2 =( a + b ) ( a + d ) ( a + c ) (b + d )p ( k 2 k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）由于 k 2 =n ( ad - bc )2( a + b ) ( a + d ) ( a + c ) (b + d )200 (80 40 - 40 40)250= = = 5.556 a - 2 x + 1 恒 成 立，求实数 a 的取值范围。【考点】绝对值不等式【试题解析】（i）当 时，得，当 时，得， 当时，得，综上：（ii） 恒成立，令，【答案】见解析19、已知函数 f (x) =| x - a | - | 2x -1| .（1）当 a = 2 时，求 f (x) + 3 0 的解集；（2）当 x 1, 3 时， f (x) 3 恒成立，求 a 的取值范围.（）当 a = 2 时，由 f (x) -3 ，可得 x - 2 - 2x -1 -3 ， x 1 , 1 x 2, x 2, 2 或 2或 3 分2 - x + 2x -1 -32 - x - 2x + 1 -3 x - 2 - 2x + 1 -3解得 -4 x 1 ；解得 1 x 2 ；解得 x = 2 .2 2综上所述，不等式的解集为x -4 x 2 .5 分（）若当 x 1, 3 时， f (x) 3 成立，即 x - a 3 + 2x -1 = 2x + 2 .7 分故 -2x - 2 x - a 2x + 2 ， 即 -3x - 2 -a x + 2 ， -x - 2 a 3x + 2 对 x 1, 3 时成立.a -3, 5 .10 分已知函数 f ( x) =x - 3 + 2x + t , t r （1）当 t = 1时，解不等式 f (x) 5 ；（2）若存在实数 a 满足 f (a) + a - 3 3 ，原不等式的解集为（2） f ( x) + x - 3 = 2 x - 3 + 2x + t (2x - 6) - (2x + t) = t + 6 ，原命题等价于( f ( x) + x - 3 )min 2 ， t + 6 2 ，解得 -8 t -4 ， t 的取值范围是 (-8, -4) 21、已知椭圆 g 的中心在原点，焦点在 x 轴，焦距为 2 ，且长轴长是短轴长的 2 倍.() 求椭圆g 的标准方程；() 设 p(2, 0) ,过椭圆 g 左焦点 f 的直线 l 交 g 于 a 、 b 两点,若对满足条件的任意直线l ,不等式 pa pb l ( l r )恒成立,求l 的最小值.解：()依题意, a =2b , c = 1, 2 分2解得 a2 = 2 , b2 = 1,所以椭圆g 的标准方程为 x2+ y2 = 15 分()设 a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) ,所以 pa pb = ( x1 - 2, y1 ) ( x2 - 2, y2 ) = ( x1 - 2)( x2 - 2) + y1 y2 ,12121当直线 l 垂直于 x 轴时, x = x = -1 , y = - y 且 y2pb = (-3, y2 ) = (-3, - y1 ) ,= 1 ,此时 pa = (-3, y ) ,2 1所以 pa pb = (-3)2 - y2 = 177 分1 2当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l : y = k ( x + 1) , y = k ( x + 1)由 x2 + 2 y 2 = 2,消去 y 整理得 (1 + 2k 2 ) x2 + 4k 2 x + 2k 2 - 2 = 0 ,4k 22k 2 - 2所以 x1 + x2 = - 2 , x1 x2 = 21 + 2k 1+ 2k,8 分所以 pa pb = x x- 2 ( x + x ) + 4 + k 2 ( x +1)( x+1)1 2 1 2 1 2(2 )( 2)( ) 2= 1 + k x1 x2 + k - 2x1 + x2+ 4 + k2 2 2= (1+ k 2 ) 2k- 2 - (k 2 - 2) 4k+ 4 + k 2 = 17k+ 2 = 17 - 13 0 . a x2 - 2x x - ln x，在区间1, e 上有解.令 h ( x ) =x2 - 2x x - ln x，则 h ( x ) =( x -1) ( x + 2 - 2 ln x )( x - ln x )2x 1, e, x + 2 2 2 ln x, h ( x ) 0, h ( x ) 单调递增， x 1, e 时， h ( x)e (e - 2)max= h (e) = e (e - 2)e -1e (e - 2) a e -1所以实数 a 的取值范围是 -,e -1 .21.（本小题满分 13 分）设函数 f (x) = (x2 + ax + b)ex ( x r) （1）若 a = 2, b = -2 ，求函数 f (x) 的极值；（2）若 x = 1是函数 f (x) 的一个极值点，试求出 a 关于 b 的关系式（用 a 表示b ），并确定 f (x)的单调区间；1 2（ 3 ） 在（ 2 ） 的 条件 下 ，设 a 0 ，函数 g ( x) = (a2 + 14)e x + 4 若存在 x ,x 0, 4 使得 f (x1 ) - g (x2 ) 0 ，当 x (-4, 0) 时 f (x) 0当 x = -4 时，函数 f (x) 有极大值， f ( x) 6 ，极大 e4当 x = 0 时，函数 f (x) 有极小值， f (x)极小 = -2 .4 分（2）由（1）知 f ( x) = x2 + (2 + a) x + (a + b)ex x = 1是函数 f (x) 的一个极值点 f (1) = 0即 e1+ (2 + a) + (a + b) = 0 ，解得 b = -3 - 2a则 f ( x) = ex x2 + (2 + a) x + (-3 - a) ex ( x -1) x + (3 + a)令 f (x) = 0 ，得 x1 = 1 或 x2 = -3 - a x = 1是极值 点， -3 - a 1 ，即 a -4当 -3 - a 1 即 a 0 得 x (-3 - a,6 分+) 或 x (-, 1)由 f (x) 0 得 x (1,-3 - a)当 -3 - a -4 时，由 f (x) 0 得 x (1,由 f (x) 0 得 x (-3 - a, 1)+) 或 x (-,-3 - a)8 分综上可知：当 a -4 时，单调递增区间为 (-,-3 - a) 和 (1,+) ，递减区间为 (-3 - a, 1)9分（3）由（2）知，当 a0 时， f (x) 在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，函数 f (x) 在区间0, 4 上的最小值为 f (1) = -(a + 2)e又 f (0) = bex = -(2a + 3) 0 ，函数 f (x) 在区间0，4上的值域是 f (1), f (4)，即-(a + 2)e, (2a + 13)e4 又 g ( x) = (a2 + 14)e x + 4 在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是(a2 + 14)e4 , (a2 + 14)e8 11 分 (a2 + 14)e4 (2a + 13)e4 (a2 - 2a + 1)e4 (a - 1)2 e4 0 ，存在x1 ,x2 0, 4 使得f (x1 ) - g (x2 ) 1 成立只须仅须(a2 + 14)e4 (2a + 13)e4 1 (a -1)2 e4 1 (a -1)2 1e4 1 - 1e2 a 1) ，对于 x 0, 4 ,3 2 3 1$ x2 0, 4 ，使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) ，求实数 m 的取值范围.解（）函数 f ( x) = x3 + ax2 + bx 的图象与直线 y = -3x + 8 相切于点 p(2, 2) ， f (2) = -3 ， f (2) = 2 f ( x) = 3x2 + 2ax + b ，8 + 4a + 2b = 2 3 22 + 2a 2 + b = -3a = -6解得 b = 9 f ( x) = x3 - 6x2 + 9x 3 分（） f ( x) = 3x2 - 12x + 9 = 3( x - 1)(x - 3) ， 令 f (x) 0 ，得 x 3 ；令 f (x) 0 ，得1 x 1) ， g ( x) = x2 - (m + 1) x + m = ( x -1)( x - m) 3 2 3 当1 m 4 时， g(x) 在0,1 上单调递增，在1, m 上单调递减，在m, 4 上单调递增， g(x) 的最小值为 g(0) 或 g(m) ， g(x) 的最大值为 g(1) 或 g(4) 1 g (0) = - 0 ，且 a b ，3 g(1) 4 或 g(4) 4 ， g (1) =1 m - 1 4 或 g(4) = -4m +13 4 ，2 2即 m 9 或 m 9 又1 m 4 ，1 m 9 44 当 m 4 时， g(x) 在0,1 上单调递增，1, 4